Implicit diagonal estimation is a long-standing problem that is concerned with approximating the diagonal of a matrix that can only be accessed through matrix-vector products. It is of interest in various fields of application, such as network science, material science and machine learning. This thesis provides a comprehensive review of randomized algorithms for implicit diagonal estimation and introduces various enhancements as well as extensions to matrix functions. Three novel diagonal estimators are presented. The first method employs low-rank Nyström approximations. The second approach is based on shifts, forming a generalization of current deflation-based techniques. Additionally, we introduce a method for adaptively determining the number of test vectors, thereby removing the need for prior knowledge about the matrix. Moreover, the median of means principle is incorporated into diagonal estimation. Apart from that, we combine diagonal estimation methods with approaches for approximating the action of matrix functions using polynomial approximations and Krylov subspaces. This enables us to present implicit methods for estimating the diagonal of matrix functions. We provide first of their kind theoretical results for the convergence of these estimators. Subsequently, we present a deflation-based diagonal estimator for monotone functions of normal matrices with improved convergence properties. To validate the effectiveness and practical applicability of our methods, we conduct numerical experiments in real-world scenarios. This includes estimating the subgraph centralities in a protein interaction network, approximating uncertainty in ordinary least squares as well as randomized Jacobi preconditioning. / Implicit diagonalskattning är ett långvarigt problem som handlar om approximationen av diagonalerna i en matris som endast kan nås genom matris-vektorprodukter. Problemet är av intresse inom olika tillämpnings-områden, exempelvis nätverksvetenskap, materialvetenskap och maskininlärning. Detta arbete ger en omfattande översikt över algoritmer för randomiserad diagonalskattning och presenterar flera förbättringar samt utvidgningar till matrisfunktioner. Tre nya diagonalskattare presenteras. Den första metoden använder Nyström-approximationer med låg rang. Den andra metoden är baserad på skift och är en generalisering av de nuvarande deflationsbaserade metoderna. Dessutom presenteras en metod för adaptiv bestämning av antalet testvektorer som inte kräver förhandskunskap om matrisen. Median of Means principen ingår också i uppskattningen av diagonalerna. Dessutom kombinerar vi metoder för att uppskatta diagonalerna med algoritmer för att approximera matris-vektorprodukter med matrisfunktioner med hjälp av polynomapproximationer och Krylov-underutrymmen. Detta gör att vi kan presentera implicita metoder för att uppskatta diagonalerna i matrisfunktioner. Vi ger de första teoretiska resultaten för konvergensen av dessa skattare. Sedan presenterar vi en deflationsbaserad diagonal estimator för monotona funktioner av normala matriser med förbättrade konvergensegenskaper. För att validera våra metoders effektivitet och praktiska användbarhet genomför vi numeriska experiment i verkliga scenarier. Detta inkluderar uppskattning av Subgraph Centrality i nätverk, osäkerhetskvantifiering inom ramen för vanliga minsta kvadratmetoden och randomiserad Jacobi-förkonditionering.