CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Este trabalho à constituÃdo de duas partes. Na primeira parte estudamos mÃnimos nÃo negativos de funcionais elÃpticos degenerados, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, para nÃcleos variacionais F que sÃo descontÃnuos em u com descontinuidade de ordem ~ X{u>0}. A equaÃÃo de Euler-Lagrange à governada por uma equaÃÃo elÃptica degenerada e nÃo-homogÃnea, com fronteira livre entre as fases positiva e zero do mÃnimo. Mostraremos estimativa gradiente Ãtima e nÃo-degenerescÃncia do mÃnimo. TambÃm trataremos de propriedades de regularidade fracas e fortes de fronteira livre. Provaremos que o conjunto {u>0} tem localmente perÃmetro finito e que a fronteira livre reduzida ∂ red {u>0} tem medida Hn-1-total. Para problemas mais especÃficos que aparecem em Jet flows, provaremos que a fronteira livre reduzida à localmente o grÃfico de uma funÃÃo C1,y. Na segunda parte do trabalho forneceremos uma descriÃÃo bastante completa da teoria de regularidade Ãtima para uma famÃlia de problemas de fronteira livre de duas fases, heterogÃneos, y→ min, governados por operadores elÃpticos degenerados e nÃo-lineares. IncluÃdos em tal famÃlia estÃo os problemas de Jet flows heterogÃneos e os problemas de cavidades do tipo Prandtl-Batchelor, y = 0; equaÃÃes elÃpticas degeneradas singulares e sistemas do tipo obstÃculo y =1.VersÃes lineares destes problemas tÃm sido objeto de intensa pesquisa nas Ãltimas quatro dÃcadas ou mais. As contrapartidas nÃo-lineares tratadas neste trabalho introduzem novas e considerÃveis dificuldades, pois a maioria das teorias desenvolvidas anteriormente, tais como fÃrmulas de monotonicidade e de quase monotonicidade nÃo estÃo disponÃveis. Contudo, as soluÃÃes inovadoras desenvolvidas neste trabalho fornecem novas respostas mesmo no contexto clÃssico de equaÃÃes lineares e nÃo-degeneradas. / This work consists of two parts. In the first part we study nonnegative minimizers of general degenerate elliptic functionals, ∫ F (X, u, ∇u)dX → min, for variational kernels F that are discontinuous in ụ with discontinuity of order ~ X{u>0}. The Euler-Lagrange equation is therefore governed by a non-homogeneous, degenerate elliptic equation with free boundary between the positive and the zero phases of the minimizer. We show optimal gradient estimate and nondegeneracy of minima. We also address weak and strong regularity properties of free boundary, ∂ red {u>0}, has H n-1- total measure. For more specific problems that arise in jet flows, we show the reduced free boundary is locally the graph of a C1,y function. In the second part of work we provide a rather complete description of the sharp regularity theory for a family of heterogeneous, two-phase variational free boundary problems, y→ min, ruled by nonlinear, degenerate elliptic operators. Included in such family are heterogeneous jets and cavities problems of Prandtl-Batchelor type, y = 0; singular degenerate elliptic equations and obstacle type systems, y = 1. Linear versions of these problems have been subjects of intense research for the past four decades or so. The nonlinear counterparts treated in this present work introduce substantial new difficulties since the most of the classical theories developed earlier, such that as monotonicity and almost monotonicity formulae, are no longer available. Nonetheless, the innovative solutions designed in this work provide new answers even in the classical context of linear, nondegenerate equations.