A review of geodesics and Busemann G-spaces is given. Aleksandrov curvature and the disjoint (0, n)-cells property are defined. We show how these properties are applied to and strengthened in Busemann G-spaces. We examine the relationship between manifolds and Busemann G-spaces and prove that all Riemannian manifolds are Busemann G-spaces, though not all metric manifolds are Busemann G-spaces. We show how Busemann G-spaces that also have bounded Aleksandrov curvature admit local closest-point projections to geodesic segments. Finally, we expound local properties of Busemann G-spaces and define a new property which we call the symmetric property. We show that Busemann G-spaces which have the disjoint (0,n)-cells property for every value of n cannot have the symmetric property.

In this thesis, we study the question when a local automorphism of continuous functions, or in general, of an operator algebra, is an automorphism. We also study the question how to write an n-disjointness preserving operator as a finite sum of orthomorphisms locally.

The crossing number of a graph is the minimum number of pairwise edge crossings in a drawing of a graph. A graph $G$ is $k$-crossing-critical if it has crossing number at least $k$, and any subgraph of $G$ has crossing number less than $k$. A consequence of Kuratowski's theorem is that 1-critical graphs are subdivisions of $K_{3,3}$ and $K_{5}$. The graph $V_{2n}$ is a $2n$-cycle with $n$ diameters. Bokal, Oporowski, Richter and Salazar found in \cite{bigpaper} all the critical graphs except the ones that contain a $V_{8}$ minor and no $V_{10}$ minor. We show that a 4-connected graph $G$ has crossing number at least 2 if and only if for each pair of disjoint edges there are two disjoint cycles containing them. Using a generalization of this result we found limitations for the 2-crossing-critical graphs remaining to classify. We showed that peripherally 4-connected 2-crossing-critical graphs have at most 4001 vertices. Furthermore, most 3-connected 2-crossing-critical graphs are obtainable by small modifications of the peripherally 4-connected ones.

Chimiini is an Eastern Bantu language which until recently was spoken exclusively by inhabitants of Brava, a coastal town of Southern Somalia (hence its alternative name, Bravanese). As illustrated in this paper, it shows traces of contact with northern varieties of Swahili such as Amu, Siu, Pate, and Mvita, to which it is closely related, and also of contact with the Cushitic languages Somali, Tunni, to Bajuni, as well as the Semitic language Arabic, and Italian and English. As further shown below, variation within Chimiini also reflects emblematic features of specific clans and lineages within the speech community. In addition, differences from earlier accounts of this language concerning the interpretation of its phonological and morphosyntactic structure are discussed in this paper.

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Uma almost disjoint family é uma coleção infinita de subconjuntos infinitos de números naturais tal que a interseção de quaisquer dois de seus elementos distintos é finita. Almost disjoint families podem ser utilizadas para construir um espaço topológico associado chamado de Psi-espaços, também conhecido como espaços de Mrówka. As propriedades topológicas deste espaço topológico dependem das propriedades combinatórias da família que o deu origem, e estes espaços podem ser utilizados para responder perguntas sobre topologia geral, muitas vezes não inicialmente relacionadas com almost disjoint families ou seus respectivos espaços de Mrówka. Neste documento, exploramos diversas construções envolvendo estes objetos utilizando combinatória infinita e princípios combinatórios como diamante, Axioma de Martin e técnicas como Forcing e tratamos de problemas envolvendo compactificações de Stone-Cech, espaços sequenciais, a propriedade de Lindelöf em espaços de funções, hiperespaços de Vietoris, dentre outros. O primeiro capítulo contém diversos pré-requisitos necessários para a leitura desta dissertação a fim de torná-la o mais autocontida possível. O segundo capítulo introduz as almost disjoint families e seus Psi-espaços associados, provando diversas propriedades importantes. Os demais capítulos são independentes entre si e tratam de problemas de Topologia Geral que podem ser solucionados com estes conceitos, ou de problemas que derivam destes conceitos. / An almost disjoint family is an infinite collection of infinite subsets of natural numbers such that the intersection of any two of its elements is finite. Almost disjoint families may be used to construct an associated topological space called psi space, also know as Mrówka space. The topological properties of this topological space depends on the combinatorical properties of the family that originated it, and these spaces may be used to answer questions in general topology, many times initially unrelated to almost disjoint families or to their Mrówka spaces. In this document, we explore several constructions involving these objects by using infinitary combinatorics and combinatorical principles like diamond, Martin\'s Axiom, forcing techniques and we treat abour problems regardins Stone-Cech compactifications, sequencial spaces, the property of Lindelöf on spaces of functions, hyperspaces of Vietoris, among others. The first chapter contains several pre requirements that are neccessary to read this dissertation in order to make it as self contained as possible. The second chapter introduces almost disjoint families and their associated Psi spaces, proving several important properties. The following chapters are independent from each other and treat about problems on General Topology that may be solved by using these concepts, or about problems that arises from these concepts.

Uma almost disjoint family é uma coleção infinita de subconjuntos infinitos de números naturais tal que a interseção de quaisquer dois de seus elementos distintos é finita. Almost disjoint families podem ser utilizadas para construir um espaço topológico associado chamado de Psi-espaços, também conhecido como espaços de Mrówka. As propriedades topológicas deste espaço topológico dependem das propriedades combinatórias da família que o deu origem, e estes espaços podem ser utilizados para responder perguntas sobre topologia geral, muitas vezes não inicialmente relacionadas com almost disjoint families ou seus respectivos espaços de Mrówka. Neste documento, exploramos diversas construções envolvendo estes objetos utilizando combinatória infinita e princípios combinatórios como diamante, Axioma de Martin e técnicas como Forcing e tratamos de problemas envolvendo compactificações de Stone-Cech, espaços sequenciais, a propriedade de Lindelöf em espaços de funções, hiperespaços de Vietoris, dentre outros. O primeiro capítulo contém diversos pré-requisitos necessários para a leitura desta dissertação a fim de torná-la o mais autocontida possível. O segundo capítulo introduz as almost disjoint families e seus Psi-espaços associados, provando diversas propriedades importantes. Os demais capítulos são independentes entre si e tratam de problemas de Topologia Geral que podem ser solucionados com estes conceitos, ou de problemas que derivam destes conceitos. / An almost disjoint family is an infinite collection of infinite subsets of natural numbers such that the intersection of any two of its elements is finite. Almost disjoint families may be used to construct an associated topological space called psi space, also know as Mrówka space. The topological properties of this topological space depends on the combinatorical properties of the family that originated it, and these spaces may be used to answer questions in general topology, many times initially unrelated to almost disjoint families or to their Mrówka spaces. In this document, we explore several constructions involving these objects by using infinitary combinatorics and combinatorical principles like diamond, Martin\'s Axiom, forcing techniques and we treat abour problems regardins Stone-Cech compactifications, sequencial spaces, the property of Lindelöf on spaces of functions, hyperspaces of Vietoris, among others. The first chapter contains several pre requirements that are neccessary to read this dissertation in order to make it as self contained as possible. The second chapter introduces almost disjoint families and their associated Psi spaces, proving several important properties. The following chapters are independent from each other and treat about problems on General Topology that may be solved by using these concepts, or about problems that arises from these concepts.

O problema de fatorar e decompor funções Booleanas é Σ-completo2 para funções gerais. Algoritmos eficientes e exatos podem ser criados para classes de funções existentes como funções read-once, disjoint-support decomposable e read-polarity-once. Uma forma fatorada é chamada de read-once (RO) se cada variável aparece uma única vez. Uma função Booleana é RO se existe uma forma fatorada RO que a representa. Por exemplo, a função representada por =12+134+135 é uma função RO, pois pode ser fatorada em =1(2+3(4+5)). Uma função Booleana f(X) pode ser decomposta usando funções mais simples g e h de forma que ()=ℎ((1),2) sendo X1, X2 ≠ ∅, e X1 ∪ X2 = X. Uma decomposição disjunta de suporte (disjoint-support decomposition – DSD) é um caso especial de decomposição funcional, onde o conjunto de entradas X1 e X2 não compartilham elementos, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Por exemplo, a função =12̅̅̅3+123̅̅̅ 4̅̅̅+12̅̅̅4 é DSD, pois existe uma decomposição tal que =1(2⊕(3+4)). Uma forma read-polarity-once (RPO) é uma forma fatorada onde cada polaridade (positiva ou negativa) de uma variável aparece no máximo uma vez. Uma função Booleana é RPO se existe uma forma fatorada RPO que a representa. Por exemplo, a função =1̅̅̅24+13+23 é RPO, pois pode ser fatorada em =(1̅̅̅4+3)(1+2). Esta tese apresenta quarto novos algoritmos para síntese de funções Booleanas. A primeira contribuição é um método de síntese para funções read-once baseado em uma estratégia de divisão-e-conquista. A segunda contribuição é um algoritmo top-down para síntese de funções DSD baseado em soma-de-produtos, produto-de-somas e soma-exclusiva-de-produtos. A terceira contribuição é um método bottom-up para síntese de funções DSD baseado em diferença Booleana e cofatores. A última contribuição é um novo método para síntese de funções RPO que é baseado na análise de transições positivas e negativas. / The problem of factoring and decomposing Boolean functions is Σ-complete2 for general functions. Efficient and exact algorithms can be created for an existing class of functions known as read-once, disjoint-support decomposable and read-polarity-once functions. A factored form is called read-once (RO) if each variable appears only once. A Boolean function is RO if it can be represented by an RO form. For example, the function represented by =12+134+135 is a RO function, since it can be factored into =1(2+3(4+5)). A Boolean function f(X) can be decomposed using simpler subfunctions g and h, such that ()=ℎ((1),2) being X1, X2 ≠ ∅, and X1 ∪ X2 = X. A disjoint-support decomposition (DSD) is a special case of functional decomposition, where the input sets X1 and X2 do not share any element, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Roughly speaking, DSD functions can be represented by a read-once expression where the exclusive-or operator (⊕) can also be used as base operation. For example, =1(2⊕(4+5)). A read-polarity-once (RPO) form is a factored form where each polarity (positive or negative) of a variable appears at most once. A Boolean function is RPO if it can be represented by an RPO factored form. For example the function =1̅̅̅24+13+23 is RPO, since it can factored into =(1̅̅̅4+3)(1+2). This dissertation presents four new algorithms for synthesis of Boolean functions. The first contribution is a synthesis method for read-once functions based on a divide-and-conquer strategy. The second and third contributions are two algorithms for synthesis of DSD functions: a top-down approach that checks if there is an OR, AND or XOR decomposition based on sum-of-products, product-of-sums and exclusive-sum-of-products inputs, respectively; and a method that runs in a bottom-up fashion and is based on Boolean difference and cofactor analysis. The last contribution is a new method to synthesize RPO functions which is based on the analysis of positive and negative transition sets. Results show the efficacy and efficiency of the four proposed methods.

O problema de fatorar e decompor funções Booleanas é Σ-completo2 para funções gerais. Algoritmos eficientes e exatos podem ser criados para classes de funções existentes como funções read-once, disjoint-support decomposable e read-polarity-once. Uma forma fatorada é chamada de read-once (RO) se cada variável aparece uma única vez. Uma função Booleana é RO se existe uma forma fatorada RO que a representa. Por exemplo, a função representada por =12+134+135 é uma função RO, pois pode ser fatorada em =1(2+3(4+5)). Uma função Booleana f(X) pode ser decomposta usando funções mais simples g e h de forma que ()=ℎ((1),2) sendo X1, X2 ≠ ∅, e X1 ∪ X2 = X. Uma decomposição disjunta de suporte (disjoint-support decomposition – DSD) é um caso especial de decomposição funcional, onde o conjunto de entradas X1 e X2 não compartilham elementos, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Por exemplo, a função =12̅̅̅3+123̅̅̅ 4̅̅̅+12̅̅̅4 é DSD, pois existe uma decomposição tal que =1(2⊕(3+4)). Uma forma read-polarity-once (RPO) é uma forma fatorada onde cada polaridade (positiva ou negativa) de uma variável aparece no máximo uma vez. Uma função Booleana é RPO se existe uma forma fatorada RPO que a representa. Por exemplo, a função =1̅̅̅24+13+23 é RPO, pois pode ser fatorada em =(1̅̅̅4+3)(1+2). Esta tese apresenta quarto novos algoritmos para síntese de funções Booleanas. A primeira contribuição é um método de síntese para funções read-once baseado em uma estratégia de divisão-e-conquista. A segunda contribuição é um algoritmo top-down para síntese de funções DSD baseado em soma-de-produtos, produto-de-somas e soma-exclusiva-de-produtos. A terceira contribuição é um método bottom-up para síntese de funções DSD baseado em diferença Booleana e cofatores. A última contribuição é um novo método para síntese de funções RPO que é baseado na análise de transições positivas e negativas. / The problem of factoring and decomposing Boolean functions is Σ-complete2 for general functions. Efficient and exact algorithms can be created for an existing class of functions known as read-once, disjoint-support decomposable and read-polarity-once functions. A factored form is called read-once (RO) if each variable appears only once. A Boolean function is RO if it can be represented by an RO form. For example, the function represented by =12+134+135 is a RO function, since it can be factored into =1(2+3(4+5)). A Boolean function f(X) can be decomposed using simpler subfunctions g and h, such that ()=ℎ((1),2) being X1, X2 ≠ ∅, and X1 ∪ X2 = X. A disjoint-support decomposition (DSD) is a special case of functional decomposition, where the input sets X1 and X2 do not share any element, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Roughly speaking, DSD functions can be represented by a read-once expression where the exclusive-or operator (⊕) can also be used as base operation. For example, =1(2⊕(4+5)). A read-polarity-once (RPO) form is a factored form where each polarity (positive or negative) of a variable appears at most once. A Boolean function is RPO if it can be represented by an RPO factored form. For example the function =1̅̅̅24+13+23 is RPO, since it can factored into =(1̅̅̅4+3)(1+2). This dissertation presents four new algorithms for synthesis of Boolean functions. The first contribution is a synthesis method for read-once functions based on a divide-and-conquer strategy. The second and third contributions are two algorithms for synthesis of DSD functions: a top-down approach that checks if there is an OR, AND or XOR decomposition based on sum-of-products, product-of-sums and exclusive-sum-of-products inputs, respectively; and a method that runs in a bottom-up fashion and is based on Boolean difference and cofactor analysis. The last contribution is a new method to synthesize RPO functions which is based on the analysis of positive and negative transition sets. Results show the efficacy and efficiency of the four proposed methods.

O problema de fatorar e decompor funções Booleanas é Σ-completo2 para funções gerais. Algoritmos eficientes e exatos podem ser criados para classes de funções existentes como funções read-once, disjoint-support decomposable e read-polarity-once. Uma forma fatorada é chamada de read-once (RO) se cada variável aparece uma única vez. Uma função Booleana é RO se existe uma forma fatorada RO que a representa. Por exemplo, a função representada por =12+134+135 é uma função RO, pois pode ser fatorada em =1(2+3(4+5)). Uma função Booleana f(X) pode ser decomposta usando funções mais simples g e h de forma que ()=ℎ((1),2) sendo X1, X2 ≠ ∅, e X1 ∪ X2 = X. Uma decomposição disjunta de suporte (disjoint-support decomposition – DSD) é um caso especial de decomposição funcional, onde o conjunto de entradas X1 e X2 não compartilham elementos, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Por exemplo, a função =12̅̅̅3+123̅̅̅ 4̅̅̅+12̅̅̅4 é DSD, pois existe uma decomposição tal que =1(2⊕(3+4)). Uma forma read-polarity-once (RPO) é uma forma fatorada onde cada polaridade (positiva ou negativa) de uma variável aparece no máximo uma vez. Uma função Booleana é RPO se existe uma forma fatorada RPO que a representa. Por exemplo, a função =1̅̅̅24+13+23 é RPO, pois pode ser fatorada em =(1̅̅̅4+3)(1+2). Esta tese apresenta quarto novos algoritmos para síntese de funções Booleanas. A primeira contribuição é um método de síntese para funções read-once baseado em uma estratégia de divisão-e-conquista. A segunda contribuição é um algoritmo top-down para síntese de funções DSD baseado em soma-de-produtos, produto-de-somas e soma-exclusiva-de-produtos. A terceira contribuição é um método bottom-up para síntese de funções DSD baseado em diferença Booleana e cofatores. A última contribuição é um novo método para síntese de funções RPO que é baseado na análise de transições positivas e negativas. / The problem of factoring and decomposing Boolean functions is Σ-complete2 for general functions. Efficient and exact algorithms can be created for an existing class of functions known as read-once, disjoint-support decomposable and read-polarity-once functions. A factored form is called read-once (RO) if each variable appears only once. A Boolean function is RO if it can be represented by an RO form. For example, the function represented by =12+134+135 is a RO function, since it can be factored into =1(2+3(4+5)). A Boolean function f(X) can be decomposed using simpler subfunctions g and h, such that ()=ℎ((1),2) being X1, X2 ≠ ∅, and X1 ∪ X2 = X. A disjoint-support decomposition (DSD) is a special case of functional decomposition, where the input sets X1 and X2 do not share any element, i.e., X1 ∩ X2 = ∅. Roughly speaking, DSD functions can be represented by a read-once expression where the exclusive-or operator (⊕) can also be used as base operation. For example, =1(2⊕(4+5)). A read-polarity-once (RPO) form is a factored form where each polarity (positive or negative) of a variable appears at most once. A Boolean function is RPO if it can be represented by an RPO factored form. For example the function =1̅̅̅24+13+23 is RPO, since it can factored into =(1̅̅̅4+3)(1+2). This dissertation presents four new algorithms for synthesis of Boolean functions. The first contribution is a synthesis method for read-once functions based on a divide-and-conquer strategy. The second and third contributions are two algorithms for synthesis of DSD functions: a top-down approach that checks if there is an OR, AND or XOR decomposition based on sum-of-products, product-of-sums and exclusive-sum-of-products inputs, respectively; and a method that runs in a bottom-up fashion and is based on Boolean difference and cofactor analysis. The last contribution is a new method to synthesize RPO functions which is based on the analysis of positive and negative transition sets. Results show the efficacy and efficiency of the four proposed methods.