Ewens sampling formula is the sampling distribution for a population assumed to follow a one parameter Poisson-Dirichlet distribution, where the parameter is fixed. In this project this assumption will be loosened and we will look at the parameter as a function of the sample size. This will result in sampling from a family of Poisson-Dirichlet distributions. Estimators for this new construction will be tested using two different simulation methods. / Thesis / Master of Science (MSc)

Reziumė Disertacijoje nagrinėjamos atsitiktinių keitinių problemos yra priskirtinos tikimybinei kombinatorikai. Gauti rezultatai aprašo visiškai adityviųjų funkcijų, apibrėžtų simetrinėje grupėje, reikšmių asimptotinius skirstinius Evenso tikimybinio mato atžvilgiu, kai grupės eilė neaprėžtai didėja. Išvestos adityviųjų funkcijų laipsninių ir faktorialinių momentų formulės. Funkcijų, išreiškiančių atsitiktinio keitinio ciklų su bet kokiais apribojimais skaičius, atveju rastos būtinos ir pakankamos ribinių tikimybinių dėsnių egzistavimo sąlygos. Išsamiai išnagrinėtas konvergavimas į Puasono, quasi-Puasono, Bernulio, binominio ir kitus skirstinius, sukoncentruotus sveikųjų neneigiamų skaičių aibėje. Rezultatai apibendrinti sveikareikšmių visiškai adityviųjų funkcijų klasėje. Darbe įrodytas bendras silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis, rastos būtinos ir pakankamos adityviųjų funkcijų sekų pasiskirstymo funkcijų konvergavimo į išsigimusį nuliniame taške dėsnį egzistavimo sąlygos. Sprendžiamos problemos yra susietos su tikimybiniais vektorių, turinčių sveikąsias neneigiamas koordinates, uždaviniais. Adicinėje tokių vektorių pusgrupėje išnagrinėti multiplikatyviųjų funkcijų vidurkiai tikimybinio mato, vadinamo Evanso atrankos formule, atžvilgiu. Gauti tikslūs viršutinieji ir apatinieji įverčiai. Iš jų išplaukia svarbios atsitiktinių keitinių tikimybių savybės. Disertacijoje plėtojami faktorialinių momentų ir kiti kombinatoriniai bei tikimybiniai metodai. / In the thesis the examining problems of random permutations are attributed to the probabilistic combinatorics. Obtained results describe asymptotical distributions of completely additive functions values defined on a symmetric group with respect to Ewens probability measure, if the group order unbounded increases. Power and factorial moments formulae of additive functions are derived. There are established necessary and sufficient conditions under which the distributions of a number of cycles with restricted lengths obey the limit probability laws. The convergence to the Poisson, quasi-Poisson, Bernoulli, binomial and other distributions, defined on the positive whole - number set are exhaustively investigated. The results are generalized on the class of whole - number completely additive functions. The general weak law of large numbers is proved in the thesis, necessary and sufficient existence conditions, under which the distributions of the sequences of additive functions converge to the degenerate at the point zero limit law are established. Examining problems are related to the probability tasks of the vectors, which have whole - numbered nonnegative coordinates. The mean values of multiplicative functions defined on those vectors’ additive semigroup with respect to the Ewens measure, called Ewens Sampling Formula, and investigated. Lower and upper sharp estimates are obtained. From the latter results follow important probabilities’ properties of random... [to full text]

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Cette thèse se concentre sur certains sujets en génétique des populations. Dans la première partie, nous donnons des formules y compris l'espérance et la variance de la hauteur et celles de la longueur du graphe de recombinaison ancestral (ARG) et l'espérance et la variance du nombre de recombinaison et nous montrons que l'espérance de la longueur de l'ARG est une combinaison linéaire de l'espérance de la longueur de la coalescence de Kingman et l'espérance de la hauteur de l'ARG. En outre, nous avons obtenu une relation entre l'espérance la longueur de l'ARG et l'espérance du nombre de recombinaisons. À la fin de cette partie, nous montrons que l'ARG descend de l'infini de telle sorte que X_0 =∞, alors que X_t < ∞ ; pour tout t et on trouve la vitesse à laquelle l'ARG descend de l'infini. Dans la deuxième partie on généralise la formule d'échantillonnage d'Ewens (GESF) en présence de la recombinaison pour les échantillons de taille n = 2 et n = 3. Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions l'ARG le long du génome et nous avons trouvé la distribution du nombre de mutations dans le cas avec une seule recombinaison dans la généalogie de l'échantillon. / This thesis is concentrated on some sub jects on population genetics. In the first part we give formulae including the expectation and variance of the height and the length of the ancestral recombination graph (ARG) and the expectation and variance of the number of recombination events and we show that the expectation of the length of the ARG is a linear combination of the expectation of the length of Kingman's coalescent and the expectation of the height of the ARG. Also we show give a relation between the expectation of the ARG and the expectation of the number of recombination events. At the end of this part we show that the ARG comes down from infinity in the sense that we can dfine it with X_0 = ∞, while X_t <∞ ; for all t and we find the speed that the ARG comes down from infinity. In the second part wfind a generalization of the the Ewens sampling formula (GESF) in the presence of recombination for sample of sizes n = 2 and n = 3. In the third part of the thesis we study the ARG along the genome and we we find the distribution of the number of mutations when we have one recombination event in the genealogy of the sample.