Thesis advisor: Dawei Chen / We investigate the count of meromorphic differentials on the Riemann sphere pos-sessing a single zero, multiple poles with prescribed orders, and fixed residues at each pole. Gendron and Tahar previously examined this problem with respect to general residues using flat geometry, while Sugiyama approached it from the perspective of fixed-point multipliers of polynomial maps in the case of simple poles. In our study, we employ intersection theory on compactified moduli spaces of differentials, enabling us to handle arbitrary residues and pole orders, which provides a complete solution to this problem. We also determine interesting combinatorial properties of the solution formula. This thesis is organized as follows: In Chapter 1 we give an introduction to the problem and summarize the main results obtained. In Chapter 2 we review the compactification of moduli spaces of differentials and introduce various divisor classes. In Section 2.3 we explain how to identify the universal line bundle class with the divisor class of the locus of differentials satisfying a general given residue tuple and prove Theorem 1.0.1 (i). In Section 2.4 we impose exactly one independent partial sum vanishing condition to the residues and prove Theorem 1.0.1 (ii). In Section 2.5 we give a polynomial expression in terms of the zero order for the degree of mixed products between powers of the dual tautological class and the psi-class of the zero. Finally in Chapter 3 we prove Theorem 1.0.2 for arbitrary residues and investigate combinatorial properties of the solution formula. We have also verified our formula numerically for a number of cases by using the software package [CMZ2]. / Thesis (PhD) — Boston College, 2024. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Mathematics.

A polymer is a large molecule constructed from many smaller structural units calledmonomers joined together by covalent bonds. Polymers have existed in natural formsince life began and those such as DNA, RNA, proteins and polysaccharides are someof the most important macromolecules found in plant and animal life. From the earliesttimes, the man has used many of these polymers as materials for providing clothing,decoration, tools, weapons and other requirements. However, the origins of today'spolymer industry commonly are accepted as being in the nineteenth century whenimportant discoveries were made concerning to the modification of certain naturalpolymers, as cellulose. The use of synthetic and natural polymers as stabilisers forcolloid systems (sols, dispersions, microemulsions, etc.) is becoming more importanteveryday in contemporary life. Polymer additives can be applied in preconcentrationsand dehydration of suspensions in mineral processing, purification of wastewater andeven in nutritional and pharmaceutical emulsions being their importance related to thecharacteristics of the process and the properties that they show. The present work aimsto develop appropriate numerical and analytical modelling techniques, which candescribe (considering the formation of loops and tails) the structure of a polymeric layeradsorbed on heterogeneous surfaces; this adsorbed layer is an relevant factor in theproperties showed by this kind of materials. Taking into account this, the methodologyknown as Single Chain Mean Field (SCMF) (originally used to study micellaraggregates and grafted polymers) was modified to apply on polymer adsorptionproblems. In this way, it was possible to calculate numerically properties that can beexperimentally measured, such as total monomer volume fraction profiles, loop and tailvolume fraction profiles, adsorbance or the thickness of the adsorbed layer. Thestructure of the polymeric layer was examined both for flat and spherical (colloidalparticles) surface geometries. When compared with other well establishedmethodologies for the numerical simulation of polymeric systems, this new version ofSCMF was found to be more efficient due to the improved sampling of the polymerchain configuration space.Thus, SCMF method results, in the case of the adsorption on flat surfaces, compare wellwith those obtained either with Monte Carlo simulations or with the method developedin the 80s by Scheutjens and Fleer (SCF). Due to the lack of studies focusing to polymeradsorption on colloidal particles, our results have been the first to present quantitativepredictions of the structure of the polymeric layer adsorbed on a spherical surface. Thus,we have demonstrated the dependence of the adsorbed polymer layer with the size ofthe colloidal particle as well as the characteristic lengths that influence on it. Finally, inthis work an analytical approach for the description of polymer-colloidal mixtures hasbeen developed which compares well with the numerical results obtained from theSCMF methodology. Furthermore, the analytical approach is able to predict systembehaviours, as for example the formation of gels. / Un polímero es una molécula de grandes dimensiones formada de pequeñas unidadesllamadas monómeros, los cuales se encuentran unidos por medio de enlaces covalentes.Los polímeros han existido de forma natural desde el comienzo de la vida, y aquelloscomo el DNA, RNA o las proteínas son algunos de los polímeros más importantesencontrados tanto en la vida animal como en la vegetal. Desde siempre el hombre hautilizado muchos de estos polímeros como materiales para hacer ropa, decoración,herramientas, etc. Sin embargo, el origen de la industria de polímeros que conocemoshoy en día se produjo en el siglo 19, gracias a importantes descubrimientos dentro de lamodificación de ciertos polímeros naturales, como la celulosa. El uso de polímerossintéticos y naturales como estabilizadores de sistemas coloidales (dispersiones,microemulsiones, etc.) juega en nuestros días un papel importante. Los polímerosutilizados como aditivos, pueden ser aplicados en preconcentraciones y deshidrataciónde suspensiones dentro de procesos minerales, tratamiento de aguas residuales e inclusolos podemos encontrar dentro de la industria farmacéutica y alimentaria, donde suimportancia es debida a la procesabilidad y propiedades que ellos exhiben. El trabajoque se presenta es orientado al desarrollo de técnicas de modelización, tanto analíticascomo computacionales, y su aplicación en la descripción (por medio de la formación debucles y colas) de la estructura de la capa de polímeros adsorbida en superficiesheterogéneas, siendo dicha capa de polímeros un factor importante en las propiedadesque este tipo de materiales presentan. Con este propósito, la metodología conocidacomo Single Chain Mean Field, utilizada anteriormente tanto para el estudio deagregados micelares como de polímeros anclados en superficies, ha sido modificadapara describir la adsorción de polímeros en superficies. Así se han podido calcularnuméricamente propiedades medibles experimentalmente como los perfiles de lafracción en volumen de monómeros totales, además de los pertenecientes a los bucles ycolas, adsorbancia o el espesor de la capa adsorbida, para geometrías de la superficieabsorbente tanto plana como esférica (partículas coloidales). En su comparación conotras metodologías, ya establecidas para la simulación numérica dentro de la física depolímeros, la aplicación de esta nueva versión del Single Chain Mean Field (SCMF)ha resultado ser más eficiente debido a un mejor muestreo del espacio deconfiguraciones de las cadenas poliméricas. De este modo, comparando los resultadosobtenidos a partir del SCMF, con aquellos obtenidos mediante técnicas de simulaciónMonte Carlo o la teoría desarrollada en los años 80 por Scheutjens y Fleer (SCF), se hapodido encontrar un buen acuerdo en las propiedades calculadas para el caso de laadsorción en superficies planas. Debido a la dificultad intrínseca del estudio de laadsorción en superficies curvadas, nuestros resultados son los primeros que presentanpredicciones cuantitativas sobre la estructura de la capa que se forma sobre unapartícula coloidal. Así hemos podido comprobar la dependencia de la estructura de lacapa de polímeros adsorbidos con el tamaño de la partícula sobre la que se encuentranadsorbidos además de las longitudes características de las cuales depende. Finalmente,en este trabajo se ha desarrollado, también, una teoría analítica para la descripción de lamezcla polímero-coloide. De este modo, los resultados numéricos obtenidos con elSCMF han podido ser comparados con dicha teoría, obteniendo, de nuevo, un buenacuerdo y predecir, además, comportamientos colectivos como la formación de geles.

Un problema clásico en geometría lorentziana es la descripción de las inmersiones isométricas entre los espacios lorentzianos de curvatura constante. En este trabajo nos centramos en la clasificación de las inmersiones isométricas del plano lorentziano en el espacio anti-de Sitter tridimensional. Damos una fórmula de representación de estas inmersiones en términos de pares de curvas (con posibles singularidades) en el plano hiperbólico. Esto nos permite resolver los problemas propuestos por Dajczer y Nomizu en 1981. De entre todas las inmersiones isométricas del plano lorentziano en el espacio anti-de Sitter, algunas de ellas corresponden a toros lorentzianos (los ejemplos más sencillos son los toros de Hopf). Como aplicación de nuestra anterior descripción, probamos que todos estos toros pueden obtenerse a partir de dos curvas cerradas en el espacio hiperbólico. Finalmente, demostramos que los toros de Hopf son los únicos toros llanos lorentzianos inmersos en una amplia familia de sumersiones de Killing lorentzianas tridimensionales. / A classical problem in Lorentzian geometry is the description of the isometric immersions between Lorentzian spaces of constant curvature. We investigate the problem of classifying the isometric immersion from the Lorentz plane into the three-dimensional anti-de Sitter space, providing a representation formula of these isometric immersions in terms of pairs of curves (possibly with singularities) in the hyperbolic plane. We then give an answer to the open problems proposed by Dajczer and Nomizu in 1981. Among all isometric immersions of the Lorentz plane into the anti-de Sitter space, some of them are actually Lorentzian tori (the basic examples are the Hopf tori). As an application of our previous description, we prove that any such torus can be recovered from two closed curves in the hyperbolic plane. Finally, we prove that Lorentzian Hopf tori are the only immersed Lorentzian flat tori in a wide family of Lorentzian three-dimensional Killing submersions.