Le présent travail a pour but l'étude des formes lexicographiques des fonctions booléennes simples complètes ou incomplètes. Ces écritures ont pour application directe la synthèse arborescente des fonctions booléennes à l'aide de l'opérateur U.<br /><br />Nous présentons un algorithme de construction des telles formes que nous avons programmé ainsi qu'un certain nombre de propriétés s'y rapportant.

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Le chiffrement complètement homomorphe est une classe de chiffrement permettant de calculer n’importe quelle fonction sur des données chiffrées et de produire une version chiffrée du résultat. Il permet de déléguer des données à un cloud de façon sécurisée, faire effectuer des calculs, tout en gardant le caractère privé de ces données. Cependant, l’innéficacité actuelle des schémas de chiffrement complètement homomorphes, et leur inadéquation au contexte de délégation de calculs, rend son usage seul insuffisant pour cette application. Ces deux problèmes peuvent être résolus, en utilisant ce chiffrement dans un cadre plus large, en le combinant avec un schéma de chiffrement symétrique. Cette combinaison donne naissance au chiffrement complètement homomorphe hybride, conçu dans le but d’une délégation de calculs efficace, garantissant des notions de sécurité et de vie privée. Dans cette thèse, nous étudions le chiffrement complètement homomorphe hybride et ses composantes, à travers la conception de primitives cryptographiques symétriques rendant efficace cette construction hybride. En examinant les schémas de chiffrement complètement homomorphes, nous developpons des outils pour utiliser efficacement leurs propriétés homomorphiques dans un cadre plus complexe. En analysant différents schémas symétriques, et leurs composantes, nous déterminons de bons candidats pour le contexte hybride. En étudiant la sécurité des constructions optimisant l’évaluation homomorphique, nous contribuons au domaine des fonctions booléennes utilisées en cryptologie. Plus particulièrement, nous introduisons une nouvelle famille de schémas de chiffrement symétriques, avec une nouvelle construction, adaptée au contexte hybride. Ensuite, nous nous intéressons à son comportement homomorphique, et nous étudions la sécurité de cette construction. Finalement, les particularités de cette famille de schémas de chiffrement motivant des cryptanalyses spécifiques, nous développons et analysons de nouveaux critères cryptographiques booléens. / Fully homomorphic encryption, firstly built in 2009, is a very powerful kind of encryption, allowing to compute any function on encrypted data, and to get an encrypted version of the result. Such encryption enables to securely delegate data to a cloud, ask for computations, recover the result, while keeping private the data during the whole process. However, today’s inefficiency of fully homomorphic encryption, and its inadequateness to the outsourcing computation context, makes its use alone insufficient for this application. Both of these issues can be circumvented, using fully homomorphic encryption in a larger framework, by combining it with a symmetric encryption scheme. This combination gives a hybrid fully homomorphic framework, designed towards efficient outsourcing computation, providing both security and privacy. In this thesis, we contribute to the study of hybridfully homomorphic framework, through the analysis, and the design of symmetric primitives making efficient this hybrid construction. Through the examination of fully homomorphic encryption schemes, we develop tools to efficiently use the homomorphic properties in a more complex framework. By investigating various symmetric encryption schemes, and buildingblocks up to the circuit level, we determine good candidates for a hybrid context. Through evaluating the security of constructions optimizing the homomorphic evaluation, we contribute to a wide study within the cryptographic Boolean functions area. More particularly, we introduce a new family of symmetric encryption schemes, with a new design, adapted to the hybrid fully homomorphic framework. We then investigate its behavior relatively to homomorphic evaluation, and we address the security of such design. Finally, particularities of this family of ciphers motivate specific cryptanalyses, therefore we develop and analyze new cryptographic Boolean criteria.

Le but de cette thèse est l'étude des Automates Cellulaires (AC) dans la perspective des fonctions booléennes et des dessins combinatoires. Au-delà de son intérêt théorique, cette recherche est motivée par ses applications à la cryptographie, puisque les fonctions booléennes et les dessins combinatoires sont utilisés pour construire des générateurs de nombres pseudo aléatoires (Pseudorandom Number Generators, PRNG) et des schémas de partage de secret (Secret Sharing Schemes, SSS). Les résultats présentés dans la thèse ont été développés sur trois lignes de recherche, organisées comme suit. La première ligne porte sur l'utilisation des algorithmes d'optimisation heuristique pour chercher des fonctions booléennes ayant des bonnes propriétés cryptographiques, à utiliser comme des règles locales dans des PRNG basés sur les AC. La motivation principale est l'amélioration du générateur de Wolfram basé sur la règle 30, qui a été montré être vulnérable vis à vis de deux attaques cryptanalytiques. La deuxième ligne s'occupe des fonctions booléennes vectorielles engendrées par les règles globales des AC. La première contribution considère la période des pré-images des configurations spatialement périodiques dans les AC surjectifs, et l'analyse des propriétés cryptographiques des règles globales des AC. La troisième ligne se concentre sur les dessins combinatoires engendrés par les AC, en considérant les Carrés Latins Orthogonaux (Orthogonal Latin Squares, OLS), qui sont équivalents aux SSS. En particulier, on donne une caractérisation algébrique des OLS engendrés par les AC linéaires, et on utilise des algorithmes heuristiques pour construire des OLS basés sur des AC non linéaires. / The goal of this thesis is the investigation of Cellular Automata (CA) from the perspective of Boolean functions and combinatorial designs. Beside its theoretical interest, this research finds its motivation in cryptography, since Boolean functions and combinatorial designs are used to construct Pseudorandom Number Generators (PRNG) and Secret Sharing Schemes (SSS). The results presented in the thesis are developed along three research lines, organized as follows. The first line considers the use of heuristic optimization algorithms to search for Boolean functions with good cryptographic properties, to be used as local rules in CA-based PRNG. The main motivation is to improve Wolfram's generator based on rule 30, which has been shown to be vulnerable against two cryptanalytic attacks. The second line deals with vectorial Boolean functions induced by CA global rules. The first contribution considers the period of preimages of spatially periodic configurations in surjective CA, and analyze the cryptographic properties of CA global rules. The third line focuses on the combinatorial designs generated by CA, specifically considering Orthogonal Latin Squares (OLS), which are equivalent to SSS. In particular, an algebraic characterization of OLS generated by linear CA is given, and heuristic algorithms are used to build OLS based on nonlinear CA.