Notre travail de thèse trouve son origine dans un constat d'échec ressenti durant plusieurs années concernant un enseignement de topologie dans lequel nous prenons une part active, en première année d'université. Nous nous sommes donc donnée comme objectif de développer des pistes d'enrichissement, voire de modifications, de cet enseignement pouvant mener aux acquisitions visées tout en s'inscrivant dans les contraintes institutionnelles qui le délimitent strictement. À partir d'une étude épistémologique de la genèse et du développement de plusieurs notions de topologie, nous avons pu caractériser leurs aspects formalisateur, unificateur et généralisateur. Cette étude, complétée par une analyse comparative de quelques manuels, a contribué à l'élaboration d'un scénario d'enseignement intégrant un certain nombre de leviers didactiques susceptibles de favoriser les apprentissages en topologie des étudiants, en tenant compte toutefois des contraintes déjà signalées. En nous plaçant dans le cadre théorique de la théorie de l'activité spécifiée aux mathématiques, nous avons explicité la description de notre scénario en termes de tâches et d'activités attendues chez les étudiants, avant de l'expérimenter dans notre classe. Les analyses des déroulements en classe associées à celles des productions des étudiants aux différentes évaluations ont permis d'approcher les apprentissages en topologie effectivement réalisés par les étudiants, en relation avec la nature des tâches. Une diminution significative des échecs dans les tâches de manipulation des définitions a été observée. Cependant, il manque aux étudiants une certaine disponibilité des notions de topologie dans les tâches plus complexes que nous avons pu associer à notre scénario. Cette recherche met en évidence l'apport des analyses didactiques menées en amont de l'enseignement dans un travail de type ingénierie pour mieux appréhender ce que leur enseignement doit apporter aux étudiants. Elle pointe également toute l'importance de l'inscription des contraintes institutionnelles dans l'élaboration et l'expérimentation d'un scénario d'enseignement. C'est en mettant en relation ces deux dimensions et les progrès réels mais limités des étudiants que nous avons été en mesure d'apprécier la portée du scénario et d'envisager des alternatives mettant cette fois en cause le curriculum.