Titre de l'écran-titre (visionné le 2 octobre 2023) / Dans cette thèse, le problème de Steklov est étudié. Tout d'abord, ce problème est étudié sur des variétés riemanniennes fermées soumises à des excisions tubulaires. Étant données $\varepsilon > 0$, une variété riemannienne fermée $M$ de dimension $m \geq 2$ et une sous-variété fermée $N \subset M$ de dimension $0 \leq n \leq m - 2$, une excision tubulaire consiste à enlever le voisinage tubulaire $N^{\varepsilon} := \{ p \in M : d_{g}(p, N) \leq \varepsilon \}$ de taille $\varepsilon$ autour de $N$ afin d'obtenir le domaine $\Omega_{\varepsilon} := M \setminus N^{\varepsilon}$. Le résultat principal de cette thèse concerne le comportement des valeurs propres de Steklov d'une variété riemannienne fermée $M$ soumise à un nombre fini $b \geq 1$ d'excisions tubulaires. Plus précisément, il est montré que les valeurs propres divergent lorsque la taille des voisinages tubulaires tend vers $0$. Cette construction donne un nouvel exemple de variétés ayant une grande première valeur propre et permet d'étudier des problèmes de type isopérimétrique, comme étudier la pertinence de certaines quantités géométriques présentes dans des bornes supérieures connues. On utilise la quasi-isométrie et la comparaison des valeurs propres de Steklov à des valeurs propres de problèmes mixtes -- le problème de Steklov-Neumann et le problème de Steklov-Dirichlet. La séparation de variables est ensuite utilisée pour calculer les valeurs propres de ces problèmes mixtes. Grâce à cette méthode, on obtient l'ordre et le taux de divergence des valeurs propres ordonnées d'indice supérieur à $b$. Finalement, les fonctions propres et les valeurs propres de Steklov pour des boules géodésiques des sphères et des espcaes hyperboliques sont calculées. Elles sont trouvées à l'aide de la méthode de séparation de variables. / In this thesis, the Steklov problem is studied. This problem is first studied on closed Riemannian manifolds subject to tubular excisions. Given $\varepsilon > 0$, a closed Riemannian manifold $M$ of dimension $m \geq 2$ and a closed submanifold $N \subset M$ of dimension $0 \leq n \leq m - 2$, a tubular excision consists of removing the tubular neighbourhood $N^{\varepsilon} := \{ p \in M : d_{g}(p, N) \leq \varepsilon \}$ of size $\varepsilon$ around $N$ to obtain the domain $\Omega_{\varepsilon} := M \setminus N^{\varepsilon}$. The principal result of this thesis concerns the behaviour of the Stekov eigenvalues of a closed Riemannian manifold $M$ subject to a finite number $b \geq 1$ of tubular excisions. More precisely, it is proven that the eigenvalues diverge to infinity when the size of the tubular neighbourhood tends to $0$. This construction gives a new example of manifolds with a large first eigenvalue and allows to study isoperimetric type problems, as well as study the importance of certain geometric quantities present in known upper bounds. We use quasi-isometry and the bracketing of Steklov eigenvalues which compares the Steklov eigenvalues with eigenvalues of mixed problems -- the Steklov-Neumann and the Steklov-Dirichlet problems. Then, the eigenvalues of those mixed problems are computed via the method of separation of variables. This method gives us the order and the rate of divergence of the ordered eigenvalues of index superior to "b". In a second part, the eigenfunctions and eigenvalues of geodesic balls in spheres and hyperbolic spaces are computed via the method of separation of variables.

Les radars à synthèse d'ouverture (Synthetic Aperture Radar ou SAR) permettent de fournir des images à très haute résolution de la surface de la Terre. Les algorithmes de classification traditionnels se basent sur une hypothèse de bruit gaussien comme modèle de signal, qui est rapidement mise en défaut lorsque l'environnement devient inhomogène ou impulsionnel, comme c'est particulièrement le cas dans les images SAR polarimétriques haute résolution, notamment au niveau des zones urbaines. L'utilisation d'un modèle de bruit composé, appelé modèle SIRV, permet de mieux prendre en compte ces phénomènes et de représenter la réalité de manière plus adéquate. Cette thèse s'emploie alors à étudier l'application et l'impact de ce modèle pour la classification des images SAR polarimétriques afin d'améliorer l'interprétation des classifications au sens de la polarimétrie et à proposer des outils adaptés à ce nouveau modèle. En effet, il apparaît rapidement que les techniques classiques utilisent en réalité beaucoup plus l'information relative à la puissance de chaque pixel plutôt qu'à la polarimétrie pour la classification. Par ailleurs, les techniques de classification traditionnelles font régulièrement appel à la moyenne de matrices de covariance, calculée comme une moyenne arithmétique. Cependant, étant donnée la nature riemannienne de l'espace des matrices de covariance, cette définition n'est pas applicable et il est nécessaire d'employer une définition plus adaptée à cette structure riemannienne. Nous mettons en évidence l'intérêt d'utiliser un modèle de bruit non gaussien sur des données réelles et nous proposons plusieurs approches pour tirer parti de l'information polarimétrique qu'il apporte. L'apport de la géométrie de l'information pour le calcul de la moyenne est de même étudié, sur des données simulées mais également sur des données réelles acquises par l'ONERA. Enfin, une étude préliminaire d'une extension de ces travaux au cas de l'imagerie hyperspectrale est proposée, de par la proximité de ce type de données avec les données SAR polarimétriques. / Synthetic Aperture Radars (SAR) now provide high resolution images of the Earth surface. Traditional classification algorithms are based on a Gaussian assumption for the distribution of the signal, which is no longer valid when the background is heterogeneous, which is particularly the case for polarimetric SAR images, especially in urban areas. A compound Gaussian model, called the SIRV model, allows to take into account these phenomena. This thesis is then devoted to studying the impact of this model for the classification of polarimetric SAR images in order to improve the interpretation of classification results in a polarimetric sense, and to propose tools better suited to this model. Indeed, classical techniques using the Gaussian assumption actually use the power information of each pixel much more than the polarimetric information. Furthermore, it is often necessary to compute a mean of covariance matrices, usually by taking the standard arithmetical mean. However, the space of covariance matrices has a Riemannian structure, not an Euclidean one, which means this definition of the mean is not correct. We will then present several methods to use the actual polarimetric information thanks to the SIRV model to improve the classification results. The benefit of using a correct, Riemannian definition of the mean will also be demonstrated on simulated and real data. Finally, a preliminary study of an extension of this work to hyperspectral imagery will be presented.

Les radars à synthèse d'ouverture (Synthetic Aperture Radar ou SAR) permettent de fournir des images à très haute résolution de la surface de la Terre. Les algorithmes de classification traditionnels se basent sur une hypothèse de bruit gaussien comme modèle de signal, qui est rapidement mise en défaut lorsque l'environnement devient inhomogène ou impulsionnel, comme c'est particulièrement le cas dans les images SAR polarimétriques haute résolution, notamment au niveau des zones urbaines. L'utilisation d'un modèle de bruit composé, appelé modèle SIRV, permet de mieux prendre en compte ces phénomènes et de représenter la réalité de manière plus adéquate. Cette thèse s'emploie alors à étudier l'application et l'impact de ce modèle pour la classification des images SAR polarimétriques afin d'améliorer l'interprétation des classifications au sens de la polarimétrie et à proposer des outils adaptés à ce nouveau modèle. En effet, il apparaît rapidement que les techniques classiques utilisent en réalité beaucoup plus l'information relative à la puissance de chaque pixel plutôt qu'à la polarimétrie pour la classification. Par ailleurs, les techniques de classification traditionnelles font régulièrement appel à la moyenne de matrices de covariance, calculée comme une moyenne arithmétique. Cependant, étant donnée la nature riemannienne de l'espace des matrices de covariance, cette définition n'est pas applicable et il est nécessaire d'employer une définition plus adaptée à cette structure riemannienne. Nous mettons en évidence l'intérêt d'utiliser un modèle de bruit non gaussien sur des données réelles et nous proposons plusieurs approches pour tirer parti de l'information polarimétrique qu'il apporte. L'apport de la géométrie de l'information pour le calcul de la moyenne est de même étudié, sur des données simulées mais également sur des données réelles acquises par l'ONERA. Enfin, une étude préliminaire d'une extension de ces travaux au cas de l'imagerie hyperspectrale est proposée, de par la proximité de ce type de données avec les données SAR polarimétriques.

Cette thèse est consacrée au développement d'outils de traitement pour l'Imagerie par Résonance Magnétique du Tenseur de Diffusion (IRM-TD). Cette technique d'IRM récente est d'une grande importance pour comprendre le fonctionnement du cerveau ou pour améliorer le diagnostic de pathologies neurologiques. Nous proposons des méthodes de traitement basées sur la géométrie Riemannienne, les équations aux dérivées partielles et les techniques de propagation de front. La première partie de ce travail est théorique. Après des rappels sur le système nerveux humain, l'IRM et la géométrie différentielle, nous étudions l'espace des lois normales multivariées. L'introduction d'une structure Riemannienne sur cet espace nous permet de définir des statistiques et des schémas numériques intrinsèques qui sont à la base des algorithmes proposés dans la seconde partie. Les propriétés de cet espace sont importantes pour l'IRM-TD car les tenseurs de diffusion sont les matrices de covariance de lois normales modélisant la diffusion des molécules d'eau en chaque voxel du milieu imagé. La seconde partie est méthodologique. Nous y introduisons des approches originales pour l'estimation et la régularisation d'IRM-TD. Puis nous montrons comment évaluer le degré de connectivité entre aires corticales et introduisons un modèle statistique d'évolution de surface permettant de segmenter ces images. Finalement, nous proposons une méthode de recalage non-rigide. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'analyse des connexions entre le cortex cérébral et les noyaux gris centraux, impliquées dans des tâches motrices, et à l'étude du réseau anatomo-fonctionnel du cortex visuel humain..