This thesis contains an exposition of the new strongly polynomial algorithm for the generalized flow problem by Laszlo Vegh (2013). It has been a long-standing open question whether such an algorithm exists, until it was resolved by Vegh in 2013. Generalized flows have many applications in economic problems, such as transportation of goods and foreign currency exchange. The main presentation follows Vegh's paper, but this exposition contains some simplifications and differences in the algorithm and its analysis. The main difference is that we consider the running time of the strongly polynomial algorithm up to one arc contraction before starting fresh on a smaller network. This increases the running time of the algorithm slightly, but the analysis becomes easier.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l'analyse et la conception de réseaux étudiés sont les réseaux de fibres optiques et les réseaux de capteurs. Les problématiques étudiées sont: pour les réseaux de fibres optiques, minimiser le coût de déploiement et assurer la qualité de service; dans les réseaux de capteurs, garantir la sécurité des transmissions et l'énergie consommée par le routage des communications. Pour résoudre ces problèmes nous utilisons des techniques de théorie des graphes, de complexité, de programmation linéaire. Le premier problème consiste à concevoir un plan d'installation de fibres optiques de coût minimal permettant de connecter un ensemble de clients à un noeud de raccordement via un ensemble de coupleurs en respectant les contraintes technologiques imposées par la norme. Nous proposons une modélisation de ce problème ainsi qu'une méthode de résolution. Le deuxième problème est un problème de flot avec contrainte de délai où le délai pour traverser une liaison est proportionnel à la quantité de flot quicircule sur celle-ci. Nous proposons une preuve de NP-complétude dans le cas général, un algorithme d'approximation facteur 2 dans le cas où le graphe support est un chemin et une heuristique évaluée de façon expérimentale qui calcule en un temps raisonnable de bonnes solutions pour des instances de tailles réelles. Enfin, nous proposons deux protocoles concernant les réseaux de capteurs. Le premier, basé sur un algorithme distribué, calcule un ensemble de chemins disjoints entre les terminaux. Le second maximise la durée de vie d'un réseau de capteurs alimentés par batteries. Des résultats s'expérimentations numériques sont présentés. / In this thesis, we study some optimization problem applied to telecommunication networks. We study fiber optical networks and sensor networks. We are interested to analysis and design for these types of networks. The issues studied are: for fiber optic networks, minimize the cost of deployement and ensure quality of service; for sensors network, ensure the safety of transmissions and the energy consumed. To solve these problems we use techniques as graphs theory, complexity, linearprogramming, generalized flows and paths with resource constraints. The first problem is to minimize the cost to deploy a fiber optical network which connect a set of customers to a connection node through a set of splitter and deal about technological constraints imposed by the standard. We propose a model and a method of resolution for this problem. The second problem is a flow problem with delay constraint where time to cross a edge is proportional to the amount of flow that flows thereon. We offer a proof of NP-completeness in the general case, an approximation algorithm factor 2 in the case where the support graph is a path and an estimated experimentally an heuristic that calculates good solutions for instances of real sizes. Finally, we propose two protocols for sensor networks, which resulted in two patents. The first, based on a distributed algorithm, calculates a set of disjoint paths between terminals. The second maximizing the lifetime of sensors powered by batteries. The results of numerical experiments are also presented.