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Sobre b-coloração de grafos com cintura pelo menos 6 / About b-coloring of graphs with waist at least 6Lima, Carlos Vinicius Gomes Costa January 2013 (has links)
LIMA, Carlos Vinicius Gomes Costa. Sobre b-coloração de grafos com cintura pelo menos 6. 2013. 60 f. Dissertação (Mestrado em ciência da computação)- Universidade Federal do Ceará, Fortaleza-CE, 2013. / Submitted by Elineudson Ribeiro (elineudsonr@gmail.com) on 2016-07-11T12:13:18Z
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Previous issue date: 2013 / The coloring problem is among the most studied in the Graph Theory due to its great theoretical and practical importance. Since the problem of coloring the vertices of a graph G either with the smallest amount of colors is NP-hard, various coloring heuristics are examined to obtain a proper colouring with a reasonably small number of colors. Given a graph G, the b heuristic of colouring comes down to decrease the amount of colors in a proper colouring c, so that, if all vertices of a color class fail to see any color in your neighborhood, then we can change the color to any color these vertices nonexistent in your neighborhood. Thus, we obtain a coloring c ′ with a color unless c. Irving and Molove defined the b-coloring of a graph G as a coloring where every color class has a vertex that is adjacent the other color classes. These vertices are called b-vertices. Irving and Molove also defined the b-chromatic number as the largest integer k, such that G admits a b-coloring by k colors. They showed that determine the value of the b-chromatic number of any graph is NP-hard, but polynomial for trees. Irving and Molove also defined the m-degree of a graph, which is the largest integer m(G) such that there are m(G) vertices with degree at least m(G) − 1. Irving and Molove showed that the m-degree is an upper limit to the b-chromatic number and showed that it is m(T) or m(T)−1 to every tree T, where its value is m(T) if, and only if, T has a good set. In this dissertation, we analyze the relationship between the girth, which is the size of the smallest cycle, and the b-chromatic number of a graph G. More specifically, we try to find the smallest integer g ∗ such that if the girth of G is at least g ∗ , then the b-chromatic number equals m(G) or m(G)−1. Show that the value of g ∗ is at most 6 could be an important step in demonstrating the famous conjecture of Erd˝os-Faber-Lov´asz, but the best known upper limit to g ∗ is 9. We characterize the graphs whose girth is at least 6 and not have a good set and show how b-color them optimally. Furthermore, we show how b-color, also optimally, graphs whose girth is at least 7 and not have good set. / O problema de coloração está entre os mais estudados dentro da Teoria dos Grafos devido a sua grande importância teorica e prática. Dado que o problema de colorir os vértices de um grafo G qualquer com a menor quantidade de cores é NP-difícil, várias heurísticas de coloração são estudadas a fim de obter uma coloração própria com um número de cores razoavelmente pequeno. Dado um grafo G, a heurística b de coloração se resume a diminuir a quantidade de cores utilizadas em uma coloração própria c, de modo que, se todos os vértices de uma classe de cor deixam de ver alguma cor em sua vizinhança, então podemos modificar a cor desses vértices para qualquer cor inexistente em sua vizinhança. Dessa forma, obtemos uma coloração c′ com uma cor a menos que c. Irving e Molove definiram a b-coloração de um grafo G como uma coloração onde toda classe de cor possui um vértice que é adjacente as demais classes de cor. Esses vértices são chamados b-vértices. Irving e Molove também definiram o número b-cromático como o maior inteiro k tal que G admite uma b-coloração por k cores. Eles mostraram que determinar o número b-cromático de um grafo qualquer é um problema NP-difícil, mas polinomial para árvores. Irving e Molove também definiram o m-grau de um grafo, que é o maior inteiro m(G) tal que existem m(G) vértices com grau pelo menos m(G)−1. Irving e Molove mostraram que o m-grau é um limite superior para número b-cromático e mostraram que o mesmo é igual a m(T) ou a m(T)−1, para toda árvore T, onde o número b-cromático é igual a m(T) se, e somente se, T possui um conjunto bom. Nesta dissertação, verificamos a relação entre a cintura, que é o tamanho do menor ciclo, e o número b-cromático de um grafo G. Mais especificamente, tentamos encontrar o menor inteiro g∗ tal que, se a cintura de G é pelo menos g∗, então o número b-cromático é igual a m(G) ou m(G)−1. Mostrar que o valor de g∗ é no máximo 6 poderia ser um passo importante para demonstrar a famosa Conjectura de Erdós-Faber-Lovasz, mas o melhor limite superior conhecido para g∗ é 9. Caracterizamos os grafos cuja cintura é pelo menos 6 e não possuem um conjunto bom e mostramos como b-colori-los de forma ótima. Além disso, mostramos como bicolorir, também de forma ótima, os grafos cuja cintura é pelo menos 7 e não possuem conjunto bom.
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Sobre b-coloraÃÃo de grafos com cintura pelo menos 6 / About b-coloring of graphs with waist at least 6Carlos Vinicius Gomes Costa Lima 25 February 2013 (has links)
Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / The coloring problem is among the most studied in the Graph Theory due to its great theoretical and practical importance. Since the problem of coloring the vertices of a graph G either
with the smallest amount of colors is NP-hard, various coloring heuristics are examined to obtain a proper colouring with a reasonably small number of colors.
Given a graph G, the b heuristic of colouring comes down to decrease the amount of colors
in a proper colouring c, so that, if all vertices of a color class fail to see any color in your
neighborhood, then we can change the color to any color these vertices nonexistent in your
neighborhood. Thus, we obtain a coloring c
′ with a color unless c.
Irving and Molove defined the b-coloring of a graph G as a coloring where every color class
has a vertex that is adjacent the other color classes. These vertices are called b-vertices. Irving
and Molove also defined the b-chromatic number as the largest integer k, such that G admits a
b-coloring by k colors. They showed that determine the value of the b-chromatic number of any
graph is NP-hard, but polynomial for trees.
Irving and Molove also defined the m-degree of a graph, which is the largest integer m(G)
such that there are m(G) vertices with degree at least m(G) − 1. Irving and Molove showed
that the m-degree is an upper limit to the b-chromatic number and showed that it is m(T) or
m(T)−1 to every tree T, where its value is m(T) if, and only if, T has a good set.
In this dissertation, we analyze the relationship between the girth, which is the size of the
smallest cycle, and the b-chromatic number of a graph G. More specifically, we try to find
the smallest integer g
∗
such that if the girth of G is at least g
∗
, then the b-chromatic number
equals m(G) or m(G)−1. Show that the value of g
∗
is at most 6 could be an important step in
demonstrating the famous conjecture of Erd˝os-Faber-LovÂasz, but the best known upper limit to
g
∗
is 9. We characterize the graphs whose girth is at least 6 and not have a good set and show
how b-color them optimally. Furthermore, we show how b-color, also optimally, graphs whose
girth is at least 7 and not have good set. / O problema de coloraÃÃo està entre os mais estudados dentro da Teoria dos Grafos devido
a sua grande importÃncia teorica e prÃtica. Dado que o problema de colorir os vÃrtices de um
grafo G qualquer com a menor quantidade de cores à NP-difÃcil, vÃrias heurÃsticas de coloraÃÃo
sÃo estudadas a fim de obter uma coloraÃÃo prÃpria com um nÃmero de cores razoavelmente
pequeno.
Dado um grafo G, a heurÃstica b de coloraÃÃo se resume a diminuir a quantidade de cores
utilizadas em uma coloraÃÃo prÃpria c, de modo que, se todos os vÃrtices de uma classe de cor
deixam de ver alguma cor em sua vizinhanÃa, entÃo podemos modificar a cor desses vÃrtices
para qualquer cor inexistente em sua vizinhanÃa. Dessa forma, obtemos uma coloraÃÃo c′ com
uma cor a menos que c.
Irving e Molove definiram a b-coloraÃÃo de um grafo G como uma coloraÃÃo onde toda
classe de cor possui um vÃrtice que à adjacente as demais classes de cor. Esses vÃrtices sÃo
chamados b-vÃrtices. Irving e Molove tambÃm definiram o nÃmero b-cromÃtico como o maior
inteiro k tal que G admite uma b-coloraÃÃo por k cores. Eles mostraram que determinar o
nÃmero b-cromÃtico de um grafo qualquer à um problema NP-difÃcil, mas polinomial para Ãrvores. Irving e Molove tambÃm definiram o m-grau de um grafo, que à o maior inteiro m(G) tal
que existem m(G) vÃrtices com grau pelo menos m(G)−1. Irving e Molove mostraram que o m-grau à um limite superior para nÃmero b-cromÃtico e mostraram que o mesmo à igual a m(T)
ou a m(T)−1, para toda Ãrvore T, onde o nÃmero b-cromÃtico à igual a m(T) se, e somente se,
T possui um conjunto bom.
Nesta dissertaÃÃo, verificamos a relaÃÃo entre a cintura, que à o tamanho do menor ciclo,
e o nÃmero b-cromÃtico de um grafo G. Mais especificamente, tentamos encontrar o menor
inteiro g∗ tal que, se a cintura de G à pelo menos g∗, entÃo o nÃmero b-cromÃtico à igual a
m(G) ou m(G)−1. Mostrar que o valor de g∗ Ã no mÃximo 6 poderia ser um passo importante
para demonstrar a famosa Conjectura de ErdÃs-Faber-Lovasz, mas o melhor limite superior
conhecido para g∗ à 9. Caracterizamos os grafos cuja cintura à pelo menos 6 e nÃo possuem um
conjunto bom e mostramos como b-colori-los de forma Ãtima. AlÃm disso, mostramos como bicolorir,
tambÃm de forma Ãtima, os grafos cuja cintura à pelo menos 7 e nÃo possuem conjunto
bom.
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Sobre b-coloração de grafos com cintura pelo menos 6 / About b-coloring of graphs with waist at least 6Lima, Carlos Vinicius Gomes Costa January 2013 (has links)
LIMA, Carlos Vinicius Gomes Costa. Sobre b-coloração de grafos com cintura pelo menos 6. 2013. 59 f. : Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Computação, Fortaleza- Ceará, 2013. / Submitted by guaracy araujo (guaraa3355@gmail.com) on 2016-06-13T18:53:18Z
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Previous issue date: 2013 / O problema de coloração está entre os mais estudados dentro da Teoria dos Grafos devido a sua grande importância teorica e prática. Dado que o problema de colorir os vértices de um grafo G qualquer com a menor quantidade de cores é NP-difícil, várias heurísticas de coloração são estudadas a fim de obter uma coloração própria com um número de cores razoavelmente pequeno. Dado um grafo G, a heurística b de coloração se resume a diminuir a quantidade de cores utilizadas em uma coloração própria c, de modo que, se todos os vértices de uma classe de cor deixam de ver alguma cor em sua vizinhança, então podemos modificar a cor desses vértices para qualquer cor inexistente em sua vizinhança. Dessa forma, obtemos uma coloração c′ com uma cor a menos que c. Irving e Molove definiram a b-coloração de um grafo G como uma coloração onde toda classe de cor possui um vértice que é adjacente as demais classes de cor. Esses vértices são chamados b-vértices. Irving e Molove também definiram o número b-cromático como o maior inteiro k tal que G admite uma b-coloração por k cores. Eles mostraram que determinar o número b-cromático de um grafo qualquer é um problema NP-difícil, mas polinomial para árvores. Irving e Molove também definiram o m-grau de um grafo, que é o maior inteiro m(G) tal que existem m(G) vértices com grau pelo menos m(G)−1. Irving e Molove mostraram que o m-grau é um limite superior para número b-cromático e mostraram que o mesmo é igual a m(T) ou a m(T)−1, para toda árvore T, onde o número b-cromático é igual a m(T) se, e somente se, T possui um conjunto bom. Nesta dissertação, verificamos a relação entre a cintura, que é o tamanho do menor ciclo, e o número b-cromático de um grafo G. Mais especificamente, tentamos encontrar o menor inteiro g∗ tal que, se a cintura de G é pelo menos g∗, então o número b-cromático é igual a m(G) ou m(G)−1. Mostrar que o valor de g∗ é no máximo 6 poderia ser um passo importante para demonstrar a famosa Conjectura de Erdós-Faber-Lovasz, mas o melhor limite superior conhecido para g∗ é 9. Caracterizamos os grafos cuja cintura é pelo menos 6 e não possuem um conjunto bom e mostramos como b-colori-los de forma ótima. Além disso, mostramos como bicolorir, também de forma ótima, os grafos cuja cintura é pelo menos 7 e não possuem conjunto bom. / The coloring problem is among the most studied in the Graph Theory due to its great theoretical and practical importance. Since the problem of coloring the vertices of a graph G either with the smallest amount of colors is NP-hard, various coloring heuristics are examined to obtain a proper colouring with a reasonably small number of colors. Given a graph G, the b heuristic of colouring comes down to decrease the amount of colors in a proper colouring c, so that, if all vertices of a color class fail to see any color in your neighborhood, then we can change the color to any color these vertices nonexistent in your neighborhood. Thus, we obtain a coloring c ′ with a color unless c. Irving and Molove defined the b-coloring of a graph G as a coloring where every color class has a vertex that is adjacent the other color classes. These vertices are called b-vertices. Irving and Molove also defined the b-chromatic number as the largest integer k, such that G admits a b-coloring by k colors. They showed that determine the value of the b-chromatic number of any graph is NP-hard, but polynomial for trees. Irving and Molove also defined the m-degree of a graph, which is the largest integer m(G) such that there are m(G) vertices with degree at least m(G) − 1. Irving and Molove showed that the m-degree is an upper limit to the b-chromatic number and showed that it is m(T) or m(T)−1 to every tree T, where its value is m(T) if, and only if, T has a good set. In this dissertation, we analyze the relationship between the girth, which is the size of the smallest cycle, and the b-chromatic number of a graph G. More specifically, we try to find the smallest integer g ∗ such that if the girth of G is at least g ∗ , then the b-chromatic number equals m(G) or m(G)−1. Show that the value of g ∗ is at most 6 could be an important step in demonstrating the famous conjecture of Erd˝os-Faber-Lov´asz, but the best known upper limit to g ∗ is 9. We characterize the graphs whose girth is at least 6 and not have a good set and show how b-color them optimally. Furthermore, we show how b-color, also optimally, graphs whose girth is at least 7 and not have good set.
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