Jena, Universiẗat, Diss., 2008.

Über die letzten Jahrzehnte hat sich die nichtkommutative Geometrie zu einem etablierten Teilgebiet der reinen Mathematik und der theoretischen Physik entwickelt. Die Entdeckung, dass gewisse Grenzfälle der Quantengravitation und Stringtheorie zu nichtkommutativer Geometrie führen, motivierte die Suche nach Physik jenseits des Standardmodells der Elementarteilchenphysik und der Einstein'schen allgemeinen Relativitätstheorie im Rahmen von nichtkommutativen Geometrien. Einen ergiebigen Ansatz zu letzteren Theorien, welcher Deformationsquantisierung (Sternprodukte) mit Methoden aus der Theorie der Quantengruppen kombiniert, wurde von der Gruppe um Julius Wess entwickelt. Die resultierende Gravitationstheorie ist nicht nur imstande nichtkommutative Effekte der Raumzeit zu beschreiben, sondern sie erfüllt ebenfalls ein generalisiertes allgemeines Kovarianzprinzip, welches durch eine deformierte Hopf Algebra von Diffeomorphismen beschrieben wird. Gegenstand des ersten Teils dieser Dissertation ist es Symmetriereduktion im Rahmen von nichtkommutativer Gravitation zu verstehen und damit exakte Lösungen der nichtkommutativen Einstein'schen Gleichungen zu konstruieren. Diese Untersuchungen sind von großer Bedeutung um den physikalischen Inhalt dieser Theorien herauszuarbeiten und den Kontakt zu Anwendungen, z.B. im Rahmen nichtkommutativer Kosmologie und Physik schwarzer Löcher, herzustellen. Wir verallgemeinern die übliche Methode der Symmetriereduktion, welche eine Standardtechnik im Auffinden von Lösungen der Einstein'schen Gleichungen ist, auf nichtkommutative Gravitation. Es wird gezeigt, dass unsere Methode zur nichtkommutativen Symmetriereduktion für ein gegebenes symmetrisches System zu bevorzugten Deformationen führt. Für Abelsche Drinfel'd Twists klassifizieren wir alle konsistenten Deformationen von räumlich flachen Friedmann-Robertson-Walker Kosmologien und des Schwarzschild'schen schwarzen Loches. Aufgrund der deformierten Symmetriestruktur dieser Modelle können wir viele Beispiele von exakten Lösungen der nichtkommutativen Einstein'schen Gleichungen finden, bei welchen das nichtkommutative Metrikfeld mit dem klassischen übereinstimmt. Im Fokus des zweiten Teils sind Quantenfeldtheorien auf nichtkommutativen gekrümmten Raumzeiten. Dazu entwickeln wir einen neuen Formalismus, welcher algebraische Methoden der Quantenfeldtheorie mit nichtkommutativer Differentialgeometrie verknüpft. Als Resultat unseres Ansatzes erhalten wir eine Observablenalgebra für skalare Quantenfeldtheorien auf einer großen Klasse von nichtkommutativen gekrümmten Raumzeiten. Es wird eine präzise Relation zwischen dieser Algebra und der Observablenalgebra der undeformierten Quantenfeldtheorie hergeleitet. Wir studieren ebenfalls explizite Beispiele von deformierten Wellenoperatoren und finden, dass im Gegensatz zu dem einfachsten Modell des Moyal-Weyl deformierten Minkowski-Raumes, im Allgemeinen schon die Propagation freier Felder durch die nichtkommutative Geometrie beeinflusst wird. Die Effekte von konvergenten Deformationen werden in einfachen Spezialfällen untersucht, und wir beobachten neue Aspekte in diesen Quantenfeldtheorien, welche sich in formalen Deformationen nicht zeigten. Zusätzlich zu der erwarteten Nichtlokalität finden wir, dass sich die Beziehung zwischen der deformierten und der undeformierten Quantenfeldtheorie nichttrivial verändert. Wir beweisen, dass dies zu einem verbesserten Verhalten der nichtkommutativen Theorie bei kurzen Abständen, d.h. im Ultravioletten, führt. Im dritten Teil dieser Arbeit entwickeln wir Elemente eines leistungsfähigeren, jedoch abstrakteren, mathematischen Ansatzes zur Beschreibung der nichtkommutativen Gravitation. Das Hauptaugenmerk liegt auf globalen Aspekten von Homomorphismen zwischen und Zusammenhängen auf nichtkommutativen Vektorbündeln, welche fundamentale Objekte in der mathematischen Beschreibung von nichtkommutativer Gravitation sind. Wir beweisen, dass sich alle Homomorphismen und Zusammenhänge der deformierten Theorie mittels eines Quantisierungsisomorphismus aus den undeformierten Homomorphismen und Zusammenhängen ableiten lassen. Es wird ebenfalls untersucht wie sich Homomorphismen und Zusammenhänge auf Tensorprodukte von Moduln induzieren lassen. Das Verständnis dieser Induktion erlaubt es uns die nichtkommutative Gravitationstheorie von Wess et al. um allgemeine Tensorfelder zu erweitern. Als eine nichttriviale Anwendung des neuen Formalismus erweitern wir unsere Studien zu exakten Lösungen der nichtkommutativen Einstein'schen Gleichungen auf allgemeinere Klassen von Deformationen. / Over the past decades, noncommutative geometry has grown into an established field in pure mathematics and theoretical physics. The discovery that noncommutative geometry emerges as a limit of quantum gravity and string theory has provided strong motivations to search for physics beyond the standard model of particle physics and also beyond Einstein's theory of general relativity within the realm of noncommutative geometries. A very fruitful approach in the latter direction is due to Julius Wess and his group, which combines deformation quantization (star-products) with quantum group methods. The resulting gravity theory does not only include noncommutative effects of spacetime, but it is also invariant under a deformed Hopf algebra of diffeomorphisms, generalizing the principle of general covariance to the noncommutative setting. The purpose of the first part of this thesis is to understand symmetry reduction in noncommutative gravity, which then allows us to find exact solutions of the noncommutative Einstein equations. These are important investigations in order to capture the physical content of such theories and to make contact to applications in e.g. noncommutative cosmology and black hole physics. We propose an extension of the usual symmetry reduction procedure, which is frequently applied to the construction of exact solutions of Einstein's field equations, to noncommutative gravity and show that this leads to preferred choices of noncommutative deformations of a given symmetric system. We classify in the case of abelian Drinfel'd twists all consistent deformations of spatially flat Friedmann-Robertson-Walker cosmologies and of the Schwarzschild black hole. The deformed symmetry structure allows us to obtain exact solutions of the noncommutative Einstein equations in many of our models, for which the noncommutative metric field coincides with the classical one. In the second part we focus on quantum field theory on noncommutative curved spacetimes. We develop a new formalism by combining methods from the algebraic approach to quantum field theory with noncommutative differential geometry. The result is an algebra of observables for scalar quantum field theories on a large class of noncommutative curved spacetimes. A precise relation to the algebra of observables of the corresponding undeformed quantum field theory is established. We focus on explicit examples of deformed wave operators and find that there can be noncommutative corrections even on the level of free field theories, which is not the case in the simplest example of the Moyal-Weyl deformed Minkowski spacetime. The convergent deformation of simple toy-models is investigated and it is shown that these quantum field theories have many new features compared to formal deformation quantization. In addition to the expected nonlocality, we obtain that the relation between the deformed and the undeformed quantum field theory is affected in a nontrivial way, leading to an improved behavior of the noncommutative quantum field theory at short distances, i.e. in the ultraviolet. In the third part we develop elements of a more powerful, albeit more abstract, mathematical approach to noncommutative gravity. The goal is to better understand global aspects of homomorphisms between and connections on noncommutative vector bundles, which are fundamental objects in the mathematical description of noncommutative gravity. We prove that all homomorphisms and connections of the deformed theory can be obtained by applying a quantization isomorphism to undeformed homomorphisms and connections. The extension of homomorphisms and connections to tensor products of modules is clarified, and as a consequence we are able to add tensor fields of arbitrary type to the noncommutative gravity theory of Wess et al. As a nontrivial application of the new mathematical formalism we extend our studies of exact noncommutative gravity solutions to more general deformations.