Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / In this work we study from both classical and quantum point of view the position dependent mass harmonic oscillator (PDMHO). Classically, we use the Legendre transformation to find the Hamiltonian of the system. Next, we define two functions, and , to simplify the hamiltonian of the PDMHO. By using the Poisson algebra we find the expressions for the position and moment. At last, by using a canonical transformation we relate the equations of the PDMHO to those of the simple harmonic oscillator (SHO). Quantically, we write the Hamiltonian of the PDMHO in terms of the operators and . Next, we consider that these operators satisfy the same algebra that those of the SHO. By assuming that both the classical and quantum PDMHO have the same form, we are able to find a simple form for the PDMHO Hamiltonian. Finally, by transforming the SchrÃdinger equation (SE) of the PDMHO into that of the SHO, we can write the wave function of the PDMHO in terms of that of the SHO. We will study two time-dependent systems, namely and , we observe that as , they tend to a simple harmonic oscillator. For each system we find the position and momentum (classical study), as well as the wave-function (quantum study). For both systems we analyze the the position e momentum uncertainty, the product uncertainty, the fisher information and Shannon entropy, for the ground state, as a function of the parameter . / Neste trabalho estudamos clÃssica e quanticamente o oscilador harmÃnico com massa dependente da posiÃÃo (OHMDP). Na parte clÃssica, utilizamos a transformaÃÃo de Legendre para encontrar a hamiltoniana do sistema. A seguir definimos duas funÃÃes e para escrevermos a hamiltoniana do OHMDP de uma forma mais simples. Utilizando a Ãlgebra de Poisson encontramos as expressÃes para a posiÃÃo e o momento. Por fim, atravÃs de uma transformaÃÃo canÃnica veremos como relacionar as equaÃÃes do OHMDP com aquelas do oscilador harmÃnico simples (OHS). Na parte quÃntica, escrevemos a hamiltoniana do OHMDP em termos de operadores e . Em seguida, vamos supor que estes operadores satisfaÃam a mesma relaÃÃo de comutaÃÃo que os operadores abaixamento e levantamento do OHS. Analisando que condiÃÃo deve ser satisfeita para que os osciladores OHMDP clÃssico e quÃntico tenham o mesmo potencial, encontramos uma forma simplificada da hamiltoniana do OHMDP. Em seguida, transformamos a equaÃÃo de SchrÃdinger (ES) para o OHMDP na ES para o OHS. Assim, obtemos a funÃÃo de onda do OHMDP em termos da funÃÃo de onda do OHS. Estudaremos dois sistemas com massa dependente da posiÃÃo, a saber: e , vemos que quando , recaÃmos no OHS. Para cada sistema encontraremos a posiÃÃo e o momento (estudo clÃssico), bem como a funÃÃo de onda (estudo quÃntico). Para os dois sistemas analisaremos tambÃm o comportamento da incerteza na posiÃÃo, incerteza no momento, produto de incerteza, informaÃÃo de Fisher e entropia de Shannon, para o estado fundamental, em funÃÃo do parÃmetro de deformaÃÃo .

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho analisamos as soluÃÃes para a equaÃÃo de movimento para os osciladores de Lane-Emden, onde a massa à dada por m(t)=t^α, onde α>0. Os osciladores de Lane-Emden sÃo osciladores harmÃnicos amortecidos, onde o fator de amortecimento depende do tempo, γ(t)=α/t. Obtivemos as expressÃes analÃticas de q(t), dq(t)/dt, and p(t)=m(t)(dq(t)/dt) para α=2 e α=4. Discutimos as diferenÃas entre as expressÃes da hamiltoniana e da energia para sistemas dependentes do tempo. TambÃm, comparamos nossos resultados com aqueles do oscilador de Caldirola-Kanai. Usamos o mÃtodo dos invariantes quÃnticos e uma transformaÃÃo unitÃria para obter a funÃÃo de onda exata de SchrÃdinger, ψn (q,t), e calcular para n=0 a entropia conjunta (entropia de Leipnik) dependente do tempo e as informaÃÃes Fisher para posiÃÃo (Fq) e para o momento (Fp) para duas classes de osciladores harmÃnicos quÃnticos amortecidos. Observamos que a entropia de Leipnik nÃo varia no tempo para o oscilador Caldirola-Kanai, enquanto diminui e tende a um valor constante (ln(e/2)) para tempos assintÃticos para o oscilador de Lane-Emden. Isto à devido ao fato de que, para este Ãltimo, o fator de amortecimento diminui à medida que o tempo aumenta. Os resultados mostram que a dependÃncia do tempo da entropia de Leipnik à bastante complexa e nÃo obedece a uma tendÃncia geral de aumento monotonicamente com o tempo e que Fq aumenta enquanto Fp diminui com o aumento do tempo. AlÃm disso, FqFp aumenta e tende a um valor constante (4/ℏ^2 ) no limite em que t->∞. NÃs comparamos os resultados com os do bem conhecido oscilador de Caldirola-Kanai. / In this work we analyze the solutions of the equations of motions for two Lane-Emden-type Caldirola-Kanai oscillators. For these oscillators the mass varies as m(t)=t^α, where α>0.We obtain the analytical expression of q(t), dq(t)/dt, and p(t)=m(t)(dq(t)/dt) for α=2 and α=4. These are damped-like harmonic oscillators with a time-dependent damping factor given by γ(t)=α/t. We discuss the differences between the expressions for the hamiltonian and the mechanical energy for time-dependent systems. We also compared our results to those of the well-known Caldirola-Kanai oscillators. We use the quantum invariant method and a unitary transformation to obtain the exact SchrÃdinger wave function, ψn (q,t), and calculate for n=0 the time-dependent joint entropy (LeipnikÂs entropy) and the position (Fq) and momentum (Fp) Fisher information for two classes of quantum damped harmonic oscillators. We observe that the joint entropy does not vary in time for the Caldirola-Kanai oscillator, while it decreases and tends to a constant value (ln(e/2)) for asymptotic times for the Lane-Emden ones. This is due to the fact that for the latter, the damping factor decreases as time increases. The results show that the time dependence of the joint entropy is quite complex and does not obey a general trend of monotonously increase with time and that F_q increases while F_p decreases with increasing time. Also, FqFp increases and tends to a constant value (4/ℏ^2 ) in the limit t->∞.We compare the results with those of the well-known Caldirola-Kanai oscillator.