As the cloud computing paradigm has gained prominence, the need for verifiable computation has grown urgent. Protocols for verifiable computation enable a weak client to outsource difficult computations to a powerful, but untrusted, server. These protocols provide the client with a (probabilistic) guarantee that the server performed the requested computations correctly, without requiring the client to perform the computations herself. / Engineering and Applied Sciences

Cette thèse est consacrée à la complexité basée sur le paradigme des preuves interactives. Les classes ainsi définies ont toutes en commun qu’un ou plusieurs prouveurs, infiniment puissants, tentent de convaincre un vérificateur, de puissance bornée, de l’appartenance d’un mot à un langage. Nous abordons ici le modèle classique, où les participants sont des machines de Turing, et le modèle quantique, où ceux-ci sont des circuits quantiques. La revue de littérature que comprend cette thèse s’adresse à un lecteur déjà familier avec la complexité et l’informatique quantique. Cette thèse présente comme résultat la caractérisation de la classe NP par une classe de preuves interactives quantiques de taille logarithmique. Les différentes classes sont présentées dans un ordre permettant d’aborder aussi facilement que possible les classes interactives. Le premier chapitre est consacré aux classes de base de la complexité ; celles-ci seront utiles pour situer les classes subséquemment présentées. Les chapitres deux et trois présentent respectivement les classes à un et à plusieurs prouveurs. La présentation du résultat ci-haut mentionné est l’objet du chapitre quatre. / This thesis is devoted to complexity theory based on the interactive proof paradigm. All classes defined in this way involve one or many infinitely powerful provers attempting to convince a verifier of limited power that a string belongs to a certain language. We will consider the classical model, in which the various participants are Turing machines, as well as the quantum model, in which they are quantum circuits. The literature review included in this thesis assume that the reader is familiar with the basics of complexity theory and quantum computing. This thesis presents the original result that the class NP can be characterized by a class of quantum interactive proofs of logarithmic size. The various classes are presented in an order that facilitates the treatment of interactive classes. The first chapter is devoted to the basic complexity classes; these will be useful points of comparison for classes presented subsequently. Chapters two and three respectively present classes with one and many provers. The presentation of the result mentioned above is the object of chapter four.

Cette thèse est consacrée à la complexité basée sur le paradigme des preuves interactives. Les classes ainsi définies ont toutes en commun qu’un ou plusieurs prouveurs, infiniment puissants, tentent de convaincre un vérificateur, de puissance bornée, de l’appartenance d’un mot à un langage. Nous abordons ici le modèle classique, où les participants sont des machines de Turing, et le modèle quantique, où ceux-ci sont des circuits quantiques. La revue de littérature que comprend cette thèse s’adresse à un lecteur déjà familier avec la complexité et l’informatique quantique. Cette thèse présente comme résultat la caractérisation de la classe NP par une classe de preuves interactives quantiques de taille logarithmique. Les différentes classes sont présentées dans un ordre permettant d’aborder aussi facilement que possible les classes interactives. Le premier chapitre est consacré aux classes de base de la complexité ; celles-ci seront utiles pour situer les classes subséquemment présentées. Les chapitres deux et trois présentent respectivement les classes à un et à plusieurs prouveurs. La présentation du résultat ci-haut mentionné est l’objet du chapitre quatre. / This thesis is devoted to complexity theory based on the interactive proof paradigm. All classes defined in this way involve one or many infinitely powerful provers attempting to convince a verifier of limited power that a string belongs to a certain language. We will consider the classical model, in which the various participants are Turing machines, as well as the quantum model, in which they are quantum circuits. The literature review included in this thesis assume that the reader is familiar with the basics of complexity theory and quantum computing. This thesis presents the original result that the class NP can be characterized by a class of quantum interactive proofs of logarithmic size. The various classes are presented in an order that facilitates the treatment of interactive classes. The first chapter is devoted to the basic complexity classes; these will be useful points of comparison for classes presented subsequently. Chapters two and three respectively present classes with one and many provers. The presentation of the result mentioned above is the object of chapter four.

Depuis l’introduction de la mécanique quantique, plusieurs mystères de la nature ont trouvé leurs explications. De plus en plus, les concepts de la mécanique quantique se sont entremêlés avec d’autres de la théorie de la complexité du calcul. De nouvelles idées et solutions ont été découvertes et élaborées dans le but de résoudre ces problèmes informatiques. En particulier, la mécanique quantique a secoué plusieurs preuves de sécurité de protocoles classiques. Dans ce m´emoire, nous faisons un étalage de résultats récents de l’implication de la mécanique quantique sur la complexité du calcul, et cela plus précisément dans le cas de classes avec interaction. Nous présentons ces travaux de recherches avec la nomenclature des jeux à information imparfaite avec coopération. Nous exposons les différences entre les théories classiques, quantiques et non-signalantes et les démontrons par l’exemple du jeu à cycle impair. Nous centralisons notre attention autour de deux grands thèmes : l’effet sur un jeu de l’ajout de joueurs et de la répétition parallèle. Nous observons que l’effet de ces modifications a des conséquences très différentes en fonction de la théorie physique considérée. / Since the introduction of quantum mechanics, many mysteries of nature have found explanations. Many quantum-mechanical concepts have merged with the field of computational complexity theory. New ideas and solutions have been put forward to solve computational problems. In particular, quantum mechanics has struck down many security proofs of classical protocols. In this thesis, we survey recent results regarding the implication of quantum mechanics to computational complexity and more precisely to classes with interaction. We present the work done in the framework of cooperative games with imperfect information. We give some differences between classical, quantum and no-signaling theories and apply them to the specific example of Odd Cycle Games. We center our attention on two different themes: the effect on a game of adding more players and of parallel repetition. We observe that depending of the physical theory considered, the consequences of these changes is very different.

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