Les contraintes réelles quantifiées (QRC) forment un formalisme mathématique utilisé pour modéliser un très grand nombre de problèmes physiques dans lesquels interviennent des systèmes d'équations non linéaires sur des variables réelles, certaines d'entre elles pouvant être quantifiées. Les QRCs apparaissent dans nombreux contextes comme, l'Automatique, le Génie Electrique, le Génie Mécanique, et la Biologie. La résolution de QRCs est un domaine de recherche très actif pour lequel deux approches radicalement différentes sont proposées: l'élimination symbolique de quantificateurs et les méthodes approximatives. Cependant, la résolution de problèmes de grandes dimensions et la résolution du cas général, restent encore des problèmes ouverts. Dans le but de contribuer à la résolution de QCRs, cette thèse propose une nouvelle méthodologie approximative basée sur l'Analyse par Intervalles Modaux (MIA), une théorie mathématique développée par des chercheurs de l'université de Barcelone et de l'université de Girone. Cette théorie permet de résoudre d'une façon élégante une grande classe de problèmes dans lesquels interviennent des quantificateurs logiques sur des variables réelles. Parallèlement, ce travail a comme but de promouvoir l'utilisation de l'Analyse par Intervalles Modaux pour résoudre des problèmes complexes, comme sont les QRCs. La théorie de MIA est relativement confidentielle du fait de sa complexité théorique relative et du fait d'une formulation mathématique peu usuelle. Cette thèse essaie de lever cette barrière en présentant la théorie d'une façon plus intuitive à travers des exemples et des analogies provenant de la théorie classique de l'analyse par intervalles. La méthodologie proposée a été implémentée informatiquement et validée à travers la résolution de nombreux problèmes de la littérature, et les résultats obtenus ont été comparés avec différentes techniques de l'état de l'art. Enfin, il a été montré que l'approche présentée apporte des améliorations en étendant la classe de QRCs qui peut être traité et en améliorant les temps de calcul pour quelques cas particuliers. Tous les algorithmes présentés dans ce travail sont basés sur un algorithme développé dans le cadre de cette thèse et appelé f* algorithme. Cet algorithme permet la réalisation de calculs par intervalles modaux de fa¸con très simple, ce qui aide à l'utilisation de la théorie de MIA et facilite sa diffusion. Dans le même but, un site Internet a été créé afin de permettre l'utilisation de la plupart des algorithmes présentés dans la thèse. Finalement, deux applications à l'Automatique sont présentées. La première application faite référence au problème de la détection de défauts dans des systèmes dynamiques, laquelle a été validée sur des systèmes réels. La deuxième application consiste en la réalisation d'un régulateur pour un bateau à voile. Ce dernier a été validé sur simulation.

La théorie des intervalles permet de construire des sur-ensembles du domaine de variation d'une fonction réelle. Ainsi, de manière très naturelle, elle permet de construire une approximation extérieure de l'ensemble des solutions d'un système d'équations. Couplée aux théorèmes usuels d'existence (par exemple les théorèmes de Brouwer ou de Miranda) la théorie des intervalles permet aussi de prouver rigoureusement l'existence de solutions pour un système d'équations.<br /> <br />La théorie des intervalles modaux propose des interprétations plus riches que la théorie de intervalles classiques. En particulier, l'interprétation des extensions aux intervalles modaux permet de prouver directement l'existence de solution d'un système d'équations (sans faire intervenir explicitement les théorèmes d'existence). Malgré les récents développements qui ont montré le potentiel applicatif de la théorie des intervalles modaux, l'utilisation de cette théorie reste fort limitée. Cela peut s'expliquer de la manière suivante:<br /><br />A) La théorie des intervalles modaux a une construction originale mais compliquée qui est assez éloignée de la construction de la théorie des intervalles classiques. Cela rend par exemple difficile l'ajout de nouveaux concepts.<br />B) Aucun préconditionnement compatible avec les interprétations offertes par la théorie des intervalles modaux n'a été proposé.<br />C) Aucun protocole de linéarisation compatible avec les interprétations offertes par la théorie des intervalles modaux n'a été proposé.<br /> <br />Dans le cadre de cette thèse, ces trois points sont développés. D'une part, une nouvelle formulation des principaux résultats de la théorie des intervalles modaux est proposée. Cette nouvelle formulation est faite dans le cadre des intervalles généralisés (intervalles dont les bornes ne sont pas contraintes à être ordonnées) et reprend la construction de la théorie des intervalles classiques. D'autre part, un protocole de préconditionnement et un protocole de linéarisation compatibles avec les interprétations des nouvelles extensions aux intervalles généralisés sont proposés. Le protocole de linéarisation proposé aura la forme d'une nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés.<br /> <br />Ces développements théoriques aboutissent à deux applications: d'une part, la nouvelle extension de la valeur moyenne aux intervalles généralisés est utilisée pour construire une approximation intérieure du domaine de variation d'une fonction à valeurs vectorielles. Ce problème est aujourd'hui mal traité par la théorie des intervalles classiques. D'autre part, un opérateur généralisé de Hansen-Sengupta dédié à l'approximation extérieure des "AE-solution sets" est proposé. Il est beaucoup plus simple et moins coûteux en temps de calcul que les autres techniques permettant de résoudre ce type de problèmes. Une comparaison de la puissance de résolution de ces différentes techniques nécessitera d'intégrer l'opérateur généralisé de Hansen-Sengupta au sein d'un algorithme de bissection.

La thèse traite du diagnostic de procédés et se divise en trois parties. La première partie présente une méthode de modélisation causale pour le diagnostic. La seconde partie présente les différentes méthodes mises en ouvre pour la détection, la localisation et l'identification de défauts. Pour effectuer la détection, nous comparons les variables du modèle causal aux mesures. Nous évaluons les apports d'une approche ensembliste et d'une approche par logique floue pour la prise en compte des incertitudes. La localisation est réalisée grâce à un algorithme de hitting-sets afin de déterminer l'ensemble des composants suspects. Ceci permet de focaliser l'identification de défauts sur un nombre réduit de composants. Cette identification utilise l'expertise sur les modes de défaillance, exprimée sous forme de bases de règles, chacune relative à un composant, et permettant d'aiguiller l'opérateur sur des actions et des vérifications à effectuer. La troisième partie présente l'application.