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Electrical Conductivity Imaging via Boundary Value Problems for the 1-LaplacianVeras, Johann 01 January 2014 (has links)
We study an inverse problem which seeks to image the internal conductivity map of a body by one measurement of boundary and interior data. In our study the interior data is the magnitude of the current density induced by electrodes. Access to interior measurements has been made possible since the work of M. Joy et al. in early 1990s and couples two physical principles: electromagnetics and magnetic resonance. In 2007 Nachman et al. has shown that it is possible to recover the conductivity from the magnitude of one current density field inside. The method now known as Current Density Impedance Imaging is based on solving boundary value problems for the 1-Laplacian in an appropriate Riemann metric space. We consider two types of methods: the ones based on level sets and a variational approach, which aim to solve specific boundary value problem associated with the 1-Laplacian. We will address the Cauchy and Dirichlet problems with full and partial data, and also the Complete Electrode Model (CEM). The latter model is known to describe most accurately the voltage potential distribution in a conductive body, while taking into account the transition of current from the electrode to the body. For the CEM the problem is non-unique. We characterize the non-uniqueness, and explain which additional measurements fix the solution. Multiple numerical schemes for each of the methods are implemented to demonstrate the computational feasibility.
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Reconstruction methods for inverse problems for Helmholtz-type equations / Méthodes de reconstruction pour des problèmes inverses pour des équations de type HelmholtzAgaltsov, Alexey 06 December 2016 (has links)
La présente thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses pour l'équation de Helmholtz jauge-covariante, dont des cas particuliers comprennent l'équation de Schrödinger pour une particule élémentaire chargée dans un champ magnétique et l'équation d'onde harmonique en temps qui décrive des ondes acoustiques dans un fluide en écoulement. Ces problèmes ont comme motivation des applications dans des tomographies différentes, qui comprennent la tomographie acoustique, la tomographie qui utilise des particules élémentaires et la tomographie d'impédance électrique. En particulier, nous étudions des problèmes inverses motivés par des applications en tomographie acoustique de fluide en écoulement. Nous proposons des formules et équations qui permettent de réduire le problème de tomographie acoustique à un problème de diffusion inverse approprié. En suivant, nous développons un algorithme fonctionnel-analytique pour la résolution de ce problème de diffusion inverse. Cependant, en général, la solution de ce problème n'est unique qu'à une transformation de jauge appropriée près. À cet égard, nous établissons des formules qui permettent de se débarrasser de cette non-unicité de jauge et retrouver des paramètres du fluide, en mesurant des ondes acoustiques à des plusieurs fréquences. Nous présentons également des exemples des fluides qui ne sont pas distinguable dans le cadre de tomographie acoustique considérée. En suivant, nous considérons le problème de diffusion inverse sans information de phase. Ce problème est motivé par des applications en tomographie qui utilise des particules élémentaires, où seulement le module de l'amplitude de diffusion peut être mesuré facilement. Nous établissons des estimations dans l'espace de configuration pour les reconstructions sans phase de type Borne, qui sont requises pour le développement des méthodes de diffusion inverse précises. Finalement, nous considérons le problème de détermination d'une surface de Riemann dans le plan projectif à partir de son bord. Ce problème survient comme une partie du problème de Dirichlet-Neumann inverse pour l'équation de Laplace sur une surface inconnue, qui est motivé par des applications en tomographie d'impédance électrique. / This work is devoted to study of some inverse problems for the gauge-covariant Helmholtz equation, whose particular cases include the Schrödinger equation for a charged elementary particle in a magnetic field and the time-harmonic wave equation describing sound waves in a moving fluid. These problems are mainly motivated by applications in different tomographies, including acoustic tomography, tomography using elementary particles and electrical impedance tomography. In particular, we study inverse problems motivated by applications in acoustic tomography of moving fluid. We present formulas and equations which allow to reduce the acoustic tomography problem to an appropriate inverse scattering problem. Next, we develop a functional-analytic algorithm for solving this inverse scattering problem. However, in general, the solution to the latter problem is unique only up to an appropriate gauge transformation. In this connection, we give formulas and equations which allow to get rid of this gauge non-uniqueness and recover the fluid parameters, by measuring acoustic fields at several frequencies. We also present examples of fluids which are not distinguishable in this acoustic tomography setting. Next, we consider the inverse scattering problem without phase information. This problem is motivated by applications in tomography using elementary particles, where only the absolute value of the scattering amplitude can be measured relatively easily. We give estimates in the configuration space for the phaseless Born-type reconstructions, which are needed for the further development of precise inverse scattering algorithms. Finally, we consider the problem of determination of a Riemann surface in the complex projective plane from its boundary. This problem arises as a part of the inverse Dirichlet-to-Neumann problem for the Laplace equation on an unknown 2-dimensional surface, and is motivated by applications in electrical impedance tomography.
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