AN ABSTRACT OF THE DISSERTATION OFSaleh Aljurbua, for the Doctor of Philosophy degree in APPLIED MATHEMATICS, presented on January 27th, 2021, at Southern Illinois University Carbondale. TITLE: THE EXISTENCE OF SOLUTIONS FOR FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR ORDER q ∈ (n − 1, n], n ∈ N, WITH ANTIPERIODIC BOUNDARY CONDITIONS MAJOR PROFESSOR: Dr. Mingqing Xiao Differential equations play a major role in natural science, physics and technology. Fractional differential equations (FDE) gained a lot of popularity in the past three decades and they became very important in economics, physics and chemistry. In fact, fractional integrals and derivatives became essential and made a significant contribution in dynamical systems which simulate it. They fill the gaps between the integer-types of integrations and derivatives in the classical settings. This work consists of four Chapters. The first Chapter will be covering background, preliminary and fundamental tools used in our dissertation topic. The second Chapter consists of the existence of solutions for nonlinear fractional differential equations of some specific orders with antiperiodic boundary conditions followed by the main topic which is the existence of solutions for nonlinear fractional differential equations of order q ∈ (n−1, n], n ∈ N with antiperiodic boundary conditions of a continuous function f(t, x(t)). Moreover, definitions, theorems and some lemmas will be provided. v In the third Chapter, we offer some examples to illustrate our approach in the main topic. Finally, the fourth Chapter includes the summary and perspective researches.

Les travaux réalisés lors de cette thèse ont pour but la caractérisation magnétique et structurale de réseaux ultra-denses de nanofils monocristallins de cobalt de structure hcp avec l’axe c parallèle à l’axe des nanofils. Ces réseaux sont obtenus par une méthode physico-chimique dite croissance hybride. Le nanomatériau obtenu est un réseau de nanofils monocristallins de Co verticaux épitaxiés sur un film de platine. La cristallinité des nanofils induit une forte anisotropie perpendiculaire au réseau faisant émerger des propriétés physiques qui pourraient répondre au cahier des charges pour constituer des média magnétiques à haute capacité. Le manuscrit s’organise en quatre parties. Il convient dans un premier temps d’exposer une revue de la littérature décrivant le comportement magnétique d’un nano-cylindre isolé puis d’un réseau hexagonal de nano-cylindres. La méthode de magnétométrie utilisée pour caractériser ces réseaux est appelée méthode FORC (First Order Reversal Curves). La mesure et le traitement associé permettent de tracer des diagrammes dits FORC dans lesquels peuvent être lus les caractéristiques magnétiques des nanofils et leurs interactions. La lecture de ces diagrammes n’étant pas directe, le chapitre II est consacré à la description de la méthode FORC appliquée à des assemblées d’hystérons. Cette investigation a demandé d’être soutenue par des simulations micromagnétiques afin d’appuyer les hypothèses formulées lors de l’interprétation des diagrammes FORC mesurés. Il apparait ainsi une famille en très bon accord avec les modèles théoriques exposés dans le chapitre I, puis une seconde famille dont la description précise nécessite l’ajout d’une interaction magnétisante entre nanofils en plus de l’interaction magnétostatique. / The work carried out during this thesis aims at the magnetic and structural characterization of ultra-dense arrays of single crystalline cobalt hcp nanowires with the c axis parallel to the wires axis. These arrays are obtained by a physicochemical method called hybrid growth. The resulting nanomaterial is an array of vertical Co nanowires epitaxially grown on a platinum film, with diameters of 6 to 15 nm and coated with organic ligands. The crystallinity of the nanowires induces a strong anisotropy perpendicular to the substrate, giving rise to physical properties that could meet the specifications to constitute high density magnetic media. The manuscript is organized in four parts. First, a review of the literature describing the behavior of isolated magnetic nano-cylinders and dense arrays of nano-cylinders is presented. The magnetometry method used to characterize these arrays is called the FORC (First Order Reversal Curves) method. This measurement and analysis lead to the plot of FORC diagrams which contain the magnetic properties of nanowires and their interactions. The reading of these FORC diagrams being undirect, the chapter II is devoted to the description of the FORC method applied to assemblies of hysterons. Because of its reproducibility, the physico-chemical synthesis is a critical point of this study which is detailed in Chapter III. FORC magnetometry applied to two families of synthesized samples is described in Chapter IV. This investigation has required numerous micromagnetic simulations to support the assumptions made in the interpretation of FORC diagrams. This deep analysis reveals a first family in very good agreement with the theoretical models exposed in chapter I, and a second family for which the precise description requires the addition of a magnetizing interaction between nanowires in addition to the magnetostatic one.

L'utilisation des matériaux cellulaires à base de polymères type mousse gagne de plus en plus de terrain, notamment pour l'absorption acoustique. L'objectif de ce travail est de présenter de nouvelles approches pour la caractérisation de ces matériaux.<br /> Diverses méthodes ont été développées afin de caractériser ces matériaux, en particulier leur domaine linéaire, zone privilégiée pour l'absorption acoustique et la détermination des paramètres mécaniques courants. Cependant ces caractérisations restent souvent limitées à une faible plage fréquentielle. Une première étude présente ici le comportement linéaire sur une large gamme de fréquences grâce à l'application du principe de Superposition Temps-Température (TTS). L'utilisation du TTS sur une famille de mousses obtenues avec le même polymère, de même densité, mais dont la taille des pores est différente, met en évidence deux aspects importants: seulement 3 % du squelette solide participe à la transmission de la contrainte, et le module élastique à fréquence nulle décroît avec la taille des pores.<br /> Les mousses de polymères sont certes souvent utilisées dans leur domaine linéaire, mais leur comportement mécanique diffère à de plus forts niveaux de déformation. Les courbes en contrainte-déformation présentent un comportement en hystérésis, avec trois zones de comportement distinctes (linéaire, flambement et densification). Il existe d'autres phénomènes en hystérésis qui ont été plus simplement modélisés, par exemple à l'aide de la théorie de Preisach-Krasnoselskii-Mayergoyz (PKM) issue du magnétisme. Une seconde partie de ce travail présente une nouvelle extension de cette théorie PKM aux mousses de polymères réticulés à cellules ouvertes, soumises à de grandes déformations: nous pouvons ainsi modéliser l'hystérésis observée expérimentalement, à partir d'une distribution d'hysterons microscopiques contenus dans un espace de Preisach-Mayergoyz.<br /> Dans une troisième partie, l'influence de l'histoire passée des contraintes sur la mesure des paramètres mécaniques d'une mousse est étudiée, et plus particulièrement la rhéologie de ces mousses dans le cadre de la relaxation de compression, en distinguant deux mécanismes, l'un en zone linéaire de chargement et l'autre en dehors. Liée à l'histoire des contraintes passées, ce second mécanisme de relaxation permet la réduction des contraintes par réarrangement topologique des poutres de la mousse.