Vienas iš svarbiausių šiuolaikinės kriptografijos uždavinių yra saugių vienkrypčių funkcijų paieška. Dabartiniai mokslininkai skiria šiam klausimui ypatingą demėsį. Šiame darbe yra nagrinėjama viena iš naujausių vienkrypčių funkcijų – matricinio laipsnio funkcija. Ši funkcija yra panaudota netiesinės algebrinės lygčių sistemos sudarymui. Pagrindinis demėsys darbe yra skirtas šios lygčių sistemos analizei bei jos praktiniam taikymui. Nustatysime ar matricinio laipsnio funkcija gali būti panaudota kriptografijoje. Taip pat nustatysime lygčių sistemos sprendinių skaičiaus priklausomybę nuo jos parametrų: matricų eilės m bei grupės Z_p parametro p. / Since the introduction of Diffie-Hellman key agreement protocol in 1976 computer technology has made a giant step forward. Nowadays there is not much time left before quantum computers will be in every home. However it was theoretically proven that discrete logarithm problem which is the basis for Diffie-Hellman protocol could be solved in polynomial time using such computers. Such possibility would make D-H protocol insecure. Thus cryptologists are searching for different ways to improve the security of the protocol by using hard problems. One of the ways to do so is to introduce secure one-way functions (OWF). In this paper a new kind of OWF called the matrix power function will be analyzed. Professor Eligijus Sakalauskas introduced this function in 2007 and later used this function to construct a Diffie-Hellman type key agreement protocol using square matrices. This protocol is not only based on matrix power function but also on commutative matrices which are defined in finite fields or rings. Thus an algebraic non-linear system of equations is formed. The security of this system will be analyzed. It will be shown that we can use matrix power function in cryptography. We will also be analyzing how does the solution of the system depend on system parameters: the order of matrices and a parameter p which defines a finite group Z_p. We will also briefly discuss the usage of this system in real life and the algebraic properties of the suggested OWF.

Aukšto laipsnio prostatos intraepitelinė neoplazija (ALPIN, angl. – HGPIN – high grade prostatic intraepithelial neoplasia ) priskiriama prie priešvėžinių būklių ( arba prostatos vėžio prekursorių) ir susijusi su padidėjusia kartu esamo vėžio diagnozavimo rizika arba vėlesne jos progresija iki vėžio. Manoma, kad pacientai, kuriems nustatyta ALPIN prostatos biopsinėje medžiagoje, yra tinkami kandidatai chemoprevencijai. Šio darbo tikslas buvo nustatyti 5-alfa reduktazės inhibitoriaus dutasterido reikšmę prostatos vėžio prevencijai esant didelei šios ligos rizikai. Darbo uždaviniai : 1. Nustatyti prostatos vėžio dažnį esant didelei šios ligos rizikai (biopsinėje medžiagoje nustatyta aukšto laipsnio prostatos intraepitelinė neoplazija). 2. Įvertinti pakartotinių biopsijų reikšmę prostatos vėžio diagnozavimo dažniui. 3. Įvertinti tiriamojo vaisto reikšmę prostatos vėžio prevencijai (ar sumažina prostatos vėžio diagozavimo dažnį) esant didelei šios ligos rizikai. 4. Palyginti diagnozuoto prostatos vėžio diferenciacijos skirtumus tiriamosiose grupėse. / A high grade prostatic intraepithelial neoplasia (HPIN) is traditionally ascribed to pre-cancerous conditions or prostate cancer (PC) precursors, and associated with an increased risk of concomitant cancer or its later progression to malignant disease. After evaluation of the data indicating HPIN as a pre–cancerous condition, it is thought that the patients having HPIN in the prostate biopsy material are suitable candidates for chemoprevention.The aim of the study was to find out the significance of dutasteride, a 5–alpha reductase inhibitor, for the prevention of development of prostate cancer in case of a high risk for the disease. Objectives of the study: 1. To determine the rate of prostate cancer in case of a high risk for the disease (when a high grade prostatic intraepithelial neoplasia is found in biopsy material). 2. To find out the significance of repeat biopsies for the detection rate of prostate cancer. 3. To find out the significance of the investigatory medication for the prevention of development of prostate cancer in case of a high risk for the disease. 4. To compare the differences in the differentiation of diagnosed prostate cancer between the study groups.