Diffusion facilitates numerous reactions within the biological context of a cell. It is remarkable how the cost-efficient random process of Brownian motion promotes fast reactions. From the narrow escape theory, it is possible to determine the mean first passage time of such processes based on their reaction space and diffusion coefficient. The narrow escape theory of Brownian particles is characterized by a confining domain with reflective boundaries and a small reaction site. In this thesis, the mean first passage time was systematically tested in a disc as a function of the escape opening size in vitro and in silico. For the in vitro experiments, a model system of patterned supported-lipid bilayers (SLB) was established. Such a model is prepared by a combined colloid metalization approach, where a gold scaffold on glass facilitates assembly of SLB patches of distinct sizes through vesicle fusion. The model setup was evaluated and found to match all necessary requirements to test the nar- row escape problem in vitro. In particular, the reflectivity of the boundaries, the unhindered, free diffusion of the tracer lipids, and the distinct area were assessed. Observed results of the mean first passage time agreed with the theory of the narrow escape problem. There was excellent agreement in both absolute values and across a range of small escape opening sizes. Additionally, I developed a straightforward method, a correction factor, to calculate the mean first passage time from incomplete experimental traces. By re-scaling the mean first passage time to the fraction of particles that escaped, I was able to overcome the lifetime limitations of fluorescent probes. Previously inaccessible measurements of the mean first passage time relying on fluorescent probes will be made possible through this approach. The in vitro experiments were complemented with various in silico experiments. The latter were based on random walk simulations in discs, mimicking the in vitro situation with its uncertainties. The lifetime of single particles was either set sufficiently long to allow all particles to escape, or was adjusted to meet the lifetime limitations observed in the in vitro experiments. A comparison of the mean first passage time from lifetime-unlimited particles to the corrected, lifetime-limited particles did support the use of the correction factor. In agreement with the narrow escape theory, it was experimentally found that the mean first passage time is independent of the start point of the particle within the domain. This is when the particle adheres to a minimum distance to the escape site. In general, the presented random walk simulations do accurately represent the in vitro experiments in this study. The required hardware for the establishment of an astigmatism-based 3D system was installed in the existing microscope. The first attempts to analyze the obtained 3D imaging data gave insight into the potential of the method to investigate molecule dynamics in living trypanosome cells. The full functionality will be realized with the ongoing improvement of image analysis outside of this thesis. / Diffusion erleichtert zahlreiche Reaktionen im biologischen Kontext einer Zelle. Es ist bemerkenswert, wie der kosteneffiziente Zufallsprozess der Brownschen Bewegung schnelle Reaktionen fördert. Mit Hilfe der Narrow Escape Theorie kann die mittlere erste Durchgangszeit (mean first passage time) solcher Prozesse auf der Grundlage ihres Reaktionsraums und des Diffusionskoeffizienten bestimmt werden. Die Narrow Escape Theorie von Brownschen Teilchen wird durch einen begrenzten Bereich mit reflektierenden Grenzen und einen kleinen Reaktionsraum gekennzeichnet. In dieser Arbeit wurde die mittlere erste Durchgangszeit in einer Scheibe systematisch als Funktion der Größe der Fluchtöffnung in vitro und in silico untersucht. Fur die in vitro-Experimente wurde ein Modellsystem aus strukturierten, Glas gestützten Lipiddoppelschichten (SLB) erstellt. Dieses Modell wurde durch einen kombinierten Kolloid-Metallisierungsansatz hergestellt, bei dem eine strukturierte Goldschicht auf Glas die Bildung von SLB-Scheiben unterschiedlicher Größe durch die Vesikelfusion ermöglicht. Es wurde festgestellt, dass das Modell alle Anforderungen erfüllt, um das Narrow escape problem in vitro zu testen. Insbesondere wurde das Reflexionsvermögen der Grenzen, die ungehinderte, freie Diffusion der Lipide und die Präzision der Fläche bewertet. Die beobachteten Ergebnisse der mittleren ersten Durchgangszeit stimmen mit der NEP-Theorie ̈uberein. Es besteht eine hervorragende ̈Ubereinstimmung sowohl bei den absoluten Werten als auch systematisch ̈uber einen Bereich von kleinen Fluchtöffnungsgrößen. Außerdem zeige ich eine einfache Methode, einen Korrekturfaktor, zur Berechnung der mittleren ersten Durchgangszeit aus unvollstandigen Lipid Trajektorien des Experimentes. Indem ich die mittlere erste Durchgangszeit auf den Anteil der entkommenen Par- tikel skalierte, konnte ich die Einschränkungen der Lebensdauer von fluoreszenten Farbstoffen ausgleichen. Mit dieser Technik werden bisher unzugängliche Messungen der mittleren ersten Durchgangszeit auf der Grundlage von fluoreszenten Farbstoffen möglich. In einem umfassenden Ansatz wurden die in vitro-Experimente durch verschiedene in silico-Experimente ergänzt. Letztere basierten auf Random- Walk-Simulationen in Scheiben, die die in vitro-Situation mit ihren Unsicherheiten nachahmten. Die Lebensdauer einzelner Partikel wurde entweder so lang angesetzt, dass alle Partikel entkommen konnten, oder sie wurde so angepasst, dass sie den in den in vitro-Experimenten beobachteten Lebensdauerbeschränkungen entsprach. Ein Vergleich der mittleren ersten Durchgangszeit von unsterblichen Partikeln mit den korrigierten, lebensdauerbegrenzten Partikeln hat die Verwendung des Korrekturfaktors bestätigt. In ̈Ubereinstimmung mit der Narrow Escape Theorie wurde experimentell festgestellt, dass die mittlere erste Durchgangszeit unabhängig vom Startpunkt des Teilchens innerhalb der Domäne ist. Dies ist dann der Fall, wenn das Teilchen einen Mindestabstand zur Austrittsstelle einhält. Im Allgemeinen bilden die vorgestellten Random-Walk-Simulationen die in dieser Studie durchgeführten Experimente genau ab. Die erforderliche Hardware für die Einrichtung eines auf Astigmatismus basierenden 3D-Systems wurde in ein vorhandenes Mikroskop eingebaut. Erste Versuche, die gewonnenen 3D-Bilddaten zu analysieren, gaben einen Einblick in das Potenzial der Methode zur Untersuchung der Moleküldynamik im lebenden Trypanosom. Die volle Funktionalität wird mit der laufenden Verbesserung der Bildanalyse außerhalb dieser Arbeit realisiert werden. Ein Teil der Ergebnisse und Methoden dieser Dissertation wurde zur Veröffentlichung unter dem Titel ’Experiments in micro-patterned model membranes support the narrow escape theory’ eingereicht.