Neste trabalho mostramos de que maneira o princípio variacional dependente do tempo pode ser usado para se estudar correções quânticas ao limite clássico, particularmente, no contexto do modelo de Lipkin SU(2). Mostramos que tais correções podem ser colocadas na forma Hamiltoniana, acoplando-se a dinâmica clássica um conjunto de variáveis associadas às flutuações quânticas, nos levando à uma dinâmica efetiva com o número de graus de liberdade dobrado em relação ao sistema clássico. Como conseqüência o comportamento caótico emerge. Mostramos que este caos semiquântico é o mecanismo através do qual o tunelamento se manifesta no espaço de fase. Mostramos que tais correções melhoram sistematicamente o resultado c1ássico, propondo um critério para quantificar esta melhora. / We show how the time dependent variational principle can be used to study quantum corrections to the classical limit, in particular of the SU(2) Lipkin Model. We show how much corrections can be cast in Hamiltonian form, coupling to the classical dynamics a set of variables associated to the quantum fluctuations. This leads to an effective dynamics which has the number of degrees of freedom doubled with respect to the classical system. As a consequence chaotic behavior emerges. We show that this semiquantal chaos is the mechanism through which tunneling is effected, and also, that these corrections systematically improve the classical results and propose some quantitative measure of this improvement.

Neste trabalho mostramos de que maneira o princípio variacional dependente do tempo pode ser usado para se estudar correções quânticas ao limite clássico, particularmente, no contexto do modelo de Lipkin SU(2). Mostramos que tais correções podem ser colocadas na forma Hamiltoniana, acoplando-se a dinâmica clássica um conjunto de variáveis associadas às flutuações quânticas, nos levando à uma dinâmica efetiva com o número de graus de liberdade dobrado em relação ao sistema clássico. Como conseqüência o comportamento caótico emerge. Mostramos que este caos semiquântico é o mecanismo através do qual o tunelamento se manifesta no espaço de fase. Mostramos que tais correções melhoram sistematicamente o resultado c1ássico, propondo um critério para quantificar esta melhora. / We show how the time dependent variational principle can be used to study quantum corrections to the classical limit, in particular of the SU(2) Lipkin Model. We show how much corrections can be cast in Hamiltonian form, coupling to the classical dynamics a set of variables associated to the quantum fluctuations. This leads to an effective dynamics which has the number of degrees of freedom doubled with respect to the classical system. As a consequence chaotic behavior emerges. We show that this semiquantal chaos is the mechanism through which tunneling is effected, and also, that these corrections systematically improve the classical results and propose some quantitative measure of this improvement.

Récemment avec les nouvelles possibilités d'études expérimentales de noyaux exotiques riches en proton, un regain d'intérêt s'est porté sur la problématique des corrélations d'appariement proton-neutron. Ce travail a pour but l'étude des corrélations au delà du champ moyen et en particulier du pairing proton-neutron isoscalaire et isovecteur pour différents isotopes de Germanium N ~ Z. Nous avons d'abord traité l'approche BCS classique avec l'approximation Lipkin-Nogami (LN) de projection sur le bon nombre de particules en utilisant une interaction résiduelle de type contact. Ensuite dans une approche appelée Higher Tamm-Dancoff Approximation (HTDA) les corrélations proton-neutron ont été traitées en conservant explicitement le nombre de particules. Dans les deux cas, nous avons développé les codes numériques correspondants pour traiter les couplages proton-neutron. Les résultats des applications numériques pour quelques noyaux sont discutés et comparés dans les deux approches BCS(LN) et HTDA avec pairing isoscalaire et isovecteur. Nous avons montré que les deux approches donnent une description semblable des corrélations du fondamental mais que la méthode HTDA est plus efficace dans le régime de faible pairing. Nous avons mis en évidence le rôle crucial de la conservation du nombre de particules pour la description des corrélations d'appariement proton-neutron. La prise en compte du pairing T = 0 génère une énergie de liaison supplémentaire pour les noyaux N = Z contribuant au terme d'énergie de Wigner.

Partie I: Modèles de spin collectif On utilise le formalisme des états cohérents de spin pour étudier des modèles de spin collectif, qui ont plusieurs champs d'application en physique. Le modèle de Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) a en particulier été analysé à la limite thermodynamique. La méthode développée au cours de ce travail peut être utilisée, en principe, pour des Hamiltoniens plus généraux, s'écrivant en fonction des générateurs de l'algèbre su(2). Nous avons pu dériver exactement la densité d'états intégrée du modèle. La nature des singularités de la densité d'états a été mise en évidence. Les premières corrections de taille finie ont également été calculées. Les valeurs moyennes d'observables ont été étudiées. Près des singularités, la quantification de Bohr-Sommerfeld, adaptée aux spins, n'est pas valable. Pour traiter ces cas, nous avons développé une nouvelle approche, permettant alors de décrire le spectre au voisinage des points critiques. Partie II : Calcul quantique adiabatique Nous avons construit un modèle simple permettant de mettre en évidence la relation entre les transitions de phase quantiques et le calcul (quantique) adiabatique. Ce modèle met en évidence l'importance du choix du Hamiltonien initial et du chemin adiabatique considéré dans l'espace des paramètres, et peut servir comme un cas d'école pour des modèles plus réalistes. Nous avons enfin étudié la dynamique des populations des états à travers une transition de phase, pour le cas du modèle LMG abordé dans la première partie. Une analyse numérique nous a montré que ces changements de population sont très sensibles à la présence des points exceptionnels dans le spectre, ce qu'un modèle simplifié de l'évolution quantique permettait de suggérer.

In this diploma thesis precursors of quantum phase transitions in finite many-body systems are studied. The main attention is paid to the mechanism, how nonanalytic behaviour of the ground state is generated for certain critical values of real control parameters. It is shown that nonanalytic behaviour of energy levels and eigenstates is closely connected with exceptional points of the hamiltonian, which are points in control parameter space extended into a complex domain where at least two eigenvalues and corresponding eigenvectors coincide. Differences in the distribution of exceptional points in the complex plane of control parameter for the first and second order phase transitions and also evolutions of the position of exceptional points with increasing particle number are discussed.