A set of subsets is said to have the Helly property if the condition that each pair of subsets has a non-empty intersection implies that the intersection of all subsets has a non-empty intersection. In 1966, Gallai noticed that the set of all longest paths of a connected graph is pairwise intersecting and asked if the set had the Helly property. While it is not true in general, a number of classes of graphs have been shown to have the property. In this dissertation, we show that K4-minor-free graphs, interval graphs, circular arc graphs, and the intersection graphs of spider graphs are classes that have this property. The accuracy of facial recognition algorithms on images taken in controlled conditions has improved significantly over the last two decades. As the focus is turning to more unconstrained or relaxed conditions and toward videos, there is a need to better understand what factors influence performance. If these factors were better understood, it would be easier to predict how well an algorithm will perform when new conditions are introduced. Previous studies have studied the effect of various factors on the verification rate (VR), but less attention has been paid to the false accept rate (FAR). In this dissertation, we study the effect various factors have on the FAR as well as the correlation between marginal FAR and VR. Using these relationships, we propose two models to predict marginal VR and demonstrate that the models predict better than using the previous global VR.

O tema central deste trabalho é o estudo de problemas sobre caminhos mais longos em grafos, de pontos de vista tanto estrutural como algorítmico. A primeira parte tem como foco o estudo de problemas motivados pela seguinte questão levantada por T. Gallai em 1966: é verdade que em todo grafo conexo existe um vértice comum a todos os seus caminhos mais longos? Hoje, já se conhecem diversos grafos conexos cuja intersecção de todos os seus caminhos mais longos é vazia. Entretanto, existem classes de grafos para as quais a resposta à pergunta de Gallai é afirmativa. Nessa linha, apresentamos alguns resultados da literatura e duas novas classes que obtivemos: os grafos exoplanares e as 2-árvores. Motivado por esse problema, nos anos 80, T. Zamfirescu formulou a seguinte pergunta que permanece em aberto: é verdade que em todo grafo conexo existe um vértice comum a quaisquer três de seus caminhos mais longos? Apresentamos, além de alguns resultados conhecidos, uma prova de que a resposta é afirmativa para grafos em que todo bloco não trivial é hamiltoniano. Notamos que esse último resultado e o acima mencionado para grafos exoplanares generalizam um teorema de M. Axenovich (2009) que afirma que quaisquer três caminhos mais longos em um grafo exoplanar têm um vértice em comum. Finalmente, mencionamos alguns outros resultados da literatura relacionados com o tema. Na segunda parte, investigamos o problema de encontrar um caminho mais longo em um grafo. Este problema é NP-difícil para grafos arbitrários. Isto motiva investigações em duas linhas a respeito da busca de tais caminhos. Pode-se procurar classes especiais de grafos para as quais existem algoritmos polinomiais, ou pode-se abrir mão da busca de um caminho mais longo, e projetar um algoritmo eficiente que encontra um caminho cujo comprimento esteja próximo do comprimento de um mais longo. Nesse trabalho estudamos ambas as abordagens e apresentamos alguns resultados da literatura. / The central theme of this thesis is the study of problems related to longest paths in graphs, both from a structural and an algorithmic point of view. The first part focuses on the study of problems motivated by the following question raised by T. Gallai in 1966: is it true that every connected graph has a vertex common to all its longest paths? Today, many connected graphs in which all longest paths have empty intersection are known. However, there are classes of graphs for which Gallais question has a positive answer. In this direction, we present some results from the literature, as well as two new classes we obtained: outerplanar graphs and 2-trees. Motivated by this problem, T. Zamfirescu, in the 80s, proposed the following question which remains open: is it true that every connected graph has a vertex common to any three of its longest paths? We present, in addition to some known results, a proof that the answer to this question is positive for graphs in which all non-trivial blocks are Hamiltonian. We note that this result and the one mentioned above for outerplanar graphs generalize a theorem of M. Axenovich (2009) that states that any three longest paths in an outerplanar graph have a common vertex. Finally, we mention some other related results from the literature. In the second part, we investigate the problem of finding a longest path in a graph. This problem is NP-hard for arbitrary graphs. This motivates investigations in two directions with respect to the search for such paths. We can look for special classes of graphs for which the problem is polynomially solvable, or we can relinquish the search for a longest path and design an efficient algorithm that finds a path whose length is close to that of a longest path. In this thesis we study both approaches and present some results from the literature.

O tema central deste trabalho é o estudo de problemas sobre caminhos mais longos em grafos, de pontos de vista tanto estrutural como algorítmico. A primeira parte tem como foco o estudo de problemas motivados pela seguinte questão levantada por T. Gallai em 1966: é verdade que em todo grafo conexo existe um vértice comum a todos os seus caminhos mais longos? Hoje, já se conhecem diversos grafos conexos cuja intersecção de todos os seus caminhos mais longos é vazia. Entretanto, existem classes de grafos para as quais a resposta à pergunta de Gallai é afirmativa. Nessa linha, apresentamos alguns resultados da literatura e duas novas classes que obtivemos: os grafos exoplanares e as 2-árvores. Motivado por esse problema, nos anos 80, T. Zamfirescu formulou a seguinte pergunta que permanece em aberto: é verdade que em todo grafo conexo existe um vértice comum a quaisquer três de seus caminhos mais longos? Apresentamos, além de alguns resultados conhecidos, uma prova de que a resposta é afirmativa para grafos em que todo bloco não trivial é hamiltoniano. Notamos que esse último resultado e o acima mencionado para grafos exoplanares generalizam um teorema de M. Axenovich (2009) que afirma que quaisquer três caminhos mais longos em um grafo exoplanar têm um vértice em comum. Finalmente, mencionamos alguns outros resultados da literatura relacionados com o tema. Na segunda parte, investigamos o problema de encontrar um caminho mais longo em um grafo. Este problema é NP-difícil para grafos arbitrários. Isto motiva investigações em duas linhas a respeito da busca de tais caminhos. Pode-se procurar classes especiais de grafos para as quais existem algoritmos polinomiais, ou pode-se abrir mão da busca de um caminho mais longo, e projetar um algoritmo eficiente que encontra um caminho cujo comprimento esteja próximo do comprimento de um mais longo. Nesse trabalho estudamos ambas as abordagens e apresentamos alguns resultados da literatura. / The central theme of this thesis is the study of problems related to longest paths in graphs, both from a structural and an algorithmic point of view. The first part focuses on the study of problems motivated by the following question raised by T. Gallai in 1966: is it true that every connected graph has a vertex common to all its longest paths? Today, many connected graphs in which all longest paths have empty intersection are known. However, there are classes of graphs for which Gallais question has a positive answer. In this direction, we present some results from the literature, as well as two new classes we obtained: outerplanar graphs and 2-trees. Motivated by this problem, T. Zamfirescu, in the 80s, proposed the following question which remains open: is it true that every connected graph has a vertex common to any three of its longest paths? We present, in addition to some known results, a proof that the answer to this question is positive for graphs in which all non-trivial blocks are Hamiltonian. We note that this result and the one mentioned above for outerplanar graphs generalize a theorem of M. Axenovich (2009) that states that any three longest paths in an outerplanar graph have a common vertex. Finally, we mention some other related results from the literature. In the second part, we investigate the problem of finding a longest path in a graph. This problem is NP-hard for arbitrary graphs. This motivates investigations in two directions with respect to the search for such paths. We can look for special classes of graphs for which the problem is polynomially solvable, or we can relinquish the search for a longest path and design an efficient algorithm that finds a path whose length is close to that of a longest path. In this thesis we study both approaches and present some results from the literature.