The concepts of continuity for set-valued mappings were introduced by G. Bouligand and K. Kuratowski. There are two ways defining differentiability of set-valued mapping. One is defined by classical differentiability theorem and another is defined by normal cone which was introduced by B.S. Mordukhovich. In this thesis, we survey various definitions of continuity and differentiability for set-valued mapping.

Nous étudions la minimisation du périmètre et de l'énergie de Willmore en présence de contraintes ainsi que le flot, défini par les mouvements minimisants, de l'énergie de Willmore. Les problèmes d'optimisation géométriques et les flots que nous considérons reposent sur une propriété de semi-continuité inférieure que nous pouvons assurer en prenant l'enveloppe semi-continue inférieurement des énergies incluant les contraintes.Dans la première partie de la thèse, nous étudions trois problèmes d'optimisation. Le premier concerne le périmètre avec une contrainte de connexité. Le second est un problème de reconstruction de domaine à partir de sections planaires. Cette reconstruction est basée sur la minimisation du périmètre ou de l'énergie de Willmore avec des contraintes d'inclusion-exclusion. Nous développons un modèle de champ de phase pour implémenter numériquement la reconstruction en 2D et 3D à partir de contraintes d'inclusion-exclusion variées. Le troisième problème est l'étude des propriétés des courbes fermées, confinées dans un ouvert borné du plan, minimisant l'énergie élastique (Willmore).La deuxième partie étudie le flot de l'énergie de Willmore par les mouvements minimisants. Le flot pour une surface régulière est difficile à analyser, entre autre car il peut développer des singularités en temps fini. L'enveloppe semi-continue inférieurement et les mouvements minimisants permettent de définir un flot en temps long pour des surfaces moins régulières. Ce flot est étudié dans deux situations : pour la somme de l'énergie de Willmore et du périmètre dans le plan et pour l'énergie de Willmore des fonctions radiales à profil décroissant en toute dimension / We study the minimisation with constraints of the perimeter and of the Willmore energie and the flow of the Willmore energie, defined by minimising movements. The geometric optimisation problems and flows we handle rely on a lower semicontinuous property that we enforce by taking the lower semicontinuous envelop of the energies including the constraints.In the first part of the thesis, we consider three optimisation problems. The first one deals with the perimeter and connectedness constraints in the plan. The second one is a reconstruction problem of a volumetric domain from planar slices. This reconstruction is based on the minimisation of the perimeter or of the Willmore energy with inclusion-exclusion constraints. A phase field numerical approach and experiments are implemented. The third problem is the study of closed curves confined in an open bounded subset of the plane that minimise the bending energy (or Willmore energy). The second part of the thesis studies the Willmore flow defined by minimising movements. The flow of a regular surface is complex to analyse and may develop singularities in finite time. We use the lower semicontinuous envelop of the Willmore energy and the minimising movement to define a long time flow for surfaces with less regularity. This flow is studied within two contexts: for the sum of the Willmore energy and the perimeter in the plane and for the Willmore energy of radial functions with a non-increasing profile in any dimension

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