Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους για την κατασκευή συναρτήσεων Lyapunov για δυναμικά συστήματα αλλά και για τον καθορισμό του ελκτικού συνόλου ενός σημείου ισορροπίας. Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων έχει ως κίνητρο τις πολλαπλές εφαρμογές τους στη Φυσική, τη Χημεία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία, κ.λ.π.. Εστιάζουμε στις αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις της μορφής οι οποίες ορίζουν ένα δυναμικό σύστημα. Οι πιο απλές λύσεις μίας τέτοιας εξίσωσης καλούνται σημεία ισορροπίας. Πολύ σημαντικός είναι επίσης και ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου. Ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται μέσω υποεπίπεδων συνόλων μίας συνάρτησης Lyapunov, δηλαδή μίας συνάρτησης με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή ισορροπίας. Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας. Υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία πάνω στις συναρτήσεις Lyapunov. Το 1893, ο Lyapunov εισήγαγε την άμεση ή δεύτερη μέθοδό του, όπου κατάφερε να εξασφαλίσει αποτελέσματα για την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας χωρίς να γνωρίζει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, αλλά χρησιμοποιώντας μόνο την ίδια τη διαφορική εξίσωση. Από τότε έχει δοθεί πλήθος αντίστροφων θεωρημάτων, που εξασφαλίζουν την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov, από διάφορους συγγραφείς. Το πρώτο κύριο θεώρημα για ασυμπτωτική ευστάθεια δόθηκε από τον Massera το 1949 και από τότε έχει βελτιωθεί από πολλούς συγγραφείς προς διάφορες κατευθύνσεις. Ωστόσο, κανένα από τα θεωρήματα ύπαρξης δεν παρέχει μία μέθοδο σαφούς κατασκευής μίας συνάρτησης Lyapunov. Για γραμμικά συστήματα μπορεί κάποιος να κατασκευάσει μία τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov της μορφής με ένα συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα , όπου συμβολίζει το σημείο ισορροπίας. Ο Hahn περιγράφει πως μπορεί κάποιος, ξεκινώντας από ένα μη-γραμμικό σύστημα, να χρησιμοποιήσει την τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov του γραμμικοποιημένου συστήματος σα μία συνάρτηση Lyapunov για το μη-γραμμικό σύστημα. Πολλές προσεγγίσεις θεωρούν ειδικές συναρτήσεις Lyapunov, όπως τετραγωνικής μορφής, πολυωνυμικές, κατά τμήματα γραμμικές, ή κατά τμήματα τετραγωνικής μορφής. Οι μέθοδοι όμως αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συγκεκριμμένες διαφορικές εξισώσεις. Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με δύο μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov. Για τη πρώτη μέθοδο κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας, ξεκινούμε με ένα θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov η οποία ικανοποιεί την ισότητα , όπου είναι μία γνωστή σταθερά. Βασικός στόχος της μεθόδου είναι να προσεγγίσει τη λύση αυτής της μερικής διαφορικής εξίσωσης με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης. Τότε και η προσέγγιση είναι μία συνάρτηση Lyapunov και έτσι, μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να καθορίσουμε το ελκτικό σύνολο. Επειδή η συνάρτηση δεν ορίζεται στο , μελετούμε και μία δεύτερη κλάση συναρτήσεων Lyapunov , οι οποίες ορίζονται και είναι ομαλές στο . Αυτές ικανοποιούν την ισότητα , όπου είναι μία δοθείσα συνάρτηση με συγεκριμμένες ιδιότητες, μία εκ των οποίων είναι ότι . Για την προσέγγιση χρησιμοποιούμε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης. Στη δεύτερη μέθοδο κατασκευάζουμε μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση Lyapunov για το αρχικό μη-γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό. / In this diploma work we present methods for the construction of Lyapunov functions for dynamical systems but also we determine the basin of attraction of an equilibrium. The study of differential equations is motivated from numerous applications in physics, chemistry, economics, biology, etc. We focus on autonomous differential equations x’ = f(x), x ∈ Rn which define a dynamical system. The simplest solutions x(t) of such an equation are equilibria, i.e. solutions x(t) = x0 which remain constant. An important and non-trivial task is thedetermination of their basin of attraction. The determination of the basin of attraction is achieved through sublevel sets of a Lyapunov function, i.e. a function with negative orbital derivative. The orbital derivative V ‘(x) of a function V (x) is the derivative along solutions of the differential equation. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. There is a rich literature on the functions of Lyapunov. In 1893, Lyapunov introduced the direct method, where he managed to secure results for the stability of an equilibrium point without knowing the solution of the differential equation, but using only the same differential equation. Since then many inverse theorems have been given that ensure the existence of a function Lyapunov, by various authors. The first main theorem on asymptotic stability given by Massera in 1949 and since then has been improved by many authors in different directions. However, none of the theorem of existence does not provide a clear method of manufacturing a Lyapunov function. For linear systems, one can construct a quadratic form of a Lyapunov function with a symmetric positive definite table. The Hahn describes how people, starting from a non-linear system, use the like it were a Lyapunov function for the nonlinear system. Many approaches consider special functions Lyapunov, such as quadratic form, polynomial. These methods can be used only in specific differential equations. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. We start from a theorem which ensures the existence of a Lyapunov function T which satisfies the equation T’(x) = −c, where -c > 0 is a given constant. This equation is a linear first-order partial differential equation. The main goal of this method is to approximate the solution T of this partial differential equation using radial basis functions. Then the approximation itself is a Lyapunov function, and thus can be used to determine the basin of attraction. Since the function T is not defined at x0, we also study a second class of Lyapunov functions V which are defined and smooth at x0. They satisfy the equation V ‘(x) = −p(x), where p(x) is a given function with certain properties, in particular p(x0) = 0. For the approximation we use radial basis functions, a powerful meshless approximation method. In the second method we construct a linear Lyapunov function for the original non-linear system using linear programming.

No description available.

No description available.

The deformation control problem arises in applications where a mechanical system needs to actively modify the shape of a soft object. This problem is needed in surgical robotics to automate delicate procedures with soft tissues, e.g. suturing and needle insertion, in food industry to automate the shaping of food materials such as dough, or in textile industry to automate the folding and positioning of extensible fabrics, to name a few cases. However, despite the recent progress in physically interactive and soft robotics, the active deformation of compliant objects remains an open research problem with many economically important applications. One of the main issues that complicates the implementation of these types of tasks is the difficulty to identify the deformation properties of soft materials. / The aim of this thesis is to provide model-free solutions to this challenging control design problem. For that, new adaptive methods to servo-control unknown elastic deformations are presented. First, this thesis proposes a kinematic controller that estimates the deformation Jacobian matrix in real-time, hence, avoids the identification of the object’s deformation model. This method computes the unknown matrix based on measurements of the deformation flow and the velocity input to the manipulator; the matrix is then used to map the deformation control action into end-effector velocities. Next, this thesis presents a conceptually different adaptive control approach that does not require to numerically estimate the deformation Jacobian matrix or to numerically compute the optical flow. However, to compute the velocity control input, offline testing deformations must be performed. In this method, the deformation control action is mapped to end-effector velocities by an adaptively varying transposed matrix, thus no matrix inversion is required. / This thesis also tackles the simultaneous vision-based control of multiple elastic deformations. This method incorporates the attitude of a fully-constrained gripper and the measurements from multiple vision sensors into the Jacobian estimation algorithm; by doing this, the number of controllable deformation degrees-of-freedom is increased. Additionally, this thesis addresses the vision-based deformation problem but with torque-controlled manipulators. The presented adaptive method exploits the passivity properties of the system and computes the controller with the online estimated Jacobian matrix. Finally, this thesis formulates the deformation control problem but in terms of force sensory feedback, in other words, the control objective is the regulation of the applied force onto the elastic object; the presented energy shaping controller preserves in closed-loop the Hamiltonian structure of the dynamical system. / The originality of this work lies in the uncalibrated nature of the control methods, i.e. none of the proposed controllers require the identification of the object’s deformation/stiffness model and the camera’s parameters. This uncalibrated feature allows to control on-the-fly elastic deformations of unknown compliant objects. It must be remarked that for each of the control methods, its stability is analysed with Lyapunov theory, and its performance is experimentally verified with robot manipulators. / Navarro Alarcon, David. / Thesis (Ph.D.) Chinese University of Hong Kong, 2014. / Includes bibliographical references (leaves 123-132).

This thesis proposes a new method to compute the lower and upper bounds of solution to the generalized Lyapunov matrix equation. Convergence of the iteratively computed bounds is illustrated by several numerical examples. Moreover, regularization of the condition required in computing the upper bound is also investigated. Finally, the method is employed to derive a less conservative bound on the magnitude of perturbation without destroying the stability of the perturbed system. All the theoretical results are verified by the numerical examples.

No description available.

No description available.

No description available.

No description available.

Thesis (Ph. D.)--Washington State University, May 2006. / Includes bibliographical references (p. 130-134).