Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους για την κατασκευή συναρτήσεων Lyapunov για δυναμικά συστήματα αλλά και για τον καθορισμό του ελκτικού συνόλου ενός σημείου ισορροπίας. Η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων έχει ως κίνητρο τις πολλαπλές εφαρμογές τους στη Φυσική, τη Χημεία, τα Οικονομικά, τη Βιολογία, κ.λ.π.. Εστιάζουμε στις αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις της μορφής οι οποίες ορίζουν ένα δυναμικό σύστημα. Οι πιο απλές λύσεις μίας τέτοιας εξίσωσης καλούνται σημεία ισορροπίας. Πολύ σημαντικός είναι επίσης και ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου. Ο καθορισμός του ελκτικού συνόλου επιτυγχάνεται μέσω υποεπίπεδων συνόλων μίας συνάρτησης Lyapunov, δηλαδή μίας συνάρτησης με αρνητική παράγωγο κατά μήκος των τροχιών στη περιοχή ισορροπίας. Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουμε μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας. Υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία πάνω στις συναρτήσεις Lyapunov. Το 1893, ο Lyapunov εισήγαγε την άμεση ή δεύτερη μέθοδό του, όπου κατάφερε να εξασφαλίσει αποτελέσματα για την ευστάθεια ενός σημείου ισορροπίας χωρίς να γνωρίζει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης, αλλά χρησιμοποιώντας μόνο την ίδια τη διαφορική εξίσωση. Από τότε έχει δοθεί πλήθος αντίστροφων θεωρημάτων, που εξασφαλίζουν την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov, από διάφορους συγγραφείς. Το πρώτο κύριο θεώρημα για ασυμπτωτική ευστάθεια δόθηκε από τον Massera το 1949 και από τότε έχει βελτιωθεί από πολλούς συγγραφείς προς διάφορες κατευθύνσεις. Ωστόσο, κανένα από τα θεωρήματα ύπαρξης δεν παρέχει μία μέθοδο σαφούς κατασκευής μίας συνάρτησης Lyapunov. Για γραμμικά συστήματα μπορεί κάποιος να κατασκευάσει μία τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov της μορφής με ένα συμμετρικό, θετικά ορισμένο πίνακα , όπου συμβολίζει το σημείο ισορροπίας. Ο Hahn περιγράφει πως μπορεί κάποιος, ξεκινώντας από ένα μη-γραμμικό σύστημα, να χρησιμοποιήσει την τετραγωνικής μορφής συνάρτηση Lyapunov του γραμμικοποιημένου συστήματος σα μία συνάρτηση Lyapunov για το μη-γραμμικό σύστημα. Πολλές προσεγγίσεις θεωρούν ειδικές συναρτήσεις Lyapunov, όπως τετραγωνικής μορφής, πολυωνυμικές, κατά τμήματα γραμμικές, ή κατά τμήματα τετραγωνικής μορφής. Οι μέθοδοι όμως αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συγκεκριμμένες διαφορικές εξισώσεις. Σε αυτή την εργασία θα ασχοληθούμε με δύο μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov. Για τη πρώτη μέθοδο κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov για ένα σημείο ισορροπίας, ξεκινούμε με ένα θεώρημα που εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας συνάρτησης Lyapunov η οποία ικανοποιεί την ισότητα , όπου είναι μία γνωστή σταθερά. Βασικός στόχος της μεθόδου είναι να προσεγγίσει τη λύση αυτής της μερικής διαφορικής εξίσωσης με τη χρήση συναρτήσεων ακτινωτής βάσης. Τότε και η προσέγγιση είναι μία συνάρτηση Lyapunov και έτσι, μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για να καθορίσουμε το ελκτικό σύνολο. Επειδή η συνάρτηση δεν ορίζεται στο , μελετούμε και μία δεύτερη κλάση συναρτήσεων Lyapunov , οι οποίες ορίζονται και είναι ομαλές στο . Αυτές ικανοποιούν την ισότητα , όπου είναι μία δοθείσα συνάρτηση με συγεκριμμένες ιδιότητες, μία εκ των οποίων είναι ότι . Για την προσέγγιση χρησιμοποιούμε συναρτήσεις ακτινωτής βάσης. Στη δεύτερη μέθοδο κατασκευάζουμε μια κατά τμήματα γραμμική συνάρτηση Lyapunov για το αρχικό μη-γραμμικό σύστημα χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό. / In this diploma work we present methods for the construction of Lyapunov functions for dynamical systems but also we determine the basin of attraction of an equilibrium. The study of differential equations is motivated from numerous applications in physics, chemistry, economics, biology, etc. We focus on autonomous differential equations x’ = f(x), x ∈ Rn which define a dynamical system. The simplest solutions x(t) of such an equation are equilibria, i.e. solutions x(t) = x0 which remain constant. An important and non-trivial task is thedetermination of their basin of attraction. The determination of the basin of attraction is achieved through sublevel sets of a Lyapunov function, i.e. a function with negative orbital derivative. The orbital derivative V ‘(x) of a function V (x) is the derivative along solutions of the differential equation. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. There is a rich literature on the functions of Lyapunov. In 1893, Lyapunov introduced the direct method, where he managed to secure results for the stability of an equilibrium point without knowing the solution of the differential equation, but using only the same differential equation. Since then many inverse theorems have been given that ensure the existence of a function Lyapunov, by various authors. The first main theorem on asymptotic stability given by Massera in 1949 and since then has been improved by many authors in different directions. However, none of the theorem of existence does not provide a clear method of manufacturing a Lyapunov function. For linear systems, one can construct a quadratic form of a Lyapunov function with a symmetric positive definite table. The Hahn describes how people, starting from a non-linear system, use the like it were a Lyapunov function for the nonlinear system. Many approaches consider special functions Lyapunov, such as quadratic form, polynomial. These methods can be used only in specific differential equations. In this book we present a method to construct Lyapunov functions for an equilibrium. We start from a theorem which ensures the existence of a Lyapunov function T which satisfies the equation T’(x) = −c, where -c > 0 is a given constant. This equation is a linear first-order partial differential equation. The main goal of this method is to approximate the solution T of this partial differential equation using radial basis functions. Then the approximation itself is a Lyapunov function, and thus can be used to determine the basin of attraction. Since the function T is not defined at x0, we also study a second class of Lyapunov functions V which are defined and smooth at x0. They satisfy the equation V ‘(x) = −p(x), where p(x) is a given function with certain properties, in particular p(x0) = 0. For the approximation we use radial basis functions, a powerful meshless approximation method. In the second method we construct a linear Lyapunov function for the original non-linear system using linear programming.

Το αντικείμενο της διατριβής αφορά την ανάλυση και τον έλεγχο δυναμικών συστημάτων με περιορισμούς στο διάνυσμα της εισόδου ή/ και στις μεταβλητές κατάστασης. Τα θεωρητικά εργαλεία που χρησιμοποιήθηκαν για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων προέρχονται από τη θεωρία ευστάθειας Lyapunov, την αρχή σύγκρισης συστημάτων και τη θεωρία συνόλων, και οδήγησαν στην εδραίωση συνθηκών ευστάθειας και την ανάπτυξη συστηματικών μεθόδων εύρεσης λύσης στο πρόβλημα ελέγχου συγκεκριμένων κατηγοριών δυναμικών συστημάτων με περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για την κατηγορία των γραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου, προτάθηκε μια νέα μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ευσταθειοποίησης συνόλου αρχικών συνθηκών και του υπολογισμού του μέγιστου θετικά αμετάβλητου ή αμετάβλητου με έλεγχο συνόλου παρουσία περιορισμών στις εισόδους ή/και στις καταστάσεις. Τα αποτελέσματα επεκτάθηκαν και στην κατηγορία των γραμμικών συστημάτων με πολυτοπικη αβεβαιότητα. Επίσης, μελετήθηκε η κατηγορία των αυτοανάδρομων μοντέλων κινούμενου μέσου όρου (ARMA models). Αρχικά εδραιώθηκαν συνθήκες που εγγυώνται ευστάθεια για ένα συγκεκριμένο σύνολο αρχικών συνθηκών παρουσία περιορισμών. Τα αποτελέσματα αυτά εφαρμόστηκαν στην κατηγορία των δικτυωμένων συστημάτων ελέγχου (NCS), όπου υπολογίστηκε ένας κοινός γραμμικός νόμος ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης για όλο το εύρος της καθυστέρησης της εισόδου. Τέλος, μελετήθηκε η κατηγορία των διγραμμικών συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Αρχικά διατυπώθηκαν ικανές συνθήκες ύπαρξης πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov για αυτήν την κατηγορία συστημάτων. Το πρόβλημα που μελετήθηκε είναι η ευσταθειοποίηση μιας συγκεκριμένης περιοχής του χώρου κατάστασης παρουσία περιορισμών στις εισόδους και τις καταστάσεις και προτάθηκε μια υποβέλτιστη λύση που οδηγεί στον υπολογισμό γραμμικού νόμου ελέγχου ανατροφοδότησης κατάστασης. Όλα τα αποτελέσματα προκύπτουν από την επιλογή πολυεδρικών συναρτήσεων Lyapunov οι οποίες οδηγούν στο χαρακτηρισμό πολυεδρικών εκτιμήσεων της περιοχής ελκτικότητας και θετικά αμετάβλητων συνόλων. Τα κυριότερα οφέλη της επιλογής τέτοιων συναρτήσεων είναι η μη συντηρητική εκτίμησης της περιοχή ευστάθειας και η εδράιωση συνθηκών που οδηγούν σε συστηματικές μεθόδους επίλυσης των προβλημάτων ανάλυσης και ελέγχου, η λύση των οποίων προκύπτει από τη λύση γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης. / This dissertation considers the problem of stability analysis and control of dynamical systems under constraints in the input and/or state vector. The theoretical tools used arise from Lyapunov stability theory, comparison systems theory and set theoretic methods and lead to the determination of stability conditions and development of systematic methods that solve the control problem of constrained systems of particular type. In specific, for linear discrete or continuous time systems, a novel method that leads to the solution of the initial condition set stabilization problem as well as the maximal controlled invariant set computation problem is presented. These results have been extended for the case of linear systems with polytopic uncertainty. Also, the category of auto regressive moving average (ARMA) models is investigated. First, conditions that guarantee stability for a preassigned initial conditions set for constrained ARMA models are established. These results are applied to the category of networked control systems (NCS), were a single linear state feedback control law is computed for the whole range of the input delay. Finally, the category of bilinear discrete-time or continuous-time systems is investigated. Initially, sufficient conditions which guarantee existence of polyhedral Lyapunov functions are presented. The problem studied here is the stabilization of an initial condition set in the presence of input and state constraints. The solution proposed is suboptimal and leads to the determination of a linear state feedback control law. The choice of Lyapunov functions leads to the determination of a polyhedral approximation of the domain of attraction as well as polyhedral positively invariant sets. The main benefits of choosing this type of functions is the nonconservative estimation of the domain of attraction and the establishment of stability conditions that lead to systematic control design methods through the solution of linear programming problems.