Ο έλεγχος μη γραμμικών δειγματοληπτικών συστημάτων αποτελεί μια σημαντική πρόκληση, στην ανάλυση και σχεδιασμό ελεγκτών συστημάτων, με μεγάλη πρακτική εφαρμογή. Σε αυτή την μελέτη παρουσιάζουμε ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία ανάλυσης και σχεδιασμού, για μια γενική κατηγορία μη γραμικών δειγματοληπτικών συστημάτων (nonlinear sampled-data control). Παρουσιάζεται μια γενίκευση και ενοποίηση των γνωστών αποτελεσμάτων σχεδίασης εξομοίωσης (Emulation Design), διαθέσιμων στην βιβλιογραφία, θεωρώντας την διατήρηση των γενικευμένων ανισώσεων διάχυσης (Dissipation inequalities) υπό δειγματοληψίας, στο πλαίσιο του σχεδιασμού εξομοιωτών ελεγκτών δυναμικής κατάστασης ανάδρασης (dynamic state feedback controllers). Στην συνέχεια παρουσιάζονται δύο παραδείγματα μελέτης εφαρμογής των αποτελεσμάτων της γενικής μελέτης σχετικά με την διατήρηση των ιδιοτήτων διαχυτικότητας (dissipativity properties), ευστάθειας (stability), εισόδου-σε-κατάσταση σταθερότητας (input-to-state stability) και παθητικότητας (passivity), όταν ο ελεγκτής διακριτού χρόνου ενός συστήματος σχεδιάζεται με εξομοίωση. / The current diploma thesis is about a general and unified framework of a sampled-data nonlinear system using the emulation design.

- / -

- / -

- / -

Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη μελέτη των μη γραμμικών συστημάτων και τη σχεδίαση ενός προσαρμοστικού ελεγκτή για συστήματα δεύτερης τάξης με αβεβαιότητα. Αρχικά παρουσιάζονται η μορφή και οι ιδιότητες των μη γραμμικών συστημάτων τονίζοντας την ανάγκη για προσαρμοστικό έλεγχο. Στην συνέχεια προτείνεται ένας προσαρμοστικός ελεγκτής κατάλληλος για μη γραμμικά συστήματα δεύτερης τάξης που εγγυάται πλήρη ασυμπτωτική ευστάθεια για το συστημα κλειστού βρόγχου. Η μορφή του ελεγκτη βελτιώνεται σε περίπτωση που οι συναρτήσεις απόσβεσης και δυσκαμψίας είναι πολυωνυμικές και η αποδοτικότητα του επιβεβαιώνεται σε κάθε περίπτωση με εκτενείς προσομοιώσεις. Τέλος, ο προτεινόμενος ελεγκτής εφαρμόζεται σε δύο πραγματικά συστήματα (μηχανικός ταλαντωτής του duffing, απλό εκκρεμές) και συγκρίνεται με την τεχνική του feedback linearization, δίνοντας καλύτερες αποκρίσεις σε περιπτώσεις ύπαρξης αβεβαιότητας παραμέτρων. / This diploma thesis includes the analysis of non linear systems and the design of an aadaptive controller suitable for second order nonlinear systems. In the beginning we present the structure and the properties of nonlineat systems underlining the need for adaptive control. Futhermore, we propose an adaptive control law suitable for second order nonlinear systems which guarantees asympotic stability for the closed loop system. Finally, the proposed controller is applied in two real systems (Duffing's mechanical oscillator,pendulum) and compared with feedback linearization technique, resulting better responses in cases where the system includes uncertain parameters.

Είναι γνωστό ότι η ανάγκη για την ταυτοποίηση συστηµάτων εµφανίζεται σε πολλά προβλήµατα του ευρύτερου κλάδου της Επεξεργασίας Σηµάτων. Υπάρχουν πολλές εφαρµογές, στις οποίες είτε σήµατα προκύπτουν λόγω µη γραµµικών ϕαινοµένων, είτε σήµατα υπόκεινται σε µη γραµµική επεξεργασία. Παραδείγµατα τέτοιων εφαρµογών αποτελούν η µη γραµµική ακύρωση ηχούς, η εξίσωση καναλιών, η µοντελοποίηση ϕωνής, η προσαρµοστική ακύρωση ϑορύβου και η βελτίωση εικόνας. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η ταυτοποίηση συστηµάτων χρησιµοποιώντας γραµµικά µοντέλα είναι εντελώς ακατάλληλη για τη µοντελοποίηση των αντιστοίχων ϕαινοµένων/διαδικασιών και τόσο η χρήση µη γραµµικών µοντέλων όσο και η ανάπτυξη σχετικών µεθόδων ταυτοποίησης είναι απαραίτητες. Στα πλαίσια της εν λόγω διπλωµατικής εργασίας, ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ταυτοποίησης µη γραµµικών συστηµάτων υψηλής τάξης µη γραµµικότητας, τα οποία επιδέχονται ανάπτυξη σε ισοδύναµες Σειρές Volterra. Αρχικά, ϑα ασχοληθούµε µε την ντετερµινιστική ταυτοποίηση µίας ειδικής µορφής διακριτού χρόνου πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων, τα οποία περιγράφονται µέσω του λεγόµενου µοντέλου Volterra - Hammerstein. Πιο συγκεκριµένα, ϑα παρουσιάσουµε και ϑα αναλύσουµε µία σχετικά νέα µέθοδο ταυτοποίησης, η οποία βασίζεται στη διέγερση του υπό µελέτη συστήµατος χρησιµοποιώντας χρονικά µεταβαλλόµενα αρµονικά σήµατα πεπερασµένης διάρκειας, τα επονοµαζόµενα chirps, τα οποία διαθέτουν ορισµένες ενδιαφέρουσες χρονοσυχνοτικές ιδιότητες. Επιπλέον, παρουσιάζουµε καινούργια και ενδιαφέροντα αποτελέσµατα. Στη συνέχεια, εισάγουµε και αναλύουµε διεξοδικά το ϑεµελιώδες πρόβληµα της βέλτιστης στοχαστικής ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, καθώς και το αντίστοιχο πρόβληµα της βέλτιστης ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων. Επιπλέον, ϑα επικεντρωθούµε στη διατύπωση των προαναφερθέντων προβληµάτων ελτιστοποίησης πάνω σε ισοδύναµους ορθοκανονικούς χώρους σηµάτων εισόδου. Ακόµα, εξετάζουµε αναλυτικά το πρόβληµα της βέλτιστης αναδροµικής και προσαρµοστικής ταυτοποίησης χρονικά µεταβλητών συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, µέσω του δηµοφιλούς ϕίλτρου Kalman. Χρησιµοποιώντας τη σχέση µίας ειδικής µορφής του ϕίλτρου Kalman µε τον εξίσου δηµοφιλή αλγόριθµο των εκθετικά σταθµισµένων αναδροµικών ελαχίστων τετραγώνων, αναπτύσσουµε προσαρµοστικά ϕίλτρα µε βελτιωµένες ικανότητες εντοπισµού. Τέλος, δοκιµάζουµε και συγκρίνουµε τις παραπάνω µεθόδους µέσω πειραµάτων και χρησιµοποιώντας δεδοµένα, τα οποία προέρχονται από περιβάλλοντα εξοµοίωσης. Επίσης, εξετάζουµε και συγκρίνουµε τη συµπεριφορά των µεθόδων υπό την επίδραση εξωτερικών διαταραχών µέτρησης στα αντίστοιχα σήµατα εξόδου. / -

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας με τίτλο «Εκπαιδευτικό -Υπολογιστικό Πακέτο για Αριθμητική Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων, μη Γραμμικών και Γραμμικών συστημάτων και του Προβλήματος της Βελτιστοποίησης», είναι η δημιουργία ενός υπολογιστικού πακέτου για σημαντικά επιλεγμένα θέματα αριθμητικής ανάλυσης, αξιοποιώντας το προγραμματιστικό περιβάλλον της Matlab. Με δεδομένη την ύπαρξη οργανωμένου εργαστηρίου στο Tμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών και την εύκολη πρόσβαση των φοιτητών σε αυτό, η δημιουργία ενός τέτοιου υπολογιστικού πακέτου θα μπορούσε άμεσα να αξιοποιηθεί από προπτυχιακούς φοιτητές έτσι ώστε: • να αποτελέσει για κάθε φοιτητή ένα συμπληρωματικό εργαλείο, εύκολα προσβάσιμο ακόμα και έξω από την αίθουσα διδασκαλίας, για την ενίσχυση της κατανόησης εννοιών και μεθόδων που δουλεύονται κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας, σε χρόνο που θα επιλέξει και με την επανάληψη που επιθυμεί. • να συνδέσει ο φοιτητής τη θεωρία με δικά του παραδείγματα και με άμεσα αποτελέσματα αξιοποιώντας τα υποδείγματα και το βοηθητικό - φιλικό περιβάλλον που έχουμε δημιουργήσει για την υλοποίηση των επιλεγμένων θεμάτων. • να αποτελέσει το κίνητρο για εξάσκηση στον προγραμματισμό μέσω της Matlab, η οποία δεν διδάσκεται και χρησιμοποιείται μόνο προαιρετικά σε επίπεδο εργασιών. / The aim of this work entitled “Educational Software Package for Numerical Solution of Nonlinear Equations, Nonlinear and Linear Systems and for Optimization Problem” is the creation of a software package which could deal with important issues of the field of mathematics called numerical analysis. This is achieved by using the Matlab computational environment. Taking into account the fact that there is a well equipped lab and easily accessible from students, in the Department of Mathematics of the University of Patras, the presented software package could be used by undergraduates students in order to: • be used by each student as a supplemental “tool” which can be easily accessible, even outside the classroom, for the better understanding of meanings and methods which are introduced during of courses, in time that each student may be selected. • combine theory with his examples and have direct results just by using the “models” of the friendly- assistant environment for the specified issues that are analyzed below. • be the motive for exercising the Matlab environment which could be a useful tool for solving many mathematical, and not only, issues.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζεται η μέθοδος της αναγνώρισης του μη γραμμικού δυναμικού συστήματος της καρδιαγγειακής ρύθμισης. Συγκεκριμένα, αυτή η μέθοδος εστιάζει στην αναγνώριση του Heart Rate Baroreflex μηχανισμού (ή αντίδραση πιεσοϋποδοχέα του καρδιακού παλμού) μέσω παρατηρήσεων της καρδιακής πίεσης η οποία αποτελεί την είσοδο και του καρδιακού παλμού ο οποίος αποτελεί την έξοδο του προς αναγνώριση συστήματος. Το μοντέλο αυτό βασίζεται στα έμφυτα χαρακτηριστικά του αυτόνομου νευρικού συστήματος, για την απεικόνιση των οποίων αναπτύσσουμε ένα προσαρμοζόμενο νεύρο-ασαφές σύστημα (ANFIS). Αυτή η μέθοδος μας επιτρέπει να ενσωματώσουμε τις φυσιολογικές λειτουργίες του νευρικού μας συστήματος όπως την συμπαθητική και παρασυμπαθητική, δια μέσου της επιλογής κατάλληλων συναρτήσεων συμμετοχής, οι οποίες αντικατοπτρίζουν επακριβώς, την συμπεριφορά των παραπάνω νεύρων για το προσαρμοζόμενο νεύρο-ασαφές σύστημα. Τα αποτελέσματα συμφωνούν με τα φυσικά χαρακτηριστικά του καρδιαγγειακού μηχανισμού ρύθμισης, όπως καθυστέρηση κατά την λειτουργία των παρασυμπαθητικών νευρών, διάρκεια κατά την λειτουργία των συμπαθητικών και διόρθωση ανάμεσα στο σήμα του καρδιακού παλμού και της καρδιακής ρύθμισης. Η σωστή εκτίμηση του Heart Rate Baroreflex μηχανισμού επιτρέπει στους κλινικούς γιατρούς να έχουν πιο αξιόπιστες πληροφορίες για τους ασθενείς τους. / This thesis presents the method of identification of nonlinear dynamic system of cardiovascular regulation. Specifically , this method focuses on the identification of the Heart Rate Baroreflex (or Baroreceptor Reflex ) mechanism by observation of the arterial blood pressure which is the input and heart rate which is the output of the system. This model is based on the inherent characteristics of the autonomic nervous system, so we develop an adaptive neuro- fuzzy inference system (ANFIS) to represent them. This method allows us to incorporate the physiological functions of our nervous system, such as sympathetic and parasympathetic nerves, through the selection of appropriate membership functions , which reflect accurately the behavior of these nerves for the adaptive neuro- fuzzy system . The results agree with the natural characteristics and physiological understanding of the cardiovascular regulatory system, such as delay in the parasympathetic function, durability in the function of sympathetic nerves and the correlation between the heart rate and the arterial blood pressure signals. Proper assessment of Heart Rate Baroreflex mechanism allows clinicians to have more reliable information for their patients.

- / -

Στη διπλωματική εργασία αυτή ασχοληθήκαμε με την πρόβλεψη της εξόδου μη-γραμμικών συστημάτων με τη χρήση αναδρομικών αλγορίθμων που χρησιμοποιούν συναρτήσεις πυρήνα. Παρουσιάζεται ο δικός μας αναδρομικός αλγόριθμος πρόβλεψης και βλέπουμε πως αποδίδει σε σχέση με έναν άλλο ήδη υπάρχων και ιδιαίτερα δημοφιλή αλγόριθμο. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνουμε μια σύντομη περιγραφή του προβλήματος που καλούμαστε να λύσουμε. Στη συνέχεια δείχνουμε πως οι συναρτήσεις πυρήνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μας βοηθήσουν να λύσουμε το πρόβλημα αυτό. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύουμε περισσότερο τις συναρτήσεις πυρήνα και τις ιδιότητες που τις χαρακτηρίζουν. Παρουσιάζουμε τα βασικά θεωρήματα και βλέπουμε πώς διαμορφώνεται το πρόβλημα της πρόβλεψης με την εφαρμογή αυτών. Επιπλέον παρουσιάζουμε πως το πρόβλημα μας μετατρέπεται στο γνωστό πρόβλημα γραμμικών ελαχίστων τετραγώνων στην περίπτωση που χρησιμοποιήσουμε γραμμικό πυρήνα. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο μας, αναλύοντας το συλλογισμό που μας οδήγησε σε αυτόν. Δίνουμε επίσης μια περιγραφή ενός άλλου αλγορίθμου που χρησιμοποιείται ήδη για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνονται μια σειρά από προσομοιώσεις σε MATLAB οπού βλέπουμε πόσο καλά μπορεί να κάνει την πρόβλεψη των εξόδων μη-γραμικών συστημάτων ο αλγόριθμός μας. Επίσης αντιπαραθέτουμε και την απόδοση του ανταγωνιστικού αλγορίθμου. Στα πειράματα μας εξετάζουμε το σφάλμα πρόβλεψης των προαναφερθέντων αλγορίθμων, την ταχύτητα σύγκλισης τους καθώς και την σθεναρότητα τους. Τέλος παρουσιάζουμε τα συμπεράσματα μας εξηγώντας γιατί πιστεύουμε ότι η δικία μας προσέγγιση υπερτερεί της άλλης. / This dissertation deals with the problem of predicting the output of non-linear systems using recursive kernel methods. We will present our own prediction algorithm and see how it performs in relation to a widely used alternative algorithm. In the first chapter we provide a short description of the problem of non-linear prediction. We then describe how kernel methods could help us solve this problem. In the second chapter we further analyze kernel functions and their properties. We present the basic theorems and see how these affect and transform the problem at hand. Furthermore, we explain how this problem results in the linear least squares problem in case we use the linear kernel. In the third chapter we present our algorithm and reasoning that led to it. We also describe a different algorithm that is already used to predict such signals. In the fourth chapter we perform a series of simulations in the Matlab environment were we evaluate how well the two approaches predict the output. In this evaluation we consider the complexity, the error and robustness of the algorithms. Finally we present our conclusion and explain why our algorithm is superior to the alternative.