- / -

Στην παρούσα μελέτη, αφού ολοκληρώσαμε τις ήδη ευρεθείσες από άλλους ερευνητές, οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, (δηλαδή τροχιών που είναι συμμετρικές ως προς το ισημερινό επίπεδο και το τέμνουν σε δυο σημεία), προχωρήσαμε ακόμη παραπέρα και για πρώτη φορά, υπολογίσαμε οικογένειες πολλαπλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, οι οποίες "διακλαδίζονται" από τις προηγούμενες, καθώς και οικογένειες ασύμμετρων περιοδικών τροχιών. Θα πρέπει ακόμη να σημειωθεί ότι υπολογίσαμε και τα ευσταθή τμήματα των οικογενειών αυτών, πράγμα που έχει ιδιαίτερη σημασία για τη μελέτη των ζωνών Van Allen. / -

- / -

- / -

Σκοπός της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων προβλημάτων διάχυσης απο ολοκληρωμένα κυκλώματα ASIC.Κυρίως επικεντρώνεται στην κατασκευή αλγορίθμων για την πλήρη αξιοποίηση των εγγενών χαρακτηριστικών της ASIC αρχιτεκτονικής. / The main subject of this work is the solution of partial non-linear differential equations from ASIC circuits.In order solution to be efficient new algorithms have to be created according to ASIC architecture special characterisitics.

Στην παρούσα διατριβή μελετώνται οι ρίζες της συνάρτησης Mν(z), στην περίπτωση όπου οι συναρτήσεις F(z) και G(z) είναι της μορφής: y(z) = Σ ynzn-1 αναλυτικές στον μοναδιαίο δίσκο και πληρούν τη συνθήκη: Σ |yn|2 < ∞, δηλ. ανήκουν στον χώρο Hardy-Lebesgue Η2 (Δ). / --

Η παρούσα εργασία αποτελεί μια ανασκόπηση των βασικότερων στοιχείων της θεωρίας της κλασματικής ανάλυσης, των γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης, καθώς και εφαρμογές αυτών. Η εργασία αυτή αποτελείται από τρία μέρη: Στο πρώτο μέρος αναφέρουμε ειδικές συναρτήσεις (Γάμμα συνάρτηση, Βήτα συνάρτηση και συνάρτηση Mittag – Leffler) που χρησιμοποιούνται στην κλασματική ανάλυση, καθώς και ιδιότητες αυτών. Επιπλέον, ορίζεται το κλασματικό ολοκλήρωμα, οι κλασματικές παράγωγοι Riemann – Liouville και Caputo καθώς και οι σειριακές (sequential) κλασματικές παράγωγοι και δίνονται ιδιότητες αυτών. Το δεύτερο μέρος περιλαμβάνει εισαγωγικά ιστορικά στοιχεία μελέτης των συνήθων διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης. Αναφέρεται το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης ενός προβλήματος αρχικών τιμών και δίνονται κάποιοι τρόποι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης με σταθερούς συντελεστές. Το τρίτο μέρος αφορά σε εφαρμογές των συνήθων διαφορικών εξισώσεων κλασματικής τάξης. Αρχικά, παραθέτουμε κάποιες εφαρμογές σε διάφορους κλάδους των επιστημών και προσεγγίζουμε τη γραμμική βισκοελαστικότητα διαμέσου της κλασματικής ανάλυσης. Στη συνέχεια πιο αναλυτικά με τη βοήθεια των κλασματικών διαφορικών εξισώσεων μελετάμε το πρόβλημα του Basset και ταλαντωτικές διαδικασίες με κλασματική απόσβεση. / This dissertation is a review of the fractional analysis theory for linear ordinary differential equations (ODE)of fractional order. The first part of our work is a review of some special functions (Gamma, Beta and Mittag - Leffler) which are used in the fractional analysis as well as their properties. We also define the fractional integral, the Riemann - Liouville and Caputo fractional derivatives, the sequential derivative of fractional order and their properties. In the second part, we introduce the basic theory of fractional order ODE's. We present the theorem of existence and uniqueness of the solution of an initial values problem and we give some algorithms for solving linear fractional order ODE's with constant coefficients. In the last part we present some applications of fractional order ODE's. Some of these are: viscoelasticity, Basset's problem and oscillatory processes of fractional damping.

- / -

Η παρούσα εργασία ασχολείται με μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων καθώς και λύσεων οδευόντων κυμάτων επί σειράς πολύ γνωστών μερικών διαφορικών εξισώσεων καθώς και με θεωρήματα μελέτης της ύπαρξης και της μοναδικότητας, ευστάθειας, ασυμπτωτικής συμπεριφοράς και μονοτονίας των ανωτέρω λύσεων. Θα περιοριστούμε σε μερικές ansatze μεθόδους εύρεσης κυματικών λύσεων, καθώς και στην ύπαρξη και μοναδικότητα ειδικών κατηγοριών κυματικών λύσεων. / --

Η κατά συμμετρίες ανάλυση είναι μια σύγχρονή και αποτελεσματική μέθοδος ανάλυσης του μαθηματικού πεδίου των Διαφορικών Εξισώσεων. Στα πλεονεκτήματα της, ο αλγοριθμικός τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε τις συμμετριες ενός συστήματος και η κατακευή λύσεων από αυτές. Όμως, όπως και κάθε άλλη μέθοδος έτσι και αυτή έχει τα μειονεκτήματα της, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση των συμμετρίων ενός συστήματος αυξάνεται εκθετικά σε σχέση με αυτό. Γεγονός που καθιστά τους υπολογισμούς αυτούς με το χέρι χρονοβόρους και επιρρεπής σε σφάλματα και συνεπώς την ανάγκη για την χρήση αξιόπιστων συμβολικών προγραμμάτων επιτακτική. Για τον σκοπό αυτό αναπτύξαμε το συμβολικό πακέτο Sym για το αλγεβρικό σύστημα Mathematica. Το συμβολικό αυτό πακέτο περιέχει στοιχεία τεχνικής νοημοσύνης και εξιδικευμένες συμβολικές μεθόδους. Στοιχεία που το καθιστούν ένα αποτελεσματικό και ευέλικτο μαθηματικό εργαλείο τόσο στον ερευνητικό τομέα όσο και στην εκπαίδευση. Το παρόν διδακτορικό χωρίζεται σε δύο μέρη, στο πρώτο παρουσιάζουμε τις βασικές έννοιες της κατα συμμετρίες ανάλυσης διαφορικών εξισώσεων και τους λόγους για τους οποίους η χρήση συμβολικών προγραμμάτων βρίσκει πρόσφορο έδαφος. Στο δεύτερο μέρος, παρουσιάζουμε το συμβολικό πακέτο Sym και δύο ερευνητικά αποτελέσματα της χρήσης του. Όσο αναφορά το ίδιο το πακέτο, δίνουμε τα βασικά του χαρακτηριστικά , τον τρόπο λειτουργίας του και τα οφέλη του σε σχέση με τα ήδη υπάρχοντα συμβολικά πακέτα για την εύρεση συμμετριών. Η χρηστικότητα του παρουσιάζεται μέσω δύο ερευνητικών αποτελεσμάτων. Στο πρώτο, εξετάζουμε ενα πρόβλημα από την περιοχή της Γενικής Σχετικότητας, την εύρεση βαρυτικών κυμάτων. Οι συμμετρίες των εξισώσεων πεδίου του Einstein για την μετρική του Bondi καθορίζονται μέσω του Sym και υποβιβάζουμε με αυτές την τάξη του μή γραμμικού συστήματος. Με υποθέσεις εργασίας πάνω στο σύστημα αυτό δίνουμε ειδικές λύσεις οι οποίες είχαν προκύψει παλίοτερα με άλλες μεθόδους. Τέλος, παρουσιάζουμε τις μελλοντικές μας κατευθύνσεις προς την καθορισμό νέων λύσεων με την σωστή φυσική συμπεριφορά που επιβάλει το πρόβλημα. Στο δεύτερο, δίνουμε μια προτότυπη διαδικασία κατηγοριοποίησης διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις ένοιες της πλήρους ομάδας συμετρίας και της αξιοσημείωτης κατά Lie διαφορικής εξίσωσης. Με βάση αυτή, επιτυγχάνουμε την συνθέση διαφορικών εξισώσεων κατασκευάζοντας έτσι καινούργιες οικογένεις διαφορικών εξισώσεων περιέχοντες τις αρχικές μας εξισώσεις. / The symmetry analysis is a modern and effective method of mathematical field of differential equations. On its advantages, the algorithmic way for determining the symmetries and constructing solutions. Like any other method it also has its disadvantages; the size and the complexity of the intermediate calculations needed for giving the symmetries is increased exponentially with respect to the equation under investigation. This fact renders the calculations unmanageable by hand and error prone. The need for reliable and fast symbolic tools is apparent. For this reason, we developed a symbolic package called Sym based on the Mathematica program. The package employing artificial intelligent elements and specialized symbolic methods is an effective and versatile mathematical tool ideal for research and education alike. The present thesis consists of two parts; on the first we present the basic notions of the mathematical theory and the reasons that symbolic tools can be utilized. On the second part, we present the symbolic package Sym itself along with two new result employing it. As for the package itself, we give the basic characteristics, its functionality and the benefits using it against the existing programs. Its usefulness is presented through two results. On the first, we study a problem from General Relativity, finding solutions describing gravity waves. The symmetries of the Einstein’s field equations for the radiating Bondi metric are determined from Sym. Using them we reduce the non-linear system. Using specific ansatzes we arrive to specific solutions already found using other methods. Finally, we present our future directions for finding new solutions with the correct physical behavior. On the second, we describe a new procedure for classifying differential equations using the notions of complete symmetry groups and Lie remarkability. Using this procedure we achieved by starting with a set of differential equation to construct a new family that includes the initial set. Future directions include finding a way to link the solutions of the newly constructed family with the solutions of the equations that we use for constructing it.