Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετά με το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για τη μη γραμμική εξελικτική μερική διαφορική εξίσωση των Korteweg-De Vries (KDV) σε ένα φραγμένο διάστημα της χωρικής μεταβλητής. Η μέθοδος που εφαρμόζουμε είναι γνωστή σαν μέθοδος του ενοποιημένου μετασχηματισμού. Η εφαρμογή της μεθόδου στο υπό θεώρηση ΠΑΣΤ συνίσταται στη λεγόμενη ταυτόχρονη φασματική ανάλυση του αντίστοιχου της εξίσωσης KDV ζεύγους Lax. Ένας βασικός ερευνητικός στόχος που επιτεύχθηκε στη συνεισφορά αυτή συνίσταται στην έκφραση, για μια αρκετά γενική κλάση αρχικών και συνοριακών συνθηκών, της λύσης του ΠΑΣΤ σαν μια ολοκληρωτική αναπαράσταση μέσω της λύσης ενός κατάλληλου προβλήματος Riemann-Hilbert (RH) στο μιγαδικό επίπεδο της φασματικής παραμέτρου. Μάλιστα, παρέχονται δύο εναλλακτικές ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις για καθένα από δύο εναλλακτικά προβλήματα RH. Ένα δεύτερος ερευνητικός στόχος ο οποίος επιτυγχάνεται είναι η ανάπτυξη μιας διαδικασίας αναγωγής του ιδιόμορφου προβλήματος RH σε ένα ολόμορφο. Ένας τρίτος, τέλος, ερευνητικός στόχος ο οποίος επιτυγχάνεται είναι ο χαρακτηρισμός της λεγόμενης γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann, η έκφραση, δηλαδή, των αγνώστων συνοριακών συναρτήσεων μέσω των επιβεβλημένων αρχικών και συνοριακών συνθηκών. Η διατριβή διαρθρώνεται σε επτά κεφάλαια, εκ των οποίων το πρώτο είναι εισαγωγικού χαρακτήρα, ενώ τα υπόλοιπα έξι αποτελούν το πρωτότυπο μέρος της διατριβής. Αναλυτικά, το περιεχόμενο καθενός κεφαλαίου έχει ως ακολούθως. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται, μεταξύ άλλων, το πρόβλημα RH, τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης για την KDV, τη μέθοδο της ένδυσης για την KDV και τη μέθοδο της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης του ζεύγους Lax. Στο κεφάλαιο 2 ξεκινάμε την εφαρμογή της μεθόδου στο υπό θεώρηση ΠΑΣΤ υποθέτοντας ότι η KDV επιδέχεται λύση στην αντίστοιχη χωροχρονική περιοχή. Η αντίστοιχη της περιοχής αυτής ταυτόχρονη φασματική ανάλυση του ζεύγους Lax οδηγεί στη διατύπωση ενός ιδιόμορφου ομογενούς προβλήματος RH. Αυτό ορίζεται μέσω μιας εξάδας φασματικών συναρτήσεων. Οι τελευταίες εκφράζονται μέσω των αρχικών τιμών της λύσης και των συνοριακών τιμών και εγκαρσίων συνοριακών της μέχρι και δεύτερης τάξης. Στο κεφάλαιο 3 ορίζουμε τις 6 φασματικές συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις αρχικές και συνοριακές συνθήκες και δείχνουμε ότι η αντιστροφή των απεικονίσεων αυτών περιγράφεται μέσω καταλλήλων προβλημάτων RH. Δείχνουμε επίσης ότι ικανοποιείται μια εξίσωση που ονομάζεται ολική σχέση και χαρακτηρίζει τα αποδεκτά σύνολα αρχικών και συνοριακών συναρτήσεων. Στο κεφάλαιο 4 δείχνουμε ότι η ασυμπτωματική συμπεριφορά της λύσης του προβλήματος RH οδηγεί πράγματι σε μια λύση του ΠΑΣΤ. Στο κεφάλαιο 5 μελετάμε τη μονοσήμαντη επιλυσιμότητα του προβλήματος RH. Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζουμε έναν εναλλακτικό τρόπο διατύπωσης προβλήματος RH, αντικαθιστώντας του πόλους με καμπύλες ασυνέχειας. Στο κεφάλαιο 7 χρησιμοποιούμε την ολική σχέση για την κατασκευή της γενικευμένης απεικόνισης Dirichlet-to-Neumann, για το χαρακτηρισμό δηλαδή των αγνώστων συνοριακών συναρτήσεων (που εμφανίζονται στο πρόβλημα RH) μέσω των επιβεβλημένων αρχικών και συνοριακών συνθηκών. / In the present PhD thesis we study the initial-boundary value problem for the nonlinear evolution partial diefferential equation of Korteweg-De Vries (KDV) posed on a finite interval of the spatial variable. The method we employ is known as unified transform method. The application of the method on the IBVP under consideration consists of the so-called simultaneous spectral analysis of the Lax pair associated to the KDV equation. The first aim achieved in this contribution, is the expression of the solution of the IBVP as an integral representation in terms of the solution an appropriate Riemann-Hilbert (RH) problem in the complex plane of the spectral parameter, for a sufficiently large class of initial and boundary conditions. In particular, we provide two different integral representations for each one of two different RH problems. A second aim achieved is the invention of a procedure for the reduction of the singular RH problem to a regular one. A third aim achieved is the caracterization of the so-called generalized Dirichlet-to_Neumann map, that is, the expression of the unknown boundary functions in terms of the prescribed initial and boundary conditions. The Phd thesis is divided in 7 chapters. The first chapter is of an introductory character, while the remaining six chapters consist of the original contribution of the thesis. Analytically, the content of each chapter has as follows. The first chapter presents, among other things, the RH problem, the inverse scattering method for KDV, the dressing method for KDV and the method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair. Chapter 2 presents the first step of the application of the method upon the IBVP, under the assumption thet KDV is solvable in the corresponding space-time region. The simultaneous spectral analysis of the Lax pair leads to the formulation of a singular homogenous RH factorization problem, which is defined in terms of six spectral functions. The last ones are expressed in terms of the initial and boundary values of the solution and of its transverse boundary derivatives up to order two. In chapter 3 we define the six spectral functions that correspond to the initial and boundary conditions and show that the inversion of these mappings can be described through appropriate RH problems. Also an appropriate “global relation” is satisfied, which characterizes the admissible initial and boundary functions. In chapter 4 we show that the asymptotic behavior of the solution of the RH problem leads actually to a solution of the IBVP. In chapter 5 we study the unique solvability of the RH problem. In chapter 6 we present an alternative RH formulation, replacing the poles by discontinuity curves. In chapter 7 we present the global relation to construct the generalized Dirichlet-to-Neumann map, that is, the expression of the unknown boundary functions (appearing in the RH formulation) in terms of the prescribed initial and boundary conditions.

Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η μελέτη μιας οικογένειας εξισώσεων διαφορών (ή διακριτών εξισώσεων) χρησιμοποιώντας μεθόδους συμμετριών. Τέτοιες μέθοδοι είναι καλά θεμελιωμένες για την μελέτη και κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων. Στόχος είναι η χρήση συμμετριών για τη σύνδεση διαφορικών και διακριτών εξισώσεων, καθώς και η κατασκευή λύσεων των τελευταίων από συμμετρικές λύσεις των πρώτων. Συγκεκριμένα, μελετάμε διακριτές εξισώσεις που είναι αφινικά γραμμικές, έχουν τις συμμετρίες του τετραγώνου και εμπλέκουν τέσσερεις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης δύο ακέραιων μεταβλητών, οι οποίες σχηματιζούν ένα στοιχειώδες τετράπλευρο στο επίπεδο των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η διεξοδική μελέτη αυτής της οικογένειας οδηγεί στην κατασκευή ενός νόμου διατήρησης καθώς και σε συνθήκες γραμμικοποιήσης. Μέλη αυτής της οικογένειας είναι και οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις της ταξινόμησης των Adler, Bobenko, Suris (ABS). Η ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων ABS προκύπτει από την πολυδιάστατη συμβατότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να επεκταθούν κατάλληλα σε εξισώσεις πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ιδιότητα αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε άμεσα έναν αυτομεταχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax χρησιμοποιώντας τις ίδιες τις εξισώσεις, στοιχεία που αποτελούν άλλη μια ένδειξη της ολοκληρωσιμότητάς τους. Η εξάρτηση των εξισώσεων ABS από δύο συνεχείς παραμέτρους μας επιτρέπει να μελετήσουμε επιπλέον και τις επεκταμένες συμμετρίες τους, δηλαδή τις συμμετρίες που δρουν και στις παραμέτρους. Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν το βασικό εργαλείο για τη σύνδεσή τους με ολοκληρώσιμα συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Την ολοκληρωσιμότητα αυτών των συμβατών διαφορικών συστημάτων την αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax. Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε λύσεις των διακριτών εξισώσεων από λύσεις του συμβατού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνδέονται με λύσεις των συνεχών εξισώσεων Painlevé. Από την άλλη, παρουσιάζεται η σύνδεση αυτών των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με τις γεννήτριες εξισώσεις. Οι τελευταίες παρουσιάστηκαν αρχικά από τους Nijhoff, Hone, Joshi χρησιμοποιώντας άλλη προσέγγιση. Ωστόσο, η προσέγγιση μέσω συμμετρικών αναγωγών που παρουσιάζουμε εδώ είναι πιο άμεση και οδηγεί στα ίδια συμπεράσματα. Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια καινοτομική χρήση των συμμετριών των διακριτών εξισώσεων για την κατασκευή λύσεων, αλλά και την σύνδεσή τους με συστήματα διαφορικών εξισώσεων. / In the present dissertation, we present the study of a family of discrete equations using symmetry-based techniques. Such methods are well established for the study of differential equations. We use the symmetries of discrete equations to establish new connections between discrete and differential equations, as well as to construct new solutions of the former in terms of similarity solutions of the latter. Specifically, we study discrete equations which are affine linear, possess the symmetries of the square and involve four values of an unknown function of two independent discrete variables forming a quadrilateral. The extensive study of this class leads to a conservation law, as well as to linearization conditions. Members of this family are the integrable equations of the Adler, Bobenko, Suris (ABS) classification. The integrability of the ABS equations follows from their multidimensional consistency. The latter implies that, the equation may be extended in a multidimensional lattice. This property allows us to derive directly an auto– Bäcklund transformation and a Lax pair, using the function defining these equations. These are another evidence of the integrability of the ABS equations. The dependence of these equations on two continuous parameters permits us to study their extended symmetries, i.e. symmetries acting on the parameters as well. These symmetries are our main tool in connecting the ABS equations to integrable systems of differential equations. The integrability of the latter is proved by the construction of an auto–Bäcklund transformation and a Lax pair. This connection provides us the means to construct solutions of the discrete equations from solutions of the compatible differential system, which are related to solutions of the continuous Painlevé equations. On the other hand, we present how these systems lead naturally to generating differential equations, which were presented by Nijhoff, Hone and Joshi starting from another point of view. However, our construction through symmetry reductions is more straightforward. Thus, in the present thesis is presented a novel usage of the symmetries of discrete equations in the construction of solutions and the connection between discrete and differential equations.

Όπως φαίνεται και από τον τίτλο της, ο σκοπός της Διπλωματικής αυτής Εργασίας είναι διπλός. Αφ’ ενός διαπραγματεύεται ένα κλασικό μαθηματικό πρόβλημα, το πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH), που παρουσιάζεται και επιλύεται σε μια σειρά περιπτώσεων. Αφ’ ετέρου παρουσιάζεται η εφαρμογή του προβλήματος αυτού στη μελέτη προβλημάτων αρχικών ή αρχικών-συνοριακών τιμών για γραμμικές και μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Η εργασία διαρθρώνεται σε τεσσερα (4) κεφάλαια. Ακριβέστερα, η δομή των κεφαλαίων είναι η ακόλουθη. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της εργασίας και περιέχει, εκτός από μια εποπτική παρουσίαση του προβλήματος, μια σύντομη ιστορική αναδρομή καθώς και παράθεση των εφαρμογών του προβλήματος. Το δεύτερο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Ολοκληρώματα τύπου Cauchy’ και είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση του αναγκαίου υποβάθρου, με σκοπό να είναι η ακόλουθη παρουσίαση αυτάρκης. Τα θέματα που διαπραγματεύεται είναι: Oλοκληρώματα τύπου Cauchy, συναρτήσεις τύπου Hölder, ολοκληρώματα κύριας τιμής του Cauchy, θεώρημα των Plemelj-Sokhotski, ολοκληρωτικός τελεστής του Cauchy, ολοκληρώματα τύπου Cauchy στην πραγματική ευθεία. Το τρίτο κεφάλαιο, ‘Το πρόβλημα Riemann-Hilbert’, παρουσιάζει το πρόβλημα καθώς και την επίλυσή του σε μια σειρά περιπτώσεων. Στην πιο απλή διατύπωσή του, το πρόβλημα ζητά τον προσδιορισμό μιας τμηματικά ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής η οποία παρουσιάζει δοσμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επιπέδου. Εστιαζόμαστε αποκλειστικά σε βαθμωτά προβλήματα. Επίσης, εργαζόμαστε με συνοριακές καμπύλες που έχουν την ιδιότητα να χωρίζουν το μιγαδικό επίπεδο σε δύο τμήματα: κλειστές καμπύλες, καθώς και την πραγματική ευθεία. Ειδικότερα, αναλύονται τα ακόλουθα προβλήματα: (i) Πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH) για κλειστές καμπύλες: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. (ii) Πρόβλημα RH επί της πραγματικής ευθείας: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. Το τέταρτο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Προβλήματα Αρχικών-Συνοριακών Τιμών για Γραμμικές και μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις’. Εδώ διαπραγματευόμαστε μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ), τόσο γραμμικές όσο και μη γραμμικές, που έχουν την ιδιότητα να διαθέτουν ζεύγος Lax (Lax pair formulation): Aυτό σημαίνει ότι κάθε μία από αυτές τις ΜΔΕ μπορεί να γραφεί σαν η συνθήκη συμβατότητας (ολοκληρωσιμότητας) ενός ζεύγους γραμμικών ΜΔΕ, που περιέχει και μια ελεύθερη μιγαδική παράμετρο (φασματική παράμετρος). Τέτοιες ΜΔΕ χαρακτηρίζονται και σαν ολοκληρώσιμες (integrable) με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method). Η τελευταία αποτελεί μια μέθοδο επίλυσης του προβλήματος αρχικών τιμών, ή Cauchy, για εξελικτικές ΜΔΕ αυτού του είδους. Η νεότερη μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού (unified transform method), ή της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης (simultaneous spectral analysis) του ζεύγους Lax, γενικεύει την προηγούμενη μέθοδο με τρόπο που να μπορεί να εφαρμοστεί και σε προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών τέτοιων ΜΔΕ (και όχι μόνο). Στο κεφάλαιο αυτό της εργασίας μελετιούνται τα ακόλουθα προβλήματα. (i). Το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για τη (γραμμική) ΜΔΕ της διάχυσης (ή θερμότητας) (heat (or diffusion) equation). Εδώ παρουσιάζεται η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης στην απλούστερή της μορφή. (ii). Ένα αρκετά γενικό φασματικό πρόβλημα, που μπορεί να αποτελέσει το χωρικό μέρος του ζευγαριού Lax για μια πλειάδα μη γραμμικών ΜΔΕ. Στη συνέχεια, η προσοχή μας εστιάζεται στο λεγόμενο φασματικό πρόβλημα των Zakharov-Shabat. Σαν εφαρμογή, μελετάται το ΠΑΤ για τη μη γραμμική Εξίσωση Schrodinger (Nonlinear Schrodinger, NLS). (iii). Το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της διάχυσης ορισμένη στην ημιευθεία της χωρικής μεταβλητής. Εδώ περιγράφεται η μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού στην απλούστερή της μορφή, εφαρμοζόμενη δηλαδή σε ένα γραμμικό πρόβλημα. H εργασία καταλήγει με την παράθεση της βιβλιογραφίας, σύμφωνα με τις αναφορές που προκύπτουν από το κείμενο. / As it is shown in its title, the purpose of this M.Sc.thesis is twofold. First, we discuss a classical mathematical problem, called the Riemann-Hilbert problem. This problem is presented and solved in a series of cases. Afterwards, we present the applications of this problem to the study of initial value problems and initial-boundary value problems for linear and nonlinear partial differential equations. The thesis is organized in four (4) chapters. More accurately, the structure of the four chapters is as follows. The first chapter constitutes of the Introduction to the thesis. It contains the presentation of the problem, a short historical retrospection of the problem, as well as a list of applications of the problem. The second chapter, entitled “Cauchy Type Integrals”, is dedicated to the presentation of the necessary background, so as to make the following presentation self-contained. The topics negotiated are: Cauchy type integrals, Hölder type functions, Cauchy principal value integrals, the Plemelj-Sokhotski theorem, the Cauchy integral operator, Cauchy type integrals on the real line. The third chapter, “The Riemann-Hilbert Problem”, presents the problem, as well s its solution, in a series of cases. The problem’s simplest formulation seeks for a sectionally holomorphic, complex valued function of a single complex variable, which undergoes a given (predetermined) jump along a given curve of the complex plane. We focus our attention exclusively on scalar Riemann-Hilbert problems. We work exclusively with discontinuity curves that have the property to divide the complex plane into two sections, and, in particular, with closed curves, as well as with the real line. In particular, we analyse the following problems: (i). The Riemann-Hilbert (RH) problem for closed curves: (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. (ii). RH problem on the real line. (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. The fourth chapter is entitled “Initial-Boundary Value Problems for Linear and Nonlinear Partial Differential Equations”. Here we negotiate with patial differential equations (PDE), linear as well as nolinear, which have the distinguishing property of possessing a so-called Lax pair formulation. By this we mean that, any of these PDEs is equivalent to the compatibility (integrability) condition of a proper pair of linear differential equations, the so-called Lax pair, that also contains a free complex parameter, termed to the spectral parameter. Such PDEs are also characterized as integrable by the inverse scattering method. The last method, also called the inverse spectral method, is a method for solving the initial value problem, or Cauchy problem, for evolutionary PDEs of this kind. The new method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair, also called the unified transform method, generalizes the previous one in a manner that renders it applicable also to initial-boundary value problems for such PDEs. In this, fourth, chapter we study the following problems: (i). The initial value problem for the (linear) heat (or diffusion) equation. Here is presented the inverse scattering method in its simplest form. (ii). An adequately general spectral problem, which may constitute the spatial part of the Lax pair for many integrable nonlinear PDEs. We afterwards focus our attention to a specific case of this problem, the so-called Zakharov-Shabat spectral problem. As an application, we study the initial value problem for the so-called Nonlinear Schrodinger (NLS) equation. (iii). The initial-boundary value problem for the heat (or diffusion) equation posed on a semi-infinite interval of the spatial variable. Here we present the unified transform method in its simplest form, i.e., applied on a linear problem. The thesis terminates with the presentation of the bibliography, in accordance with the references that appear in the text.

The main concern of this Dissertation is focused on the derivation of novel integral formulation for simple problems. This alternative integral representations display a rapid decay as the complex parameter involved tends to infinity and are therefore suitable for numerical computations and for the study of the asymptotic properties of those solutions. There is also another important advantage attached to the novel formulae presented. These integral representations are useful for solving changing-type boundary value problems (such as Dirichlet data on part of the boundary and Neumann data on the complementary of the boundary). The following problems are analyzed: (a) The Laplacian operator in the interior of a Square, (b) the Laplacian operator in the interior and exterior of a Sphere and, (c) the Stokes' operator concerning the irrotational flow of an incompressible, viscous fluid. Moreover, the behaviour of the Gegenbauer functions of the first and second kind of general complex degree and order on the cut (-1, +1) are examined. / Με οδηγό μια νέα μεθοδολογία επίλυσης Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ), προβλήματα που σχετίζονται με την θεωρία Δυναμικού όπως επίσης και με την ροή Stokes, θα αναλυθούν. Απώτερος σκοπός αποτελεί η ανάπτυξη ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων, η οποίες χαρακτηρίζονται από ταχεία σύγκλιση, με σκοπό να χρησιμοποιηθούν στην ασυμπτωτική μελέτη, στην αριθμητική ανάλυση όπως επίσης και στην επίλυση προβλημάτων μεικτών συνοριακών συνθηκών (π.χ. δεδομένα Dirichlet στο ένα κομμάτι του συνόρου και δεδομένα Neumann στο υπόλοιπο). Συγκεκριμένα, τα ακόλουθα προβλήματα αναλύονται: (α) Εξίσωση Laplace στο εσωτερικό ενός τετραγώνου, (β) εξίσωση Laplace στο εσωτερικό και εξωτερικό μιας σφαίρας και, (γ) εξίσωση αστρόβιλης ροής Stokes στο εσωτερικό ενός σφαιρικού κελύφους το οποίο στην συνέχεια καταλήγει, με οριακές διαδικασίες, στο εσωτερικό και εξωτερικό μιας σφαίρας. Τέλος, παρουσιάζονται αναπτύγματα και ασυμπτωτικές εκφράσεις των συναρτήσεων Gegenbauer.