Σε αυτήν την διπλωματική εργασία μελετήσαμε το σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας και στάθμης νερού σε δεξαμενή. Αρχικά αναφέρουμε γενικά στοιχεία θεωρίας σχετικά με τον σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου στον χώρο κατάστασης και πιο συγκεκριμένα αναλύουμε την μέθοδο ελέγχου με βάση την αυθαίρετη τοποθέτηση πόλων. Στην συνέχεια ασχολούμαστε μεμονωμένα με τον έλεγχο στάθμης νερού σε δεξαμενή. Περιγράφουμε το φυσικό σύστημα και την μονάδα ελέγχου την οποί α χρησιμοποιήσαμε στον χώρο του εργαστηρίου. Έπειτα από μια σειρά πειραμάτων τα οποία εκτελέσαμε και με βάση τις μετρήσεις τις οποίες πήραμε ,μπορέσαμε να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά των επιμέρους ηλεκτρομηχανολογικών στοιχείων της πειραματικής μας διάταξης, όπως για παράδειγμα της αντλίας νερού, της μονάδας μέτρησης της στάθμης ,καθώς και τα χαρακτηριστικά της στατικής διεργασίας. Ομοίως πράξαμε και για τον έλεγχο θερμοκρασίας νερού σε δεξαμενή και έτσι μπορέσαμε να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά του στοιχείου θέρμανσης. Στην συνέχεια, δίνουμε την περιγραφή του ολικού συστήματος ελέγχου στάθμης και θερμοκρασίας νερού σε δεξαμενή. Αφού εξάγουμε τις μαθηματικές εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν το σύστημα στην μόνιμη κατάσταση, συμπεραίνουμε πως το σύστημα είναι μη γραμμικό. Σχεδιάζουμε το μη γραμμικό σύστημα στο Simulink και γράφοντας κατάλληλο κώδικα στο Matlab μπορέσαμε να γραμμικοποιήσουμε το σύστημά μας γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο λειτουργίας και το διακριτοποιήσαμε. Έπειτα, πάλι με την βοήθεια του λογισμικού προγράμματος Matlab σχεδιάσαμε έναν ελεγκτή με την μέθοδο τοποθέτησης πόλων και τον εφαρμόσαμε στο μη γραμμικό σύστημα για διάφορες τιμές πόλων και εξάγαμε τα συμπεράσματά μας από τα αντίστοιχα διαγράμματα όσων φορά την καλύτερη απόκριση του συστήματος. Την ίδια διαδικασία με παραπάνω εφαρμόσαμε και για ένα διαφορετικό σημείο λειτουργίας του συστήματος. / -

Όπως φαίνεται και από τον τίτλο της, ο σκοπός της Διπλωματικής αυτής Εργασίας είναι διπλός. Αφ’ ενός διαπραγματεύεται ένα κλασικό μαθηματικό πρόβλημα, το πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH), που παρουσιάζεται και επιλύεται σε μια σειρά περιπτώσεων. Αφ’ ετέρου παρουσιάζεται η εφαρμογή του προβλήματος αυτού στη μελέτη προβλημάτων αρχικών ή αρχικών-συνοριακών τιμών για γραμμικές και μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Η εργασία διαρθρώνεται σε τεσσερα (4) κεφάλαια. Ακριβέστερα, η δομή των κεφαλαίων είναι η ακόλουθη. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της εργασίας και περιέχει, εκτός από μια εποπτική παρουσίαση του προβλήματος, μια σύντομη ιστορική αναδρομή καθώς και παράθεση των εφαρμογών του προβλήματος. Το δεύτερο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Ολοκληρώματα τύπου Cauchy’ και είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση του αναγκαίου υποβάθρου, με σκοπό να είναι η ακόλουθη παρουσίαση αυτάρκης. Τα θέματα που διαπραγματεύεται είναι: Oλοκληρώματα τύπου Cauchy, συναρτήσεις τύπου Hölder, ολοκληρώματα κύριας τιμής του Cauchy, θεώρημα των Plemelj-Sokhotski, ολοκληρωτικός τελεστής του Cauchy, ολοκληρώματα τύπου Cauchy στην πραγματική ευθεία. Το τρίτο κεφάλαιο, ‘Το πρόβλημα Riemann-Hilbert’, παρουσιάζει το πρόβλημα καθώς και την επίλυσή του σε μια σειρά περιπτώσεων. Στην πιο απλή διατύπωσή του, το πρόβλημα ζητά τον προσδιορισμό μιας τμηματικά ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής η οποία παρουσιάζει δοσμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επιπέδου. Εστιαζόμαστε αποκλειστικά σε βαθμωτά προβλήματα. Επίσης, εργαζόμαστε με συνοριακές καμπύλες που έχουν την ιδιότητα να χωρίζουν το μιγαδικό επίπεδο σε δύο τμήματα: κλειστές καμπύλες, καθώς και την πραγματική ευθεία. Ειδικότερα, αναλύονται τα ακόλουθα προβλήματα: (i) Πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH) για κλειστές καμπύλες: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. (ii) Πρόβλημα RH επί της πραγματικής ευθείας: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. Το τέταρτο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Προβλήματα Αρχικών-Συνοριακών Τιμών για Γραμμικές και μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις’. Εδώ διαπραγματευόμαστε μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ), τόσο γραμμικές όσο και μη γραμμικές, που έχουν την ιδιότητα να διαθέτουν ζεύγος Lax (Lax pair formulation): Aυτό σημαίνει ότι κάθε μία από αυτές τις ΜΔΕ μπορεί να γραφεί σαν η συνθήκη συμβατότητας (ολοκληρωσιμότητας) ενός ζεύγους γραμμικών ΜΔΕ, που περιέχει και μια ελεύθερη μιγαδική παράμετρο (φασματική παράμετρος). Τέτοιες ΜΔΕ χαρακτηρίζονται και σαν ολοκληρώσιμες (integrable) με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method). Η τελευταία αποτελεί μια μέθοδο επίλυσης του προβλήματος αρχικών τιμών, ή Cauchy, για εξελικτικές ΜΔΕ αυτού του είδους. Η νεότερη μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού (unified transform method), ή της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης (simultaneous spectral analysis) του ζεύγους Lax, γενικεύει την προηγούμενη μέθοδο με τρόπο που να μπορεί να εφαρμοστεί και σε προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών τέτοιων ΜΔΕ (και όχι μόνο). Στο κεφάλαιο αυτό της εργασίας μελετιούνται τα ακόλουθα προβλήματα. (i). Το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για τη (γραμμική) ΜΔΕ της διάχυσης (ή θερμότητας) (heat (or diffusion) equation). Εδώ παρουσιάζεται η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης στην απλούστερή της μορφή. (ii). Ένα αρκετά γενικό φασματικό πρόβλημα, που μπορεί να αποτελέσει το χωρικό μέρος του ζευγαριού Lax για μια πλειάδα μη γραμμικών ΜΔΕ. Στη συνέχεια, η προσοχή μας εστιάζεται στο λεγόμενο φασματικό πρόβλημα των Zakharov-Shabat. Σαν εφαρμογή, μελετάται το ΠΑΤ για τη μη γραμμική Εξίσωση Schrodinger (Nonlinear Schrodinger, NLS). (iii). Το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της διάχυσης ορισμένη στην ημιευθεία της χωρικής μεταβλητής. Εδώ περιγράφεται η μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού στην απλούστερή της μορφή, εφαρμοζόμενη δηλαδή σε ένα γραμμικό πρόβλημα. H εργασία καταλήγει με την παράθεση της βιβλιογραφίας, σύμφωνα με τις αναφορές που προκύπτουν από το κείμενο. / As it is shown in its title, the purpose of this M.Sc.thesis is twofold. First, we discuss a classical mathematical problem, called the Riemann-Hilbert problem. This problem is presented and solved in a series of cases. Afterwards, we present the applications of this problem to the study of initial value problems and initial-boundary value problems for linear and nonlinear partial differential equations. The thesis is organized in four (4) chapters. More accurately, the structure of the four chapters is as follows. The first chapter constitutes of the Introduction to the thesis. It contains the presentation of the problem, a short historical retrospection of the problem, as well as a list of applications of the problem. The second chapter, entitled “Cauchy Type Integrals”, is dedicated to the presentation of the necessary background, so as to make the following presentation self-contained. The topics negotiated are: Cauchy type integrals, Hölder type functions, Cauchy principal value integrals, the Plemelj-Sokhotski theorem, the Cauchy integral operator, Cauchy type integrals on the real line. The third chapter, “The Riemann-Hilbert Problem”, presents the problem, as well s its solution, in a series of cases. The problem’s simplest formulation seeks for a sectionally holomorphic, complex valued function of a single complex variable, which undergoes a given (predetermined) jump along a given curve of the complex plane. We focus our attention exclusively on scalar Riemann-Hilbert problems. We work exclusively with discontinuity curves that have the property to divide the complex plane into two sections, and, in particular, with closed curves, as well as with the real line. In particular, we analyse the following problems: (i). The Riemann-Hilbert (RH) problem for closed curves: (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. (ii). RH problem on the real line. (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. The fourth chapter is entitled “Initial-Boundary Value Problems for Linear and Nonlinear Partial Differential Equations”. Here we negotiate with patial differential equations (PDE), linear as well as nolinear, which have the distinguishing property of possessing a so-called Lax pair formulation. By this we mean that, any of these PDEs is equivalent to the compatibility (integrability) condition of a proper pair of linear differential equations, the so-called Lax pair, that also contains a free complex parameter, termed to the spectral parameter. Such PDEs are also characterized as integrable by the inverse scattering method. The last method, also called the inverse spectral method, is a method for solving the initial value problem, or Cauchy problem, for evolutionary PDEs of this kind. The new method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair, also called the unified transform method, generalizes the previous one in a manner that renders it applicable also to initial-boundary value problems for such PDEs. In this, fourth, chapter we study the following problems: (i). The initial value problem for the (linear) heat (or diffusion) equation. Here is presented the inverse scattering method in its simplest form. (ii). An adequately general spectral problem, which may constitute the spatial part of the Lax pair for many integrable nonlinear PDEs. We afterwards focus our attention to a specific case of this problem, the so-called Zakharov-Shabat spectral problem. As an application, we study the initial value problem for the so-called Nonlinear Schrodinger (NLS) equation. (iii). The initial-boundary value problem for the heat (or diffusion) equation posed on a semi-infinite interval of the spatial variable. Here we present the unified transform method in its simplest form, i.e., applied on a linear problem. The thesis terminates with the presentation of the bibliography, in accordance with the references that appear in the text.