No description available.

This thesis consists of two parts. In the first part, we define stochastic integrals w.r.t. the compensated Poisson random measures in a martingale type p, 1 ≤ p ≤ 2 Banach space and establish a certain continuity, in substitution of the Ita isometry property, for the stochastic integrals .. A version of Ita formula, as a generalization of the case studies in Ikecla and Watanabe [40], is derived. This Itô formula enables us to treat certain Levy processes without Gaussion components. Moreover, using ideas in [63] a version of stochastic Fubini theorem for stochastic integrals W.r. t. compensated Poisson random measures in martingale type spaces is established. In addition, if we assume that E is a martingale type p Banach space with the q-th, q ≥ p, power of the norm in C2-class, then we prove a maximal inequality for a cadlag modification u of the stochastic convolution w.r.t. the compensated Poisson random measures of a contraction Co-semigroups. The second part of this thesis is concerned with the existence and uniqueness of global mild solutions for stochastic beam equations w.r.t. the compensated Poisson random measures. In view of Khas'minskii's test for nonexplosions, the Lyapunov function technique is used via the Yosida approximation approach. Moreover, the asymptotic stability of the zero solution is proved and the Markov property of the solution is verified.

Ενώ η πραγματική ανάλυση φαίνεται να έχει προβάδισμα όσο αφορά στον τρόπο επίλυσης των περισσότερων προβλημάτων λογισμού που διδάσκονται τόσο σε σχολικό όσο και σε πανεπιστημιακό επίπεδο, η πραγματικότητα είναι διαφορετική. Ουσιαστικά, ελάχιστα προβλήματα της εφαρμοσμένης ανάλυσης λύνονται αναλυτικά, καθώς οι λύσεις που προκύπτουν είναι συχνά υπό μορφή ολοκληρωμάτων που δεν υπολογίζονται στοιχειωδώς. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται προσπάθεια αντιμετώπισης κάποιων ολοκληρωμάτων με τεχνικές της ασυμπτωτικής ανάλυσης. Αφότου αποσαφηνιστούν κάποιες βασικές έννοιες της ασυμπτωτικής ανάλυσης, παρουσιάζονται πέντε μέθοδοι υπολογισμού ολοκληρωμάτων μέσω ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων. Το σύνολο τους, καλύπτει ένα αρκετά ευρύ φάσμα ανάλυσης και υπολογισμού τέτοιου τύπου ολοκληρωμάτων και η κάθε μια από αυτές, εξιδεικεύεται σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, ανάλογα με το χώρο στον οποίο ανήκουν οι υπό ολοκλήρωση συναρτήσεις καθώς και το πεδίο ολοκλήρωσης. / -

Ορισμός αναλλοίωτου ολοκληρώματος σε τοπολογικές ομάδες, η χρησιμότητα αυτού στη θεωρία αναπαραστάσεων ομάδων και η καθοριστική συμβολή αυτής της χρησιμότητας στο θεώρημα δυϊσμού του Pontryagin. / -

No description available.

Στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας μελετήθηκε μια κατηγορία αλγορίθμων διόρθωσης λαθών που προκύπτουν κατά τη μετάδοση δεδομένων μέσα από ένα ασύρματο τηλεπικοινωνιακό κανάλι. Η μετάδοση των δεδομένων έγινε χρησιμοποιώντας τις διαμορφώσεις BPSK, QPSK, 16 – QAM και 64 – QAM. Η μελέτη επικεντρώθηκε στην περίπτωση της συνελικτικής κωδικοποίησης δεδομένων. Για την υλοποίηση του αποκωδικοποιητή (decoder) μελετήθηκαν συγκριτικά οι αλγόριθμοι Viterbi και SOVA καθώς και οι αντίστοιχες αρχιτεκτονικές υλοποίησης τους σε υλικό, ως προς την πολυπλοκότητα, την κατανάλωση και την ταχύτητά τους για συγκεκριμένη ικανότητα διόρθωσης λαθών που μετράται ως μείωση του BER. Επίσης, μελετήθηκαν τέσσερεις διαφορετικοί τρόποι αποδιαμόρφωσης και αποκωδικοποίησης των δεδομένων για διαμορφώσεις QAM βασισμένοι στον αλγόριθμο Viterbi. Η μεθοδολογία της διπλωματικής περιέλαβε την υλοποίηση ενός πλήρους μοντέλου τηλεπικοινωνιακού συστήματος με μη ιδανικό κανάλι, AWGN, στο οποίο προστέθηκαν μηχανισμοί διόρθωσης λάθους. Η μελέτη έλαβε υπόψη τον κβαντισμό στο δέκτη στην αναπαράσταση δεδομένων καθώς και στα ενδιάμεσα αποτελέσματα. Αξιολογήθηκαν τρόποι κβαντισμού συναρτήσει παραμέτρων του καναλιού, και εντοπίστηκαν τα ελάχιστα αναγκαία μήκη λέξης για την υλοποίηση των αλγορίθμων του δέκτη, λαμβάνοντας υπόψη το trade-off μεταξύ απόδοσης και κόστους υλοποίησης σε υλικό. Με τη χρήση bit-true εξομοιώσεων μελετήθηκαν τρόποι ελαχιστοποίησης της δυναμικής περιοχής που απαιτείται για την αναπαράσταση των ενδιάμεσων μετρικών. Σε κάθε περίπτωση αναλύθηκε η απόδοση των αλγορίθμων με βάση το ποσοστό των λαθών στο δέκτη (BER) ενώ συνεκτιμήθηκε η πολυπλοκότητα της αντίστοιχης υλοποίησης VLSI. / This thesis focuses on a class of algorithms for the correction of errors due of the transmission of data through a wireless telecommunications channel. The modulations employed are BPSK, QPSK, 16-QAM and 64-QAM. The study focuses on convolutional coding. The performance of solutions based on Viterbi and SOVA algorithms are comparatively studied, as well as the corresponding hardware architectures, in terms of the complexity, consumption and speed, while specifications are set in terms of error correction capability, measured in BER. Also, four different ways of combined demodulation and decoding of QAM data are studied based on the Viterbi algorithm. The methodology assumed in this thesis includes the realization of a complete telecommunications system model assuming an additive white gaussian noise channel, AWGN, in which mechanisms of error correction are added. The study takes into consideration the quantization effects in the receiver and in all the intermediary operations of algorithms. It has been found that the ideal quantizer for the receiver is related to channel parameters. In addition the shortest necessary word lengths were identified taking into consideration trade off between output and hardware realization cost. By means of bit-true simulations, ways of minimization of dynamic region, required for the representation intermediary metrics were studied. In every case the performance of algorithms is analyzed in terms of BER, as well as computational cost and impact on VLSI realization.

In this thesis we shall examine the role of measurerability in the theory of Lebesgue Integration. This shall be done in the context of the real line where we define the notion of an integral of a bounded real-valued function over a set of bounded outer measure without a prior assumption of measurability concerning the function and the domain of integration. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)

Όπως φαίνεται και από τον τίτλο της, ο σκοπός της Διπλωματικής αυτής Εργασίας είναι διπλός. Αφ’ ενός διαπραγματεύεται ένα κλασικό μαθηματικό πρόβλημα, το πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH), που παρουσιάζεται και επιλύεται σε μια σειρά περιπτώσεων. Αφ’ ετέρου παρουσιάζεται η εφαρμογή του προβλήματος αυτού στη μελέτη προβλημάτων αρχικών ή αρχικών-συνοριακών τιμών για γραμμικές και μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Η εργασία διαρθρώνεται σε τεσσερα (4) κεφάλαια. Ακριβέστερα, η δομή των κεφαλαίων είναι η ακόλουθη. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί την εισαγωγή της εργασίας και περιέχει, εκτός από μια εποπτική παρουσίαση του προβλήματος, μια σύντομη ιστορική αναδρομή καθώς και παράθεση των εφαρμογών του προβλήματος. Το δεύτερο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Ολοκληρώματα τύπου Cauchy’ και είναι αφιερωμένο στην παρουσίαση του αναγκαίου υποβάθρου, με σκοπό να είναι η ακόλουθη παρουσίαση αυτάρκης. Τα θέματα που διαπραγματεύεται είναι: Oλοκληρώματα τύπου Cauchy, συναρτήσεις τύπου Hölder, ολοκληρώματα κύριας τιμής του Cauchy, θεώρημα των Plemelj-Sokhotski, ολοκληρωτικός τελεστής του Cauchy, ολοκληρώματα τύπου Cauchy στην πραγματική ευθεία. Το τρίτο κεφάλαιο, ‘Το πρόβλημα Riemann-Hilbert’, παρουσιάζει το πρόβλημα καθώς και την επίλυσή του σε μια σειρά περιπτώσεων. Στην πιο απλή διατύπωσή του, το πρόβλημα ζητά τον προσδιορισμό μιας τμηματικά ολόμορφης μιγαδικής συνάρτησης μιας μιγαδικής μεταβλητής η οποία παρουσιάζει δοσμένο άλμα κατά μήκος δοσμένης καμπύλης του μιγαδικού επιπέδου. Εστιαζόμαστε αποκλειστικά σε βαθμωτά προβλήματα. Επίσης, εργαζόμαστε με συνοριακές καμπύλες που έχουν την ιδιότητα να χωρίζουν το μιγαδικό επίπεδο σε δύο τμήματα: κλειστές καμπύλες, καθώς και την πραγματική ευθεία. Ειδικότερα, αναλύονται τα ακόλουθα προβλήματα: (i) Πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH) για κλειστές καμπύλες: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. (ii) Πρόβλημα RH επί της πραγματικής ευθείας: (1) Aθροιστικό (additive) πρόβλημα RH. (2) Πρόβλημα παραγοντοποίησης (factorization) RH. (3) Γενικό μη ομογενές πρόβλημα RH. Το τέταρτο κεφάλαιο τιτλοφορείται ‘Προβλήματα Αρχικών-Συνοριακών Τιμών για Γραμμικές και μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις’. Εδώ διαπραγματευόμαστε μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ), τόσο γραμμικές όσο και μη γραμμικές, που έχουν την ιδιότητα να διαθέτουν ζεύγος Lax (Lax pair formulation): Aυτό σημαίνει ότι κάθε μία από αυτές τις ΜΔΕ μπορεί να γραφεί σαν η συνθήκη συμβατότητας (ολοκληρωσιμότητας) ενός ζεύγους γραμμικών ΜΔΕ, που περιέχει και μια ελεύθερη μιγαδική παράμετρο (φασματική παράμετρος). Τέτοιες ΜΔΕ χαρακτηρίζονται και σαν ολοκληρώσιμες (integrable) με τη μέθοδο της αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method). Η τελευταία αποτελεί μια μέθοδο επίλυσης του προβλήματος αρχικών τιμών, ή Cauchy, για εξελικτικές ΜΔΕ αυτού του είδους. Η νεότερη μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού (unified transform method), ή της ταυτόχρονης φασματικής ανάλυσης (simultaneous spectral analysis) του ζεύγους Lax, γενικεύει την προηγούμενη μέθοδο με τρόπο που να μπορεί να εφαρμοστεί και σε προβλήματα αρχικών-συνοριακών τιμών τέτοιων ΜΔΕ (και όχι μόνο). Στο κεφάλαιο αυτό της εργασίας μελετιούνται τα ακόλουθα προβλήματα. (i). Το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ) για τη (γραμμική) ΜΔΕ της διάχυσης (ή θερμότητας) (heat (or diffusion) equation). Εδώ παρουσιάζεται η μέθοδος της αντίστροφης σκέδασης στην απλούστερή της μορφή. (ii). Ένα αρκετά γενικό φασματικό πρόβλημα, που μπορεί να αποτελέσει το χωρικό μέρος του ζευγαριού Lax για μια πλειάδα μη γραμμικών ΜΔΕ. Στη συνέχεια, η προσοχή μας εστιάζεται στο λεγόμενο φασματικό πρόβλημα των Zakharov-Shabat. Σαν εφαρμογή, μελετάται το ΠΑΤ για τη μη γραμμική Εξίσωση Schrodinger (Nonlinear Schrodinger, NLS). (iii). Το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών (ΠΑΣΤ) για την εξίσωση της διάχυσης ορισμένη στην ημιευθεία της χωρικής μεταβλητής. Εδώ περιγράφεται η μέθοδος του ενοποιημένου φασματικού μετασχηματισμού στην απλούστερή της μορφή, εφαρμοζόμενη δηλαδή σε ένα γραμμικό πρόβλημα. H εργασία καταλήγει με την παράθεση της βιβλιογραφίας, σύμφωνα με τις αναφορές που προκύπτουν από το κείμενο. / As it is shown in its title, the purpose of this M.Sc.thesis is twofold. First, we discuss a classical mathematical problem, called the Riemann-Hilbert problem. This problem is presented and solved in a series of cases. Afterwards, we present the applications of this problem to the study of initial value problems and initial-boundary value problems for linear and nonlinear partial differential equations. The thesis is organized in four (4) chapters. More accurately, the structure of the four chapters is as follows. The first chapter constitutes of the Introduction to the thesis. It contains the presentation of the problem, a short historical retrospection of the problem, as well as a list of applications of the problem. The second chapter, entitled “Cauchy Type Integrals”, is dedicated to the presentation of the necessary background, so as to make the following presentation self-contained. The topics negotiated are: Cauchy type integrals, Hölder type functions, Cauchy principal value integrals, the Plemelj-Sokhotski theorem, the Cauchy integral operator, Cauchy type integrals on the real line. The third chapter, “The Riemann-Hilbert Problem”, presents the problem, as well s its solution, in a series of cases. The problem’s simplest formulation seeks for a sectionally holomorphic, complex valued function of a single complex variable, which undergoes a given (predetermined) jump along a given curve of the complex plane. We focus our attention exclusively on scalar Riemann-Hilbert problems. We work exclusively with discontinuity curves that have the property to divide the complex plane into two sections, and, in particular, with closed curves, as well as with the real line. In particular, we analyse the following problems: (i). The Riemann-Hilbert (RH) problem for closed curves: (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. (ii). RH problem on the real line. (1). Additive RH problem. (2). Factorization RH problem. (3). General non-homogeneous RH problem. The fourth chapter is entitled “Initial-Boundary Value Problems for Linear and Nonlinear Partial Differential Equations”. Here we negotiate with patial differential equations (PDE), linear as well as nolinear, which have the distinguishing property of possessing a so-called Lax pair formulation. By this we mean that, any of these PDEs is equivalent to the compatibility (integrability) condition of a proper pair of linear differential equations, the so-called Lax pair, that also contains a free complex parameter, termed to the spectral parameter. Such PDEs are also characterized as integrable by the inverse scattering method. The last method, also called the inverse spectral method, is a method for solving the initial value problem, or Cauchy problem, for evolutionary PDEs of this kind. The new method of simultaneous spectral analysis of the Lax pair, also called the unified transform method, generalizes the previous one in a manner that renders it applicable also to initial-boundary value problems for such PDEs. In this, fourth, chapter we study the following problems: (i). The initial value problem for the (linear) heat (or diffusion) equation. Here is presented the inverse scattering method in its simplest form. (ii). An adequately general spectral problem, which may constitute the spatial part of the Lax pair for many integrable nonlinear PDEs. We afterwards focus our attention to a specific case of this problem, the so-called Zakharov-Shabat spectral problem. As an application, we study the initial value problem for the so-called Nonlinear Schrodinger (NLS) equation. (iii). The initial-boundary value problem for the heat (or diffusion) equation posed on a semi-infinite interval of the spatial variable. Here we present the unified transform method in its simplest form, i.e., applied on a linear problem. The thesis terminates with the presentation of the bibliography, in accordance with the references that appear in the text.

In this thesis we shall examine the role of measurerability in the theory of Lebesgue Integration. This shall be done in the context of the real line where we define the notion of an integral of a bounded real-valued function over a set of bounded outer measure without a prior assumption of measurability concerning the function and the domain of integration. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)