Η μελέτη συνήθων διαφορικών εξισώσεων συχνά χρησιμοποιεί μεθόδους γνωστές από την κλασική Μηχανική. Η πιο γνωστή από αυτές ϕέρει το όνομα του εμπνευστή της, του Ιρλανδού Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865), κι αποτελεί μία μαθηματικά πλήρη ϑεωρία για τα λεγόμενα συστήματα Hamilton. Πρόσφατα, όμως, δομές τύπου Hamilton άρχισαν να μελετώνται και σε συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων, συγκεκριμένα εξισώσεων εξέλιξης. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη της ϑεωρίας Hamilton για τα συστήματα αυτά και ιδιαίτερα για τις περιπτώσεις εκείνες που εμφανίζουν ολοκληρωσιμότητα. Η γραμμή που ϑα ακολουθήσουμε έχει ως κύριο οδηγό τις συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων, ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση οποιασδήποτε διαφορικής εξίσωσης, που πρώτος ανέδειξε ο Νορβηγός Marius Sophus Lie (1842 - 1899). Στο πρώτο κεφάλαιο λοιπόν γίνεται μία εισαγωγή στην ϑεωρία των (γεωμετρικών) συμμετριών, ενώ επίσης παρουσιάζονται τρόποι επίλυσης και γενικότερα αντιμετώπισης ξεχωριστά συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων με την χρήση των ομάδων συμμετρίας τους. Το δεύτερο κεφάλαιο ϕιλοδοξεί να αναδείξει την αντιστοιχία μεταξύ των συμμετριών ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων και των νόμων διατήρησης στους οποίους υπακούει το ϕυσικό σύστημα που περιγράφουν. Αυτό είναι και το περιεχόμενο του ϑεωρήματος που διατύπωσε η Γερμανίδα Amalie Emmy Noether (1882 - 1935), το οποίο ισχύει και στην ειδική περίπτωση των συστημάτων Hamilton. Το πρώτο, λοιπόν, ϐήμα προς αυτήν την κατεύθυνση είναι η επέκταση της έννοιας της συμμετρίας στις λεγόμενες γενικευμένες συμμετρίες, με ιδιαίτερη έμφαση στις εξισώσεις εξέλιξης. Το δεύτερο είναι ουσιαστικά μια μικρή εισαγωγή στην ϑεωρία μεταβολών, απαραίτητη όμως και για τα επόμενα κεφάλαια. Την γνωστή ϑεωρία Hamilton για πεπερασμένα συστήματα, συστήματα δηλαδή συνήθων διαϕορικών εξισώσεων πραγματεύεται το τρίτο κεφάλαιο. Σκοπός του κεφαλαίου αυτού δεν είναι η πλήρης περιγραφή της ϑεωρίας, αλλά η διατύπωση των εννοιών εκείνων που μπορούν να γενικευτούν και στην περίπτωση των απειροδιάστατων συστημάτων. Για τον λόγο αυτό έχει προτιμηθεί η κάπως πιο αφηρημένη και σίγουρα όχι τόσο συνηθισμένη περιγραφή στο πλαίσιο της γεωμετρίας Poisson. Αντιμετωπίζοντας τις συμπλεκτικές δομές, οι οποίες επικρατούν στην ϐιβλιογραφία, ως μια υποπερίπτωση των γενικότερων δομών Poisson, έχουμε ουσιαστικά αποφύγει τελείως την χρήση διαφορικών μορφών, στρέφοντας περισσότερο την προσοχή στις ομάδες συμμετρίας Hamilton, μία έννοια-κλειδί για την ολοκληρωσιμότητα των συστημάτων αυτών. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε το κεντρικό ϑέμα αυτής της εργασίας, δηλαδή τη ϑεωρία Hamilton για απειροδιάστατα συστήματα εξισώσεων εξέλιξης, και ειδικότερα την ολοκληρωσιμότητα τους. Τα ϐασικά μας εργαλεία είναι αυτά που παρουσιάστηκαν νωρίτερα, δηλαδή οι (γενικευμένες) συμμετρίες και οι νόμοι διατήρησης από την μια, και τα διανυσματικά πεδία Hamilton από την άλλη που μας επιτρέπουν την μεταξύ τους αντιστοιχία. Με ϐάση αυτά τα εργαλεία ϐλέπουμε πως η μελέτη πολλών μερικών διαφορικών εξισώσεων ϑυμίζει εκείνων των κλασικών συστημάτων Hamilton της Μηχανικής. Στην παραπάνω αντιστοιχία ϐασίζεται και η έννοια των δι-Χαμιλτονικών συστημάτων, την οποία μελετάμε στο πέμπτο κεφάλαιο. Μέσα από το παράδειγμα της εξίσωσης Korteweg-de Vries αναδεικνύονται τα πλεονεκτήματα της εύρεσης δύο διαφορετικών, ανεξάρτητων εκφράσεων Hamilton, που οδηγούν στην κατασκευή άπειρων συμμετριών ή ακόμα και νόμων διατήρησης. Η διπλή αυτή δομή Hamilton των απειροδιάστατων συστημάτων συνδέεται, όπως ϑα δούμε, με την ολοκληρωσιμότητα είτε με την έννοια του Liouville, είτε με διάφορα άλλα κριτήρια. Γνωστά παραδείγματα παραθέτονται, πέρα από την KdV, όπως η εξίσωση Schroedinger, η modified KdV, κι άλλες μη γραμμικές κυματικές εξισώσεις. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την περίπτωση, όπου ένα σύστημα επιδέχεται πολλαπλή δομή Hamilton. Τέτοιου είδους συστήματα μας επιτρέπουν να δούμε προϋπάρχουσες έννοιες από την ϑεωρία Hamilton, αλλά κι όχι μόνο, κάτω από μία άλλη σκοπιά. Γι΄ αυτό κι έχουν απασχολήσει την σύγχρονη ϐιβλιογραφία, πάνω στην οποία κάνουμε μία σύντομη επισκόπηση, τόσο στο κομμάτι εκείνο που ασχολείται με τις πρόσφατες εξελίξεις της ϑεωρίας Hamilton, όσο και με την μελέτη γενικότερα της ολοκληρωσιμότητας των μερικών διαφορικών εξισώσεων. / The study of ordinary differential equations has often borrowed well known methods from Classical Mechanics. The most popular one is due to Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), which has become a complete mathematical theory for the so-called Hamiltonian systems. Recently, Hamiltonian structures have been developed for systems of partial differential equations, particularly evolution equations. The purpose of this master thesis is to present the Hamiltonian theory for this type of systems, and especially for integrable equations. Our description is based on Symmetries, a useful tool for solving any differential equation, first discovered by Marius Sophus Lie (1842-1899). Thus, an introduction to his theory of point or geometrical symmetries is given in the first chapter, along with some applications, such as integration of ordinary differential equations and group-invariant solutions of partial differential equations. In the second chapter we discuss the connection between the symmetries of a system of differential equations and the conservation laws of the physical problem that they describe. That is the content of Noether’s theorem, which also holds in the particular case of Hamiltonian systems. The first step towards this direction is the generalization of the basic symmetry concept, and the second one is a small introduction to variational problems, also necessary for the next chapters. The well known Hamilton’s theory for finite systems is presented in the third chapter. We do not wish to describe the whole theory in full detail but only focus on these points that will be needed to handle the infinite-dimensional case. Therefore, we introduce the general notion of a Poisson structure, instead of the more familiar symplectic one. Avoiding the use of differential forms almost entirely, we concentrate on the Hamiltonian symmetries and their key role in the reduction theory of these systems. In Chapter 4 lies the heart of the subject, the Hamiltonian approach to a system of evolution equations. We start off by drawing an analogy between first order ordinary differential equations and evolution equations, and then we establish the fundamental concepts of the Hamiltonian franework, i.e. the Poisson bracket and Hamiltonian vector fields. Through another version of Noether’s theorem, we are able to explore, once again, the correspondence between (generalized) symmetries and conservation laws. Thus, we see that the study of several partial differential equations is in some way very close to the one of classical mechanical Hamiltonian systems. Evolution equations possessing, not just one, but two Hamiltonian structures, called bi-Hamiltonian systems, are discussed in the next chapter. The advantages of finding two different, independent Hamiltonian expressions are pointed out through the example of the Korteweg-de Vries equation. We show that such systems have an infinite number of symmetries and, subject to a mild compatibility condition, they also have an infinite number of conservation laws. Therefore they are completely integrable in Liouville’s sense. Several examples are presented, besides the KdV equation, such as the nonlinear Schroedinger, the modified KdV and other nonlinear wave equations. The final chapter is devoted to some of the recent publications, regarding multi-Hamiltonian evolution equations. This type of systems puts the classical Hamiltonian theory of ordinary differential equations in a new perspective and at the same time allows us to draw some connections with other integrability criteria used in the field of partial differential equations.

Ο σκοπός της εργασίας είναι η παρουσίαση της έννοιας της συμμετρίας ως έναν μετασχηματισμό που απεικονίζει τη λύση μιας Δ.Ε. σε μια άλλη Δ.Ε. διατηρώντας αναλλοίωτη και αμετάβλητη τη μορφή της. Παρουσιάζεται επίσης η μέθοδος της αναλλοίωτης διαφόρισης και ο αλγόριθμος Lie. / -

Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η μελέτη μιας οικογένειας εξισώσεων διαφορών (ή διακριτών εξισώσεων) χρησιμοποιώντας μεθόδους συμμετριών. Τέτοιες μέθοδοι είναι καλά θεμελιωμένες για την μελέτη και κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων. Στόχος είναι η χρήση συμμετριών για τη σύνδεση διαφορικών και διακριτών εξισώσεων, καθώς και η κατασκευή λύσεων των τελευταίων από συμμετρικές λύσεις των πρώτων. Συγκεκριμένα, μελετάμε διακριτές εξισώσεις που είναι αφινικά γραμμικές, έχουν τις συμμετρίες του τετραγώνου και εμπλέκουν τέσσερεις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης δύο ακέραιων μεταβλητών, οι οποίες σχηματιζούν ένα στοιχειώδες τετράπλευρο στο επίπεδο των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η διεξοδική μελέτη αυτής της οικογένειας οδηγεί στην κατασκευή ενός νόμου διατήρησης καθώς και σε συνθήκες γραμμικοποιήσης. Μέλη αυτής της οικογένειας είναι και οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις της ταξινόμησης των Adler, Bobenko, Suris (ABS). Η ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων ABS προκύπτει από την πολυδιάστατη συμβατότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να επεκταθούν κατάλληλα σε εξισώσεις πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ιδιότητα αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε άμεσα έναν αυτομεταχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax χρησιμοποιώντας τις ίδιες τις εξισώσεις, στοιχεία που αποτελούν άλλη μια ένδειξη της ολοκληρωσιμότητάς τους. Η εξάρτηση των εξισώσεων ABS από δύο συνεχείς παραμέτρους μας επιτρέπει να μελετήσουμε επιπλέον και τις επεκταμένες συμμετρίες τους, δηλαδή τις συμμετρίες που δρουν και στις παραμέτρους. Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν το βασικό εργαλείο για τη σύνδεσή τους με ολοκληρώσιμα συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Την ολοκληρωσιμότητα αυτών των συμβατών διαφορικών συστημάτων την αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax. Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε λύσεις των διακριτών εξισώσεων από λύσεις του συμβατού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνδέονται με λύσεις των συνεχών εξισώσεων Painlevé. Από την άλλη, παρουσιάζεται η σύνδεση αυτών των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με τις γεννήτριες εξισώσεις. Οι τελευταίες παρουσιάστηκαν αρχικά από τους Nijhoff, Hone, Joshi χρησιμοποιώντας άλλη προσέγγιση. Ωστόσο, η προσέγγιση μέσω συμμετρικών αναγωγών που παρουσιάζουμε εδώ είναι πιο άμεση και οδηγεί στα ίδια συμπεράσματα. Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια καινοτομική χρήση των συμμετριών των διακριτών εξισώσεων για την κατασκευή λύσεων, αλλά και την σύνδεσή τους με συστήματα διαφορικών εξισώσεων. / In the present dissertation, we present the study of a family of discrete equations using symmetry-based techniques. Such methods are well established for the study of differential equations. We use the symmetries of discrete equations to establish new connections between discrete and differential equations, as well as to construct new solutions of the former in terms of similarity solutions of the latter. Specifically, we study discrete equations which are affine linear, possess the symmetries of the square and involve four values of an unknown function of two independent discrete variables forming a quadrilateral. The extensive study of this class leads to a conservation law, as well as to linearization conditions. Members of this family are the integrable equations of the Adler, Bobenko, Suris (ABS) classification. The integrability of the ABS equations follows from their multidimensional consistency. The latter implies that, the equation may be extended in a multidimensional lattice. This property allows us to derive directly an auto– Bäcklund transformation and a Lax pair, using the function defining these equations. These are another evidence of the integrability of the ABS equations. The dependence of these equations on two continuous parameters permits us to study their extended symmetries, i.e. symmetries acting on the parameters as well. These symmetries are our main tool in connecting the ABS equations to integrable systems of differential equations. The integrability of the latter is proved by the construction of an auto–Bäcklund transformation and a Lax pair. This connection provides us the means to construct solutions of the discrete equations from solutions of the compatible differential system, which are related to solutions of the continuous Painlevé equations. On the other hand, we present how these systems lead naturally to generating differential equations, which were presented by Nijhoff, Hone and Joshi starting from another point of view. However, our construction through symmetry reductions is more straightforward. Thus, in the present thesis is presented a novel usage of the symmetries of discrete equations in the construction of solutions and the connection between discrete and differential equations.

Η κατά συμμετρίες ανάλυση είναι μια σύγχρονή και αποτελεσματική μέθοδος ανάλυσης του μαθηματικού πεδίου των Διαφορικών Εξισώσεων. Στα πλεονεκτήματα της, ο αλγοριθμικός τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε τις συμμετριες ενός συστήματος και η κατακευή λύσεων από αυτές. Όμως, όπως και κάθε άλλη μέθοδος έτσι και αυτή έχει τα μειονεκτήματα της, το μέγεθος και η πολυπλοκότητα των ενδιάμεσων υπολογισμών που απαιτούνται για την εύρεση των συμμετρίων ενός συστήματος αυξάνεται εκθετικά σε σχέση με αυτό. Γεγονός που καθιστά τους υπολογισμούς αυτούς με το χέρι χρονοβόρους και επιρρεπής σε σφάλματα και συνεπώς την ανάγκη για την χρήση αξιόπιστων συμβολικών προγραμμάτων επιτακτική. Για τον σκοπό αυτό αναπτύξαμε το συμβολικό πακέτο Sym για το αλγεβρικό σύστημα Mathematica. Το συμβολικό αυτό πακέτο περιέχει στοιχεία τεχνικής νοημοσύνης και εξιδικευμένες συμβολικές μεθόδους. Στοιχεία που το καθιστούν ένα αποτελεσματικό και ευέλικτο μαθηματικό εργαλείο τόσο στον ερευνητικό τομέα όσο και στην εκπαίδευση. Το παρόν διδακτορικό χωρίζεται σε δύο μέρη, στο πρώτο παρουσιάζουμε τις βασικές έννοιες της κατα συμμετρίες ανάλυσης διαφορικών εξισώσεων και τους λόγους για τους οποίους η χρήση συμβολικών προγραμμάτων βρίσκει πρόσφορο έδαφος. Στο δεύτερο μέρος, παρουσιάζουμε το συμβολικό πακέτο Sym και δύο ερευνητικά αποτελέσματα της χρήσης του. Όσο αναφορά το ίδιο το πακέτο, δίνουμε τα βασικά του χαρακτηριστικά , τον τρόπο λειτουργίας του και τα οφέλη του σε σχέση με τα ήδη υπάρχοντα συμβολικά πακέτα για την εύρεση συμμετριών. Η χρηστικότητα του παρουσιάζεται μέσω δύο ερευνητικών αποτελεσμάτων. Στο πρώτο, εξετάζουμε ενα πρόβλημα από την περιοχή της Γενικής Σχετικότητας, την εύρεση βαρυτικών κυμάτων. Οι συμμετρίες των εξισώσεων πεδίου του Einstein για την μετρική του Bondi καθορίζονται μέσω του Sym και υποβιβάζουμε με αυτές την τάξη του μή γραμμικού συστήματος. Με υποθέσεις εργασίας πάνω στο σύστημα αυτό δίνουμε ειδικές λύσεις οι οποίες είχαν προκύψει παλίοτερα με άλλες μεθόδους. Τέλος, παρουσιάζουμε τις μελλοντικές μας κατευθύνσεις προς την καθορισμό νέων λύσεων με την σωστή φυσική συμπεριφορά που επιβάλει το πρόβλημα. Στο δεύτερο, δίνουμε μια προτότυπη διαδικασία κατηγοριοποίησης διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις ένοιες της πλήρους ομάδας συμετρίας και της αξιοσημείωτης κατά Lie διαφορικής εξίσωσης. Με βάση αυτή, επιτυγχάνουμε την συνθέση διαφορικών εξισώσεων κατασκευάζοντας έτσι καινούργιες οικογένεις διαφορικών εξισώσεων περιέχοντες τις αρχικές μας εξισώσεις. / The symmetry analysis is a modern and effective method of mathematical field of differential equations. On its advantages, the algorithmic way for determining the symmetries and constructing solutions. Like any other method it also has its disadvantages; the size and the complexity of the intermediate calculations needed for giving the symmetries is increased exponentially with respect to the equation under investigation. This fact renders the calculations unmanageable by hand and error prone. The need for reliable and fast symbolic tools is apparent. For this reason, we developed a symbolic package called Sym based on the Mathematica program. The package employing artificial intelligent elements and specialized symbolic methods is an effective and versatile mathematical tool ideal for research and education alike. The present thesis consists of two parts; on the first we present the basic notions of the mathematical theory and the reasons that symbolic tools can be utilized. On the second part, we present the symbolic package Sym itself along with two new result employing it. As for the package itself, we give the basic characteristics, its functionality and the benefits using it against the existing programs. Its usefulness is presented through two results. On the first, we study a problem from General Relativity, finding solutions describing gravity waves. The symmetries of the Einstein’s field equations for the radiating Bondi metric are determined from Sym. Using them we reduce the non-linear system. Using specific ansatzes we arrive to specific solutions already found using other methods. Finally, we present our future directions for finding new solutions with the correct physical behavior. On the second, we describe a new procedure for classifying differential equations using the notions of complete symmetry groups and Lie remarkability. Using this procedure we achieved by starting with a set of differential equation to construct a new family that includes the initial set. Future directions include finding a way to link the solutions of the newly constructed family with the solutions of the equations that we use for constructing it.

Η διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο Μέρος Α' χρησιμοποιούνται μαθηματικές μέθοδοι της Θεωρίας Παιγνίων και των Δυναμικών Συστημάτων για να μελετηθεί η κανονική και χαοτική δυναμική διαφόρων μοντέλων της Μικροοικονομίας. Βασικά αποτελέσματα είναι η μετάβαση σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού και η διαφοροποίηση του παραγόμενου προιόντος σε ένα δυοπώλιο-τριοπώλιο. Στο Μέρος Β', κύριος στόχος της έρευνας ήταν να συνδεθούν ορισμένες από τις πλέον γνωστές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) που χρησιμοποιούνται στα Οικονομικά Μαθηματικά και Χρηματοοικονομικά, με την εξίσωση της θερμότητας της Μαθηματικής Φυσικής, εφαρμόζοντας την κατά Lie συμμετρίες ανάλυση. Επίσης η ανάλυση αυτή αποδείχθηκε ιδιαίτερα ισχυρή για την εύρεση αλγεβρικών δομών εξισώσεων που περιγράφουν την τιμολόγηση αγαθών. Έτσι, οδηγούμαστε με συστηματικό τρόπο όχι μόνο στην εύρεση νέων λύσεων αλλά και στην ανακάλυψη κομψών γενικεύσεων των εξισώσεων αυτών. / The thesis is divided into two parts. In Part One we use the mathematical methods of Game Theory and Dynamical Systems to study the stable and chaotic dynamics of various models in Microeconomics. Some of our main results are the route to perfect competition and the differentiation of goods in a duopoly and in a triopoly. In Part Two, our main concern was to link some of the most well-known partial differential equations that are encountered in Economics and Financial Mathematics, with the heat equation of Mathematical Physics, using Lie symmetry analysis. More to that, this analysis proved extremely powerful to the finding of interesting algebraic properties for equations that describe the pricing of commodities. In such way, we succeed in presenting, in a systematic fashion, not only new solutions, but also elegant generalisations of the equations under investigation.