Μια από τις πιο επιτυχείς προσεγγίσεις της γεωμετρίας είναι αυτή που πρότεινε ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein στο γνωστό Πρόγραμμα Erlangen. To πρόγραμμα αυτό αποτέλεσε ένα γενικό σχέδιο ταξινόμησης των διάφορων γεωμετριών που εμφανίστηκαν μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών, με τεράστιες επιπτώσεις όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στη θεωρητική φυσική. Σύμγωνα με τον Klein, το αντικείμενο της γεωμετρίας είναι μια πολλαπλότητα στην οποία δρα μια ομάδα μετασχηματισμών, η οποία συνήθως είναι μια ομάδα Lie. Στη περίπτωση που η ομάδα δρα μεταβατικά πάνω στην πολλαπλότητα, τότε οδηγούμαστε στην περίτωση των ομογενών χώρων. Κλασικά παραδείγματα τέτοιων χώρων αποτελούν η σφαίρα και ο πραγματικός ή μιγαδικός προβολικός χώρος. Η βασική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους (για παράδειγμα της καμπυλότητας) σε ένα σημείο του χώρου τότε χρησιμοποιώντας κατάλληλες απεικονίσεις μεταφοράς μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του χώρου. Στην εργασία μας περιγράφουμε τη γεωμετρία των χώρων αυτών χρησιμοποιώντας εργαλεία από τη θεωρία των ομάδων Lie. Το δεύτερο σκέλος της εργασίας αφορά τη θεωρία των πολλαπλοτήτων σημαιών, οι οποίες αποτελούν και μια ιδιαίτερη κλάση ομογενών χώρων. Μια πολλαπλότητα σημαιών είναι η τροχιά της συζυγούς αναπαράστασης μιας ημιαπλής ομάδας Lie. Οι χώροι αυτοί δέχονται μια κομψή αλγεβρική περιγραφή χρησιμοποιώντας τη δομική θεωρία των ημιαπλών αλγεβρών Lie και ταξινομούνται από τα χρωματιστά διαγράμματα Dynkin. / One of the most successful approaches to geometry is that suggested by the german mathematician Felix Klein and his famous Erlangen programm. According to Klein, a geometry is the study of all these objects which remain invariant under the action of a transormation group. Usually this group is a Lie group. If the above action is transitive then the space is called Homogeneous space. Classical examples of these spaces are the sphere and the real or complex projective space. The basic property of homogeneous spaces is that if we know the value of a geometrical object (e.g curvature) at a given point, then we can calculate the value of this quantity at any other point by using certain translations maps. In this project we describe the geometry of homogeneous spaces, by using tools of the Lie group theory. The second part of this project has to do with generalized flag manifolds, which are an important class of homogeneous spaces. A flag manifold is the orbit of the adjoint representation of a compact semisimple Lie group. These spaces admit a nice algebraic description by using the structure theory of semisimple Lie algebras and are classified by painted Dynkin diagramms.

Η διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη. Στο Μέρος Α' χρησιμοποιούνται μαθηματικές μέθοδοι της Θεωρίας Παιγνίων και των Δυναμικών Συστημάτων για να μελετηθεί η κανονική και χαοτική δυναμική διαφόρων μοντέλων της Μικροοικονομίας. Βασικά αποτελέσματα είναι η μετάβαση σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισμού και η διαφοροποίηση του παραγόμενου προιόντος σε ένα δυοπώλιο-τριοπώλιο. Στο Μέρος Β', κύριος στόχος της έρευνας ήταν να συνδεθούν ορισμένες από τις πλέον γνωστές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) που χρησιμοποιούνται στα Οικονομικά Μαθηματικά και Χρηματοοικονομικά, με την εξίσωση της θερμότητας της Μαθηματικής Φυσικής, εφαρμόζοντας την κατά Lie συμμετρίες ανάλυση. Επίσης η ανάλυση αυτή αποδείχθηκε ιδιαίτερα ισχυρή για την εύρεση αλγεβρικών δομών εξισώσεων που περιγράφουν την τιμολόγηση αγαθών. Έτσι, οδηγούμαστε με συστηματικό τρόπο όχι μόνο στην εύρεση νέων λύσεων αλλά και στην ανακάλυψη κομψών γενικεύσεων των εξισώσεων αυτών. / The thesis is divided into two parts. In Part One we use the mathematical methods of Game Theory and Dynamical Systems to study the stable and chaotic dynamics of various models in Microeconomics. Some of our main results are the route to perfect competition and the differentiation of goods in a duopoly and in a triopoly. In Part Two, our main concern was to link some of the most well-known partial differential equations that are encountered in Economics and Financial Mathematics, with the heat equation of Mathematical Physics, using Lie symmetry analysis. More to that, this analysis proved extremely powerful to the finding of interesting algebraic properties for equations that describe the pricing of commodities. In such way, we succeed in presenting, in a systematic fashion, not only new solutions, but also elegant generalisations of the equations under investigation.