- / -

Ο σκοπός της εργασίας είναι η παρουσίαση της έννοιας της συμμετρίας ως έναν μετασχηματισμό που απεικονίζει τη λύση μιας Δ.Ε. σε μια άλλη Δ.Ε. διατηρώντας αναλλοίωτη και αμετάβλητη τη μορφή της. Παρουσιάζεται επίσης η μέθοδος της αναλλοίωτης διαφόρισης και ο αλγόριθμος Lie. / -

Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε κάποιες συνθήκες υπό τις οποίες συγκεκριμένες κλάσεις πολλαπλοτήτων σημαιών (flag manifolds) δέχονται ομογενείς ισογεωδαισιακές καμπύλες. Μια λεία πολλαπλότητα M διάστασης n είναι ένας Hausdorff και 2ος αριθμήσιμος τοπολογικός χώρος, τοπικά ομοιομορφικός με έναν Ευκλείδειο χώρο διάστασης n, εφοδιασμένος με μια διαφορική δομή. Ένα παράδειγμα πολλαπλότητας διάστασης 2 είναι μια επιφάνεια του χώρου. Ο εφοδιασμός μιας λείας πολλαπλότητας M με μια μετρική g στον εφαπτόμενο χώρο κάθε σημείου της επιτρέπει την εισαγωγή γεωμετρικών ιδιοτήτων στην M (μήκη καμπυλών, καμπυλότητα κλπ.). Μια σημαντική κλάση καμπυλών σε μια πολλαπλότητα M είναι οι γεωδαισιακές καμπύλες που έχουν την ιδιότητα να ελαχιστοποιούν την απόσταση μεταξύ δύο αρκετά κοντινών σημείων της M. Επιπλέον, δεδομένου ενός σημείου p μιας πολλαπλότητας M και εφαπτόμενου διανύσματος v στο p, υπάρχει μοναδική γεωδαισιακή καμπύλη διερχόμενη από το p με κατεύθυνση το v. Μια ομάδα Lie G είναι μια λεία πολλαπλότητα με δομή ομάδας τέτοια ώστε οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και αντιστροφής να είναι διαφορίσιμες. Μια τέτοια ομάδα είναι και η μοναδιαία σφαίρα. Βασικό χαρακτηριστικό των ομάδων Lie είναι ότι η γεωμετρία τους παραμένει αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία τους. Συνεπώς, η μελέτη της γεωμετρίας μιας ομάδας Lie G ανάγεται στη μελέτη της γεωμετρίας σε μια περιοχή του ουδετέρου στοιχείου της e και συγκεκριμένα, στη μελέτη της άλγεβρας Lie της G, δηλαδή τον εφαπτόμενο διανυσματικό χώρο της G στο e. Οι πολλαπλότητες που γενικεύουν αυτή την ιδιότητα ονομάζονται ομογενείς χώροι. Ένας ομογενής χώρος είναι μια λεία πολλαπλότητα M στην οποία δρα με συγκεκριμένο τρόπο μια ομάδα Lie G. Η G ορίζει μια γεωμετρία στην M που είναι αναλλοίωτη σε κάθε σημείο της M. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ορισμό των G-αναλλοίωτων μετρικών στον ομογενή χώρο M. Στην περίπτωση που η G είναι συμπαγής και ημιαπλή ο ομογενής χώρος ονομάζεται πολλαπλότητα σημαιών. Αποδεικνύεται ότι κάθε ομογενής χώρος M δέχεται ομογενείς γεωδαισιακές καμπύλες, δηλαδή γεωδαισιακές που αποτελούν τροχιές, μέσω της δράσης της G στη M, μιας κατηγορίας υποομάδων της G που ονομάζονται μονοπαραμετρικές υποομάδες. Στην παρούσα εργασία θα μελετήσουμε την ύπαρξη ισογεωδαισιακών καμπυλών σε πολλαπλότητες σημαιών, δηλαδή καμπυλών που είναι ομογενείς γεωδαισιακές ανεξάρτητα της G-αναλλοίωτης μετρικής που θα ορίσουμε στην πολλαπλότητα. / In this thesis we study homogeneous geodesics on certain classes of flag manifolds.

Μια από τις πιο επιτυχείς προσεγγίσεις της γεωμετρίας είναι αυτή που πρότεινε ο Γερμανός μαθηματικός Felix Klein στο γνωστό Πρόγραμμα Erlangen. To πρόγραμμα αυτό αποτέλεσε ένα γενικό σχέδιο ταξινόμησης των διάφορων γεωμετριών που εμφανίστηκαν μετά την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών, με τεράστιες επιπτώσεις όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στη θεωρητική φυσική. Σύμγωνα με τον Klein, το αντικείμενο της γεωμετρίας είναι μια πολλαπλότητα στην οποία δρα μια ομάδα μετασχηματισμών, η οποία συνήθως είναι μια ομάδα Lie. Στη περίπτωση που η ομάδα δρα μεταβατικά πάνω στην πολλαπλότητα, τότε οδηγούμαστε στην περίτωση των ομογενών χώρων. Κλασικά παραδείγματα τέτοιων χώρων αποτελούν η σφαίρα και ο πραγματικός ή μιγαδικός προβολικός χώρος. Η βασική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους (για παράδειγμα της καμπυλότητας) σε ένα σημείο του χώρου τότε χρησιμοποιώντας κατάλληλες απεικονίσεις μεταφοράς μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο του χώρου. Στην εργασία μας περιγράφουμε τη γεωμετρία των χώρων αυτών χρησιμοποιώντας εργαλεία από τη θεωρία των ομάδων Lie. Το δεύτερο σκέλος της εργασίας αφορά τη θεωρία των πολλαπλοτήτων σημαιών, οι οποίες αποτελούν και μια ιδιαίτερη κλάση ομογενών χώρων. Μια πολλαπλότητα σημαιών είναι η τροχιά της συζυγούς αναπαράστασης μιας ημιαπλής ομάδας Lie. Οι χώροι αυτοί δέχονται μια κομψή αλγεβρική περιγραφή χρησιμοποιώντας τη δομική θεωρία των ημιαπλών αλγεβρών Lie και ταξινομούνται από τα χρωματιστά διαγράμματα Dynkin. / One of the most successful approaches to geometry is that suggested by the german mathematician Felix Klein and his famous Erlangen programm. According to Klein, a geometry is the study of all these objects which remain invariant under the action of a transormation group. Usually this group is a Lie group. If the above action is transitive then the space is called Homogeneous space. Classical examples of these spaces are the sphere and the real or complex projective space. The basic property of homogeneous spaces is that if we know the value of a geometrical object (e.g curvature) at a given point, then we can calculate the value of this quantity at any other point by using certain translations maps. In this project we describe the geometry of homogeneous spaces, by using tools of the Lie group theory. The second part of this project has to do with generalized flag manifolds, which are an important class of homogeneous spaces. A flag manifold is the orbit of the adjoint representation of a compact semisimple Lie group. These spaces admit a nice algebraic description by using the structure theory of semisimple Lie algebras and are classified by painted Dynkin diagramms.

Σκοπός της εργασίας μας είναι η μελέτη κάποιων αναγωγικών χώρων που παρουσιάζουν ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Συγκεκριμένα, μελετάμε τη γεωμετρία της σφαίρας S^n όταν αυτή είναι αμφιδιαφορική με έναν χώρο πηλίκο G/K και την γεωμετρία των πολλαπλοτήτων Stiefel SO(n)/SO(n-k) (το σύνολο όλων των k-πλαισίων του R^n). Ένας ομογενής χώρος αποτελεί επέκταση των ομάδων Lie, καθώς είναι μια λεία πολλαπλότητα M στην οποία δρα μεταβατικά μια ομάδα Lie G. Κάθε τέτοιος χώρος δίνεται ως M = G/K, όπου K = {g\in G : gp = p} (p \in M). Η βασική γεωμετρική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους σε ένα σημείο του χώρου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των αναγωγικών χώρων G/K είναι ότι υπάρχει ένας Ad(K)-αναλλοίωτος υπόχωρος της άλγεβρας Lie(G). Η περιγραφή όλων των μεταβατικών δράσεων μιας ομάδας Lie σε μια πολλαπλότητα M αποτελεί ένα δύσκολο πρόβλημα. Για την περίπτωση των σφαιρών αυτές έχουν περιγραφτεί το 1953 από τους Montgomery-Samelson-Borel. Στην εργασία μας μελετάμε τη γεωμετρία (καμπυλότητες, μετρικές Einstein) των σφαιρών S^3, S^5 όταν αυτές είναι αμφιδιαφορικές με τα πηλίκα S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2) και S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Αντίστοιχα προβλήματα εξετάζονται για τις πολλαπλότητες Stiefel SO(n)/SO(n-k), όπου η περιγραφή όλων των SO(n)-αναλλοίωτων μετρικών παρουσιάζει δυσκολία, λόγω του ότι η ισοτροπική αναπαράστασή τους περιέχει ισοδύναμα υποπρότυπα. Μελετάμε για ποιές από τις συγκεκριμένες πολλαπλότητες η μετρική που επάγεται από τη μορφή Killing είναι μετρική Einstein και περιγράφουμε αναλυτικά τις διαγώνιες SO(n)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein στις πολλαπλότητες SO(n)/SO(n-2). Επιπλέον παρουσιάζουμε και ένα καινούργιο αποτέλεσμα, ότι στην πολλαπλότητα SO(5)/SO(2) οι μοναδικές SO(5)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein είναι οι μετρικές που είχαν βρεθεί από τον Jensen το 1973. / The purpose of our work is to study homogeneous spaces that present interesting geometry. These include the geometry of the sphere S^n diffeomorphic to a quotient space G/K and the geometry of Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-k) (the set of all k-planes in R^n). A homogeneous space is a smooth manifold M in which a Lie group acts transitively. Any such space is given as M = G/K where K = {g\in G : gp = p} (p\in M). The basic geometric property of homogeneous space is that if we know the value of a geometrical object at a point of the space, then we can estimate the value of thiw quantity at any other point. The special feature of reductive homogeneous space G/K is that there exists an Ad(K)-invariant subspace of the Lie algebra Lie(G). The description of all transitive actions of a Lie group into a manifold M is a difficult problem. In the case of spheres such actions have been described in 1953 by the Montgomery, Samelson and Borel. In our work we study the geometry (curvature, Einstein metrics) of the sphere S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2), S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Similar problems are examined for the Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-k). The description of all SO(n)-invariant metrics presents serious difficulties because the isotropy representation contains equivalent submodules. We study for which of the manifolds SO(n)/SO(n-k) the metric induced by the Killing form is an Einstein metric and we describe in detail the diagonal SO(n)-invariant Einstein metrics on the Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-2). In addition, we give the new result that for the Stiefel manifold SO(5)/SO(2) the unique SO(5)-invariant Einstein metrics are the metrics found by Jensen in 1973.