Σκοπός της εργασίας μας είναι η μελέτη κάποιων αναγωγικών χώρων που παρουσιάζουν ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Συγκεκριμένα, μελετάμε τη γεωμετρία της σφαίρας S^n όταν αυτή είναι αμφιδιαφορική με έναν χώρο πηλίκο G/K και την γεωμετρία των πολλαπλοτήτων Stiefel SO(n)/SO(n-k) (το σύνολο όλων των k-πλαισίων του R^n). Ένας ομογενής χώρος αποτελεί επέκταση των ομάδων Lie, καθώς είναι μια λεία πολλαπλότητα M στην οποία δρα μεταβατικά μια ομάδα Lie G. Κάθε τέτοιος χώρος δίνεται ως M = G/K, όπου K = {g\in G : gp = p} (p \in M). Η βασική γεωμετρική ιδιότητα των ομογενών χώρων είναι ότι αν γνωρίζουμε την τιμή κάποιου γεωμετρικού μεγέθους σε ένα σημείο του χώρου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του μεγέθους αυτού σε οποιοδήποτε άλλο σημείο. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των αναγωγικών χώρων G/K είναι ότι υπάρχει ένας Ad(K)-αναλλοίωτος υπόχωρος της άλγεβρας Lie(G). Η περιγραφή όλων των μεταβατικών δράσεων μιας ομάδας Lie σε μια πολλαπλότητα M αποτελεί ένα δύσκολο πρόβλημα. Για την περίπτωση των σφαιρών αυτές έχουν περιγραφτεί το 1953 από τους Montgomery-Samelson-Borel. Στην εργασία μας μελετάμε τη γεωμετρία (καμπυλότητες, μετρικές Einstein) των σφαιρών S^3, S^5 όταν αυτές είναι αμφιδιαφορικές με τα πηλίκα S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2) και S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Αντίστοιχα προβλήματα εξετάζονται για τις πολλαπλότητες Stiefel SO(n)/SO(n-k), όπου η περιγραφή όλων των SO(n)-αναλλοίωτων μετρικών παρουσιάζει δυσκολία, λόγω του ότι η ισοτροπική αναπαράστασή τους περιέχει ισοδύναμα υποπρότυπα. Μελετάμε για ποιές από τις συγκεκριμένες πολλαπλότητες η μετρική που επάγεται από τη μορφή Killing είναι μετρική Einstein και περιγράφουμε αναλυτικά τις διαγώνιες SO(n)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein στις πολλαπλότητες SO(n)/SO(n-2). Επιπλέον παρουσιάζουμε και ένα καινούργιο αποτέλεσμα, ότι στην πολλαπλότητα SO(5)/SO(2) οι μοναδικές SO(5)-αναλλοίωτες μετρικές Einstein είναι οι μετρικές που είχαν βρεθεί από τον Jensen το 1973. / The purpose of our work is to study homogeneous spaces that present interesting geometry. These include the geometry of the sphere S^n diffeomorphic to a quotient space G/K and the geometry of Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-k) (the set of all k-planes in R^n). A homogeneous space is a smooth manifold M in which a Lie group acts transitively. Any such space is given as M = G/K where K = {g\in G : gp = p} (p\in M). The basic geometric property of homogeneous space is that if we know the value of a geometrical object at a point of the space, then we can estimate the value of thiw quantity at any other point. The special feature of reductive homogeneous space G/K is that there exists an Ad(K)-invariant subspace of the Lie algebra Lie(G). The description of all transitive actions of a Lie group into a manifold M is a difficult problem. In the case of spheres such actions have been described in 1953 by the Montgomery, Samelson and Borel. In our work we study the geometry (curvature, Einstein metrics) of the sphere S^3 = SO(4)/SO(3) = SU(2), S^5 = SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Similar problems are examined for the Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-k). The description of all SO(n)-invariant metrics presents serious difficulties because the isotropy representation contains equivalent submodules. We study for which of the manifolds SO(n)/SO(n-k) the metric induced by the Killing form is an Einstein metric and we describe in detail the diagonal SO(n)-invariant Einstein metrics on the Stiefel manifolds SO(n)/SO(n-2). In addition, we give the new result that for the Stiefel manifold SO(5)/SO(2) the unique SO(5)-invariant Einstein metrics are the metrics found by Jensen in 1973.

Μια πολλαπλότητα Riemann (M, g) ονομάζεται Einstein αν έχει σταθερή καμπυλότητα Ricci. Είναι γνωστό ότι αν (M=G/K, g) είναι μια συμπαγής ομογενής πολλαπλότητα Riemann, τότε οι G-αναλλοίωτες μετρικές Einstein μοναδιαίου όγκου, είναι τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς ολικής βαθμωτής καμπυλότητας περιορισμένο στο χώρο των G-αναλλοίωτων μετρικών με όγκο 1. Για μια G-αναλλοίωτη μετρική Riemann η εξίσωση Einstein ανάγεται σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων. Οι θετικές πραγματικές λύσεις του συστήματος αυτού είναι ακριβώς οι G-αναλλοίωτες μετρικές Einstein που δέχεται η πολλαπλότητα Μ. Μια σημαντική οικογένεια συμπαγών ομογενών χώρων αποτελείται από τις γενικευμένες πολλαπλότητες σημαιών. Κάθε τέτοιος χώρος είναι μια τροχιά της συζυγούς αναπαράστασης μιας συμπαγούς, συνεκτικής, ημι-απλής ομάδας Lie G. Πρόκειται για ομογενείς πολλαπλότητες της μορφής G/C(S), όπου C(S) είναι ο κεντροποιητής ενός δακτυλίου S στην G. Κάθε τέτοιος χώρος δέχεται ένα πεπερασμένο πλήθος από G-αναλλοίωτες μετρικές Kahler-EInstein. Στην παρούσα διατριβή ταξινομούμε όλες τις πολλαπλότητες σημαιών G/K που αντιστοιχούν σε μια απλή ομάδα Lie G, των οποίων η ισοτροπική αναπαράσταση διασπάται σε 2 ή 4 μη αναγώγιμους και μη ισοδύναμους Ad(K)-αναλλοίωτους προσθετέους. Για κάθε τέτοιο χώρο λύνουμε την αναλλοίωτη εξίσωση Εinstein, και παρουσιάζουμε την αναλυτική μορφή νέων G-αναλλοίωτων μετρικών Einstein. Στις περισσότερες περιπτώσεις παρουσιάζουμε την πλήρη ταξινόμηση των αναλλοίωτων μετρικών Einstein. Επίσης εξετάζουμε το ισομετρικό πρόβλημα. Για την κατασκευή της εξίσωσης Einstein σε κάποιες πολλαπλότητες σημαιών με 4 ισοτροπικούς προσθετέους χρησιμοποιούμε την νηματοποίηση συστροφής που δέχεται κάθε πολλαπλότητα σημαιών επί ενός ισοτροπικά μη αναγώγιμου συμμετρικού χώρου συμπαγούς τύπου. Αυτή η μέθοδος είναι καινούργια και μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες πολλαπλότητες σημαιών. / A Riemannian manifold (M, g) is called Einstein, if it has constant Ricci curvature. It is well known that if (M=G/K, g) is a compact homogeneous Riemannian manifold, then the G-invariant \tl{Einstein} metrics of unit volume, are the critical points of the scalar curvature function restricted to the space of all G-invariant metrics with volume 1. For a G-invariant Riemannian metric the Einstein equation reduces to a system of algebraic equations. The positive real solutions of this system are the $G$-invariant Einstein metrics on M. An important family of compact homogeneous spaces consists of the generalized flag manifolds. These are adjoint orbits of a compact semisimple Lie group. Flag manifolds of a compact connected semisimple Lie group exhaust all compact and simply connected homogeneous Kahler manifolds and are of the form G/C(S), where C(S) is the centralizer (in G) of a torus S in G. Such homogeneous spaces admit a finite number of G-invariant complex structures, and for any such complex structure there is a unique compatible G-invariant Kahler-Einstein metric. In this thesis we classify all flag manifolds M=G/K of a compact simple Lie group G, whose isotropy representation decomposes into 2 or 4, isotropy summands. For these spaces we solve the (homogeneous) Einstein equation, and we obtain the explicit form of new G-invariant Einstein metrics. For most cases we give the classification of homogeneous Einstein metrics. We also examine the isometric problem. For the construction of the Einstein equation on certain flag manifolds with four isotropy summands, we apply for first time the twistor fibration of a flag manifold over an isotropy irreducible symmetric space of compact type. This method is new and it can be used also for other flag manifolds. For flag manifolds with two isotropy summands, we use the restricted Hessian and we characterize the new Einstein metrics as local minimum points of the scalar curvature function restricted to the space of G-invariant Riemannian metrics of volume 1. We mention that the classification of flag manifolds with two isotropy summands gives us new examples of homogeneous spaces, for which the motion of a charged particle under the electromagnetic field, and the geodesics curves, are completely determined.