Μελετούμε το πρόβλημα ολοκληρωσιμότητας διαφορικών 1-μορφών. Αφού αναφερθούμε στις κλασικές περιπτώσεις των ακριβών 1-μορφών και του ολοκληρωτικού παράγοντα, αποδεικνύουμε το περίφημο Λήμμα του Poincaré, καθώς και το Θεώρημα Ολοκληρωσιμότητας του Frobenious. Η εργασία ολοκληρώνεται με παραδείγματα μορφων που εμφανίζουν ιδιομορφίες. / We study the problem of integrability of differential 1-forms. After the classical cases of exact forms and the integrating factor we prove the famous lemma of Poincaré and the Frobenious integrability theorem. Examples of forms with singularities consist the last part of this study.

Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας, παρουσιάζεται το πιο απλό παράδειγμα εμφύλλωσης και στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός μιας εμφυλλωμένης πολλαπλότητας, υπό δύο διαφορετικές σκοπιές. Ο ορισμός συμπληρώνεται με τον σχολιασμό της τοπολογίας των φύλλων της εμφύλλωσης, δίνοντας το τοπολογικό πλαίσιο της πολλαπλότητας για τον ορισμό του κανονικού εμφυλλωμένου άτλαντα. Η εισαγωγή στη Θεωρία Εμφυλλώσεων ολοκληρώνεται με μία σειρά παραδειγμάτων εμφυλλώσεων, με επικεντρωμένο το ενδιαφέρον στην εμφύλλωση του Reeb και στην προσανατολισμένη εμφύλλωση του Seifert. Στο δεύτερο κεφάλαιο, συνδέεται η έννοια της γεωμετρικής ολοκληρωσιμότητας με την Θεωρία των Εμφυλλώσεων, μέσω του κλασικού θεωρήματος του Frobenius. Τα φύλλα της εμφύλλωσης του χώρου των φάσεων αποτελούν το γεωμετρικό πρότυπο επίλυσης δυναμικών συστημάτων, ως πρώτα ολοκληρώματα. Το κλασικό θεώρημα του Frobenius έδωσε τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε η θεωρούμενη κατανομή να αποτελεί τον εφαπτόμενο χώρο της εμφύλλωσης. Το θεώρημα Frobenius δίνεται και αποδεικνύεται με πέντε ισοδύναμες εκδοχές. Μία από αυτές είναι η αλγεβρική εκδοχή, όπου τα πρώτα ολοκληρώματα καθορίζονται από τους γεννήτορες του ιδεώδους της εξωτερικής άλγεβρας, επιλύoντας τις εξισώσεις Pfaff. Οι παραγόμενες μορφές μέσω της εξωτερικής διαφόρισης των γεννητόρων του ιδεώδους, στην περίπτωση που ικανοποιούν τη συνθήκη ολοκληρωσιμότητας, συγκροτούν στο module των διαφορικών μορφών το διαφορικό ιδεώδες. Ακόμα, γίνεται αναφορά στο Λήμμα του Poincaré, που δίνει τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη πρώτων ολοκληρωμάτων, στην περίπτωση απλά συνεκτικών πολλαπλοτήτων, και στην εύρεση ολοκληρωτικού παράγοντα. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο, ως εφαρμογή στη Θεωρία Εμφυλλώσεων, αποδεικνύεται η ύπαρξη φύλλων μέσα στο σύνολο προσβασιμότητας, που καθορίζεται από το εκάστοτε σύστημα ελέγχου. Πρόκειται για το θεώρημα που δόθηκε τη δεκαετία του 70 από τον Sussmann. Ορίζοντας τη Lie άλγεβρα των κατανομών η οποία δημιουργείται από τις επαναλαμβανόμενες αγκύλες Lie. Στα πλαίσια αυτής ελέγχεται η συμπεριφορά των κατανομών, οι οποίες διαχωρίζονται σε ολοκληρώσιμες και bracket generating. Οι τελευταίες παράγουν τον εφαπτόμενο χώρο της πολλαπλότητας και αποτελούν βασική προϋπόθεση για να εφοδιαστεί η πολλαπλότητα με μια υπο-Riemannian δομή. Με αυτή τη δομή ορίζεται η υπο-Riemannian απόσταση από την οποία φτιάχνεται η βάση μιας τοπολογίας που συμπίπτει με τη φυσική τοπολογία της πολλαπλότητας. Σε αυτήν την τοπολογία ορίζονται τα φύλλα του συνόλου προσβασιμότητας. Επιπλέον, δίνεται μια απάντηση και στο πρόβλημα της ελεγξιμότητας, που διαπραγματεύεται η Θεωρία Ελέγχου. Τέλος, γίνεται αναφορά στις γεωδαισιακές εξισώσεις, όπως αυτές ορίζονται στο συνεφαπτόμενο ινώδες των τετραγωνικών μορφών, με χαρακτηριστικό παράδειγμα τις γεωδαισιακές που προκύπτουν από την ομάδα του Heisenberg. / --

Υπάρχει μια ιδιαίτερη κατηγορία φυσικών συστημάτων, τα οποία καλούνται ολοκληρώσιμα. Η ολοκληρωσιμότητα ενός συστήματος συνεπάγεται άμεσα πως αυτό είναι ακριβώς επιλύσιμο, ενώ συνήθως το σύστημα παρουσιάζει μεγάλη συμμετρία. Η θεωρία των ο- λοκληρώσιμων συστημάτων, κλασικών και κβαντικών, παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία για τη μελέτη των εν λόγω προτύπων με συστηματικό τρόπο. Στην παρούσα διατρι- βή μελετούμε τέτοιου είδους συστήματα, δίνοντας έμφαση στις αλγεβρικές δομές και τις συμμετρίες που βρίσκονται πίσω από αυτά. Στο πρώτο μέρος, περιγράφονται στοιχεία της θεωρίας των κλασικών ολοκληρώσιμων συστημάτων. Ο συστηματικός τρόπος περιγρα- φής τους επιτρέπει και την επέκταση αυτών, εισάγοντας για παράδειγμα μη τετριμμένες συνοριακές συνθήκες ή τοπικές ατέλειες, έτσι ώστε η ολοκληρωσιμότητα του συστήματος να διατηρείται. Στο δεύτερο κεφάλαιο περιγράφεται η θεωρία της ολοκληρωσιμότητας σε κβαντικό επίπεδο και το πλαίσιο ακριβούς επίλυσης τέτοιων συστημάτων μέσω ισχυρών μεθόδων, όπως η τεχνική Bethe ansatz. Σημαντικό ρόλο στο πεδίο αυτό διαδραματίζει η ομάδα braid και τα υποσύνολά της, καθώς εξασφαλίζουν την παραγωγή συμμετρικών λύσεων των εξισώσεων της κβαντικής ολοκληρωσιμότητας, με συστηματικό τρόπο. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το πλαίσιο παραγωγής τέτοιων λύσεων, και συγκεκριμένα δημοσιευμένα αποτελέσματα. Τέλος, στο κεφάλαιο 3 περιγράφονται εμβαπτίσεις μεμβρα- νών σε σφαιρικές υποπολλαπλότητες, όπως αυτές υπεισέρχονται στη θεωρία των χορδών. Εκτός της κατασκευής των συγκεκριμένων εμβαπτίσεων, παρουσιάζεται και η σχέση τους με συστήματα της φυσικής της συμπυκνωμένης ύλης, χρησιμοποιώντας το ισχυρό πλαίσιο της αντιστοιχίας AdS/CFT. / There is a special category of physical systems, called integrable. The integrability of a system implies directly that this is exactly solvable, while there usually exists a large amount of symmetry. The theory of integrable systems, both classical and quantum, provides the appropriate tools for the study of these models in a systematic way. In this dissertation we study such systems, giving emphasis on the underlying algebraic structures and symmetries. In the first part, we describe elements of the theory of classic integrable systems. The systematic way of describing them leads to natural extensions, for example by introducing non-trivial boundary conditions or local defects, in a way that the integrability of the system is preserved. In the second chapter the theory of integrability at the quantum level is described, as well as the framework for exactly solving such systems through powerful methods, such as Bethe ansatz method. Important role in this framework is played by the braid group and its quotients, as they provide a systematic way of obtaining solutions of the equations of quantum integrability in a systematic manner. This chapter describes the framework for the construction of such solutions, and particular published results. Finally, chapter 3 describes brane embeddings in sphere submanifolds, which exist within string theory. Besides the construction of these embeddings, their relation with systems of physics of condensed matter is presented, using the powerful framework of the AdS/CFT correspondence.

Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή και μελέτη συνολοθεωρητικών λύσεων της κβαντικής εξίσωσης Yang-Baxter (απεικονίσεις Yang-Baxter) και η συσχέτισή τους με την ολοκληρωσιμότητα διακριτών δυναμικών συστημάτων. Οι κατασκευές απεικονίσεων Yang-Baxter που προτείνονται προέρχονται από την αναπαραγοντοποίηση ισχυρών ζευγών Lax εξαρτώμενων από μια φασματική παράμετρο. Οι αντίστοιχοι πίνακες Lax προκύπτουν από την συμπλεκτική εμφύλλωση διωνυμικών πινάκων εφοδιασμένων με μια κατάλληλη δομή Poisson (αγκύλη Sklyanin). Στην περίπτωση των 2x2 πινάκων Lax, οι αντίστοιχες απεικονίσεις είναι συμπλεκτικές, τετράρητες και ταξινομούνται με βάση τον μεγιστοβάθμιο όρο του πίνακα Lax ως προς την ισοδυναμία απεικονίσεων Yang-Baxter. Εκφυλισμένες απεικονίσεις Yang-Baxter, οι οποίες σχετίζονται με γνωστές ολοκληρώσιμες εξισώσεις, προκύπτουν από όρια των τετράρητων (μη-εκφυλισμένων). Η σύνδεση μεταξύ απεικονίσεων Yang-Baxter και ολοκληρωσιμότητας επιτυγχάνεται θεωρώντας περιοδικά προβλήματα αρχικών τιμών σε δισδιάστατα πλέγματα. Σε κάθε απεικόνιση Yang-Baxter αντιστοιχεί μια οικογένεια αντιμεταθετικών απεικονίσεων μεταφοράς στο πλέγμα (transfer maps) που διατηρούν αναλλοίωτο το φάσμα του μονόδρομου πίνακά τους. Η αγκύλη Sklyanin εξασφαλίζει την ενέλιξη των ολοκληρωμάτων που προκύπτουν από το φάσμα του μονόδρομου πίνακα. Κατά αυτόν τον τρόπο από τις συμπλεκτικές απεικονίσεις Yang-Baxter που κατασκευάσαμε παράγονται ολοκληρώσιμες απεικονίσεις μεταφοράς. Τέλος, η μελέτη μας επεκτείνεται σε συστήματα πεπλεγμένων απεικονίσεων Yang-Baxter (entwining Yang-Baxter maps) . / The purpose of this thesis is the construction and the study of set theoretical solutions of the quantum Yang-Baxter equation (Yang-Baxter maps) and the connection with the integrability of discrete integrable systems. The constructions that we present are derived from the re-factorization of strong Lax pairs depending on a spectral parameter. The corresponding Lax matrices are obtained from the symplectic foliation of binomial matrices equipped with an appropriate Poisson bracket (Sklyanin bracket). In the case of 2x2 binomial Lax matrices, the corresponding maps are symplectic, quadrirational and can be classified with respect to the Yang-Baxter equivalence. Degenerate Yang-baxter maps constructed as limits of the quadrirational maps, are connected to known integrable equations. The connection between Yang-Baxter maps and integrability is achieved by considering periodic initial value problems on two dimensional lattices. For any Yang-Baxter map that admits a Lax matrix, there is a family of commuting transfer maps which preserve the spectrum of their monodromy matrix. The Skllyanin bracket ensures that the integrals obtained from the spectrum of the monodromy matrix are in involution. In this way, integrable transfer maps are generated from the symplectic Yang-Baxter maps that we constructed. Finally, our study is extended for systems of entwining Yang-Baxter maps.

Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζεται η μελέτη μιας οικογένειας εξισώσεων διαφορών (ή διακριτών εξισώσεων) χρησιμοποιώντας μεθόδους συμμετριών. Τέτοιες μέθοδοι είναι καλά θεμελιωμένες για την μελέτη και κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων. Στόχος είναι η χρήση συμμετριών για τη σύνδεση διαφορικών και διακριτών εξισώσεων, καθώς και η κατασκευή λύσεων των τελευταίων από συμμετρικές λύσεις των πρώτων. Συγκεκριμένα, μελετάμε διακριτές εξισώσεις που είναι αφινικά γραμμικές, έχουν τις συμμετρίες του τετραγώνου και εμπλέκουν τέσσερεις τιμές μιας άγνωστης συνάρτησης δύο ακέραιων μεταβλητών, οι οποίες σχηματιζούν ένα στοιχειώδες τετράπλευρο στο επίπεδο των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η διεξοδική μελέτη αυτής της οικογένειας οδηγεί στην κατασκευή ενός νόμου διατήρησης καθώς και σε συνθήκες γραμμικοποιήσης. Μέλη αυτής της οικογένειας είναι και οι ολοκληρώσιμες εξισώσεις της ταξινόμησης των Adler, Bobenko, Suris (ABS). Η ολοκληρωσιμότητα των εξισώσεων ABS προκύπτει από την πολυδιάστατη συμβατότητά τους. Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να επεκταθούν κατάλληλα σε εξισώσεις πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών. Η ιδιότητα αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε άμεσα έναν αυτομεταχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax χρησιμοποιώντας τις ίδιες τις εξισώσεις, στοιχεία που αποτελούν άλλη μια ένδειξη της ολοκληρωσιμότητάς τους. Η εξάρτηση των εξισώσεων ABS από δύο συνεχείς παραμέτρους μας επιτρέπει να μελετήσουμε επιπλέον και τις επεκταμένες συμμετρίες τους, δηλαδή τις συμμετρίες που δρουν και στις παραμέτρους. Αυτές οι συμμετρίες αποτελούν το βασικό εργαλείο για τη σύνδεσή τους με ολοκληρώσιμα συστήματα διαφορικών εξισώσεων. Την ολοκληρωσιμότητα αυτών των συμβατών διαφορικών συστημάτων την αποδεικνύουμε κατασκευάζοντας έναν αυτομετασχηματισμό Bäcklund και ένα ζευγάρι Lax. Η σύνδεση αυτή μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε λύσεις των διακριτών εξισώσεων από λύσεις του συμβατού συστήματος διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες συνδέονται με λύσεις των συνεχών εξισώσεων Painlevé. Από την άλλη, παρουσιάζεται η σύνδεση αυτών των συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με τις γεννήτριες εξισώσεις. Οι τελευταίες παρουσιάστηκαν αρχικά από τους Nijhoff, Hone, Joshi χρησιμοποιώντας άλλη προσέγγιση. Ωστόσο, η προσέγγιση μέσω συμμετρικών αναγωγών που παρουσιάζουμε εδώ είναι πιο άμεση και οδηγεί στα ίδια συμπεράσματα. Συνοψίζοντας, η παρούσα διατριβή παρουσιάζει μια καινοτομική χρήση των συμμετριών των διακριτών εξισώσεων για την κατασκευή λύσεων, αλλά και την σύνδεσή τους με συστήματα διαφορικών εξισώσεων. / In the present dissertation, we present the study of a family of discrete equations using symmetry-based techniques. Such methods are well established for the study of differential equations. We use the symmetries of discrete equations to establish new connections between discrete and differential equations, as well as to construct new solutions of the former in terms of similarity solutions of the latter. Specifically, we study discrete equations which are affine linear, possess the symmetries of the square and involve four values of an unknown function of two independent discrete variables forming a quadrilateral. The extensive study of this class leads to a conservation law, as well as to linearization conditions. Members of this family are the integrable equations of the Adler, Bobenko, Suris (ABS) classification. The integrability of the ABS equations follows from their multidimensional consistency. The latter implies that, the equation may be extended in a multidimensional lattice. This property allows us to derive directly an auto– Bäcklund transformation and a Lax pair, using the function defining these equations. These are another evidence of the integrability of the ABS equations. The dependence of these equations on two continuous parameters permits us to study their extended symmetries, i.e. symmetries acting on the parameters as well. These symmetries are our main tool in connecting the ABS equations to integrable systems of differential equations. The integrability of the latter is proved by the construction of an auto–Bäcklund transformation and a Lax pair. This connection provides us the means to construct solutions of the discrete equations from solutions of the compatible differential system, which are related to solutions of the continuous Painlevé equations. On the other hand, we present how these systems lead naturally to generating differential equations, which were presented by Nijhoff, Hone and Joshi starting from another point of view. However, our construction through symmetry reductions is more straightforward. Thus, in the present thesis is presented a novel usage of the symmetries of discrete equations in the construction of solutions and the connection between discrete and differential equations.

Στην παρούσα διατριβή μελετήσαμε την ολοκληρωσιμότητα του ανισοτροπικού προβλήματος Størmer (ASP) και του ισοσκελούς προβλημάτος τριών σωμάτων (IP), με εφαρμογή της θεωρίας Morales-Ramis-Simó. Τα αποτελέσματα της μελέτης δημοσιεύθηκαν στο περιοδικό Physica D: Nonlinear Phenomena. Ένα σύστημα Hamilton SH, Ν βαθμών ελευθερίας, είναι ολοκληρώσιμο (κατά Liouville) όταν επιδέχεται Ν συναρτησιακώς ανεξάρτητα και σε ενέλιξη πρώτα ολοκληρώματα. Οι J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis και C. Simó απέδειξαν ότι αν ένα SH είναι ολοκληρώσιμο, τότε η ταυτοτική συνιστώσα G0k της διαφορικής ομάδας Galois των εξισώσεων μεταβολών VE¬k τάξης k , που αντιστοιχούν σε μια ολοκληρωτική καμπύλη του SH, είναι αβελιανή. Το ASP μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα σύστημα Hamilton δυο βαθμών ελευθερίας που περιέχει τις παραμέτρους pφ και ν2>0, το οποίο περιγράφει την κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου υπό την επίδραση του μαγνητικού πεδίου ενός διπόλου. Οι Α. Almeida, T. Stuchi είχαν αποδείξει ότι το ASP είναι μη-ολοκληρώσιμο για pφ≠0 και ν2>0, ενω για pφ=0 είχαν αποδείξει τη μη-ολοκληρωσιμότητα των περιπτώσεων που αντιστοιχούν στις τιμές ν2≠5/12, 2/3. Η δική μας διερεύνηση απέδειξε ότι το ASP με pφ=0 (ASP0) είναι, επίσης, μη-ολοκληρώσιμο για ν2=5/12, 2/3. Αρχικά, με χρήση της μεθόδου Yoshida, αναλύσαμε τις G01 των VE¬1, που αντιστοιχούν σε δύο ολοκληρωτικές καμπύλες του ASP0, καταλήγοντας ότι οι G01 είναι μη-αβελιανές για ν2≠2/3. Στη συνέχεια, ορίσαμε τις VE3 κατά μήκος μιας τρίτης ολοκληρωτικής καμπύλης του ASP0 και δείξαμε ότι η αντίστοιχη G03 είναι μη-αβελιανή για ν2=2/3. Σύμφωνα με τη θεωρία Morales-Ramis-Simó, τα προαναφερόμενα αποδεικνύουν τη μη-ολοκληρωσιμότητα του ASΡ για pφ=0 και ν2>0. Το ΙΡ είναι μια υποπερίπτωση του προβλήματος τριών σωμάτων και μπορεί να μελετηθεί ως ένα σύστημα Hamilton δύο βαθμών ελευθερίας με παραμέτρους pφ και m, m3>0. Η προγενέστερη ανάλυση του ΙΡ υπεδείκνυε τη μη-ολοκληρωσιμότητα του συστήματος, όμως είχε πραγματοποιηθεί με χρήση αριθμητικών μεθόδων. Βρίσκοντας από μια ολοκληρωτική καμπύλη για κάθε μια απο τις περιπτώσεις pφ=0, pφ≠0, ορίσαμε τις αντίστοιχες VE1 και αποδείξαμε τη μη-ολοκληρωσιμότητα του ΙΡ. Για pφ=0 χρησιμοποιήσαμε τη μέθοδο Yoshida για να μελετήσουμε την G01, ενώ για pφ≠0 εφαρμόσαμε τον αλγόριθμο Kovacic και ερευνητικά αποτελέσματα των D. Boucher, J.A. Weil για να διερευνήσουμε την αντίστοιχη G01. Οι G01 και στις δυο προαναφερόμενες περιπτώσεις είναι μη-αβελιανές, οπότε το ΙΡ είναι μη-ολοκληρώσιμο, σύμφωνα με τη θεωρία Morales-Ramis-Simó. / In the present dissertation we studied the integrability of the anisotropic Stormer problem (ASP) and the isosceles three-body problem (IP), applying the Morales-Ramis-Simo theory. The results of our study were published by the journal Physica D: Nonlinear Phenomena. A Hamiltonian system SH, of N degrees of freedom, is integrable (in the Liouville sense) if it admits an involutive set of N functionally independent first integrals. J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis and C. Simó proved that if an SH is integrable, then the identity component G0k of the differential Galois group of the variational equations VE¬k of order k that correspond to an integral curve of the SH, is abelian. The ASP can be considered as a Hamiltonian system of two degrees of freedom that contains the parameters pφ and ν2>0, which describes the motion of a charged particle under the influence of the magnetic field of a dipole. Α. Almeida, T. Stuchi had proved that the ASP is non-integrable for pφ≠0 and ν2>0, while for pφ=0 they had proved the non-integrability of the cases that correspond to ν2≠5/12, 2/3. Our study proved that the ASP with pφ=0 (ASP0) is, also, non-integrable for ν2=5/12, 2/3. Initially, using the Yoshida method, we analysed the G01 of the VE¬1, that correspond to two integrals curves of the ASP0, concluding that they are non-abelian for ν2≠2/3. Then, we defined the VE3 along a third integral curve of the ASP0 and indicated that the corresponding G03 is non-abelian for ν2=2/3. According to the Morales-Ramis-Simó theory, the aforementioned considerations prove the non-integrability of the ASP for pφ=0 and ν2>0. The IP is a special case of the three-body problem and it can be treated as a Hamiltonian system of two degrees of freedom that embodies the parameters pφ and m, m3>0. Previous analysis of the IP suggested the non-integrability of the system, but it was performed with the use of numerical methods. Finding an integral curve for each of the cases pφ=0, pφ≠0, we defined the corresponding VE1 and proved the non-integrability of the IP. For pφ=0 we used the Yoshida method to examine G01 , while for pφ≠0 we applied the Kovacic algorithm and some results of D. Boucher, J.A. Weil to investigate the corresponding G01 . In both of the aforementioned cases the G01 were non-abelian, yielding IP non-integrable, according to the Morales-Ramis-Simó theory.