- / -

- / -

- / -

Στην παρούσα μελέτη, αφού ολοκληρώσαμε τις ήδη ευρεθείσες από άλλους ερευνητές, οικογένειες απλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, (δηλαδή τροχιών που είναι συμμετρικές ως προς το ισημερινό επίπεδο και το τέμνουν σε δυο σημεία), προχωρήσαμε ακόμη παραπέρα και για πρώτη φορά, υπολογίσαμε οικογένειες πολλαπλών συμμετρικών περιοδικών τροχιών, οι οποίες "διακλαδίζονται" από τις προηγούμενες, καθώς και οικογένειες ασύμμετρων περιοδικών τροχιών. Θα πρέπει ακόμη να σημειωθεί ότι υπολογίσαμε και τα ευσταθή τμήματα των οικογενειών αυτών, πράγμα που έχει ιδιαίτερη σημασία για τη μελέτη των ζωνών Van Allen. / -

Η ευαισθησία των συστημάτων είναι ένα σημαντικό θέμα της Θεωρίας Συστημάτων, το οποίο καλύπτεται σε εισαγωγικό επίπεδο με αυτή την εργασία. Η ευαισθησία αφορά τις διαφορές ανάμεσα στο πραγματικό σύστημα και στο μαθηματικό μοντέλο: αν κάποιες παράμετροι διαφέρουν αρκετά ανάμεσα στο πραγματικό σύστημα και στο μαθηματικό μοντέλο και η συμπεριφορά του συστήματος εξαρτάται κατά μεγάλο βαθμό από αυτές τις παραμέτρους, τότε η χρησιμότητα του μαθηματικού μοντέλου θα είναι πολύ μικρή αν δεν γνωρίζουμε ταυτόχρονα την παραμετρική ευαισθησία του συστήματος, δηλαδή την επίδραση των μεταβολών των παραμέτρων πάνω στην δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Βασικό ρόλο παίζει η προσομοίωση των εξισώσεων ευαισθησίας κατάστασης. Καθορίζουμε αρχικά τις εξισώσεις ευαισθησίας κατάστασης για παραμέτρους τύπου α και δείχνουμε ότι οι συναρτήσεις ευαισθησίας κατάστασης ενός συνεχούς συστήματος με χρονικά αμετάβλητες παραμέτρους καθορίζονται πάντα από ένα γραμμικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μηδενικές αρχικές συνθήκες. Στην συνέχεια θα επεκταθούμε και στην εύρεση των συναρτήσεων ευαισθησίας κατάστασης για την περίπτωση που έχουμε παραμέτρους τύπου β και θα δούμε ότι και εδώ οι εξισώσεις ευαισθησίας κατάστασης είναι πάντα γραμμικές και οι αρχικές συνθήκες είναι ή μηδέν ή μονάδα. Στη συνέχεια προχωράμε στην εύρεση των συναρτήσεων ευαισθησίας κατάστασης για την περίπτωση που έχουμε παραμέτρους τύπου λ, αφού δούμε πρώτα το πότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μειωμένο ονομαστικό μοντέλο. Επί πλέον, εξετάζουμε εν συντομία και τον καθορισμό των εξισώσεων ευαισθησίας εξόδου. Για την περίπτωση που έχουμε να μελετήσουμε και να συγκρίνουμε την παραμετρική ευαισθησία συστημάτων ανοικτού και κλειστού βρόχου καθώς επίσης και στην σύνθεση συστημάτων "αναίσθητων" σε παραμετρικές μεταβολές, είναι αναγκαίο να έχουμε έναν ορισμό ευαισθησίας που να είναι ανεξάρτητος από την μορφή του σήματος εισόδου, αλλά να εξαρτάται μόνο από την δομή του συστήματος. Αυτή η απαίτηση ικανοποιείται με τους ορισμούς ευαισθησίας στο πεδίο συχνότητας, οι οποίοι βασίζονται στην συνάρτηση μεταφοράς ή στον πίνακα μεταφοράς του συστήματος. Εξετάζουμε τη συνάρτηση ευαισθησίας του Bode, τη συνάρτηση ευαισθησίας του Horowitz και τη συγκριτική συνάρτηση ευαισθησίας των Perkins και Cruz. Η τελευταία μπορεί να γενικευθεί και σε μη γραμμικά, χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα. / The sensitivity of systems is an important theme of Systems Theory, which is covered to an introductory level in this work. The sensitivity concerns differences between the real system and the mathematical model: if some parameters are quite different between the real system and the mathematical model and the behavior of the system depends strongly on these parameters, the utility of the mathematical model will be very little if we do not know both the parametric sensitivity of the system, i.e. the effect of changes in parameters on the dynamic behavior of the system. A key role is played by simulating the state sensitivity equations. First we determine the state of sensitivity equations for parameters of type a and show that the state of sensitivity functions of a continuous system with time invariant parameters are always determined by a linear system of differential equations with zero initial conditions. Then we expand and find the state sensitivity functions for the case where we have parameters of type b and we see that here the situation sensitivity equations are always linear and the initial conditions are zero. Then we move on finding state sensitivity functions for the type lambda parameters, after we look when the reduced nominal model can use. Moreover, we look briefly at the output sensitivity equations. In case we have to study and compare the parametric sensitivity of open and closed-loop systems as well as in the synthesis systems "unconscious" to parametric changes, it is necessary to have a definition of sensitivity that is independent of the input signal format, but can depend only on the structure of the system. This requirement is satisfied by the definitions of sensitivity in the frequency domain, which are based on the transfer function or the system operator panel. We examine the sensitivity function of Bode, the sensitivity function of Horowitz and the comparative context sensitivity of Perkins and Cruz. The latter can be generalized to nonlinear, time-varying systems.

- / -

Στην παρούσα εργασία εξετάζεται, αριθμητικά και αναλυτικά (όπου αυτό είναι εφικτό), η συμπεριφορά ενός 2-διάστατου διακριτού συστήματος, το οποίο συνθέτουν ένας γραμμικός πίνακας και ένα διάνυσμα ασυνέχειας. Παρόλη την απλότητα της έκφρασής του, η συμπεριφορά του χαρακτηρίζεται από ποικιλομορφία και πολυπλοκότητα. Αλλοιώνοντας το αρχικό αυτό σύστημα, με την παρουσία μιας παραμέτρου διαταραχής (όπως την ονομάζουμε), και στη συνέχεια φράσσοντας τις τιμές του με modulo, παράγουμε δύο συγγενή συστήματα με έντονα πολύπλοκη και απεριοδική συμπεριφορά. Οι απεριοδικές αλληλουχίες τιμών που παράγονται με αυτόν τον τρόπο δύνανται να μετατραπούν (μέσω διαφόρων κατάλληλων κωδικοποιήσεων) σε αποτελεσματικούς κρυπτογραφικούς κλειδάριθμους. / In this paper, we present an application of the theory of symbolic dynamics to a class of discrete dynamical systems of interest to cryptography, which are composed of a linear part and a discontinuity. The irregular behavior of such systems is studied, in the sense of the existence of non-periodic orbits in certain areas of the configuration space. Some theorems are stated and proved, concerning the correspondence of such orbits with an infinite set of non-periodic symbolic series of infinite length. A specific dynamical system is used as an example, illustrating the remarkable patterns displayed by the dynamics of this class of systems. Keywords: Uncountably infinite, non-periodic symbolic series, disk of influence, eventually periodic orbit, pre-orbit point.

Το κύριο μέρος της διατριβής αρχίζει στο Κεφάλαιο 4 όπου παρουσιάζονται πρωτότυπα ερευνητικά αποτελέσματα της διατριβής που αφορούν στην κανονική και χαοτική δυναμική Χαμιλτώνιων συστημάτων λίγων βαθμών ελευθερίας. Περιγράφονται αποτελέσματα πάνω στη συμπεριφορά δεικτών διάκρισης οργανωμένης και χαοτικής δυναμικής στα συστήματα αυτά και γίνεται σύγκριση με τα αντίστοιχα της διεθνούς βιβλιογραφίας. Τέλος, αναφέρονται αποτελέσματα από τη θεωρία και την εφαρμογή της μεθόδου του Γενικευμένου Δείκτη Ευθυγράμμισης GALI, που αποτελεί ένα από τα πιο βασικά νέα στοιχεία της διατριβής, σε μη ολοκληρώσιμα Χαμιλτώνια συστήματα δύο και τριών βαθμών ελευθερίας. Το Κεφάλαιο 5 ασχολείται με την παρουσίαση πρωτότυπων ερευνητικών αποτελεσμάτων σε Χαμιλτώνια δυναμικά συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας. Εδώ, εισάγονται νέες μέθοδοι για την μελέτη των περιοχών κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς συστημάτων πολλών βαθμών ελευθερίας με σκοπό να κατανοηθεί η συμπεριφορά των συστημάτων αυτών στο θερμοδυναμικό όριο και να δοθεί μια απάντηση στο καίριο ερώτημα αν οι νόμοι της Στατιστικής Μηχανικής ισχύουν στην περίπτωση των πολυδιάστατων Χαμιλτώνιων συστημάτων που εξετάζονται εδώ. Ελέγχεται πως αυξάνουν οι χαοτικές περιοχές γύρω από ασταθείς Απλές Περιοδικές Λύσεις (ΑΠΛ) στον χώρο φάσεων, μετά από μία κρίσιμη τιμή της ολικής ενέργειας, η δε μετάβαση από περιορισμένο σε εκτεταμένο χάος, προκύπτει από το ότι συχνά σε περιοχές διαφορετικών ασταθών ΑΠΛ συγκλίνουν τα αντίστοιχα φάσματα Lyapunov στην ίδια εκθετική συνάρτηση. Υπολογίζοντας κατόπιν το άθροισμα των θετικών εκθετών Lyapunov, που αντιστοιχεί στην εντροπία Kolmogorov - Sinai και διαπιστώνεται ότι για τα συστήματα που εξετάζονται στη διατριβή αυτή, η εντροπία KS αυξάνει γραμμικά, συναρτήσει των βαθμών ελευθερίας N, επιβεβαιώνοντας έτσι ότι είναι εκτεταμένη ποσότητα της Στατιστικής Μηχανικής. Τέλος εισάγεται η νέα μέθοδος του Δείκτη Γραμμικής Εξάρτησης (LDI) για τον διαχωρισμό χαοτικών και οργανωμένων τροχιών και αναφέρονται τα συγκριτικά της πλεονεκτήματα σε σχέση με τις μεθόδους των Κεφαλαίων 3 και 4. Αξίζει επίσης να αναφερθεί ότι πολλά αποτελέσματα της διατριβής μπορούν να εφαρμοσθούν για τη μελέτη της δυναμικής συμπλεκτικών απεικονίσεων, για τις οποίες ο κ .Αντωνόπουλος ανέπτυξε μια νέα μέθοδο που συνδυάζει τη χρήση δικών του μεθόδων και των λεγόμενων Διαφοροεξελικτικών Αλγορίθμων, για την εύρεση της δυναμικής ακτίνας ευστάθειας συμπλεκτικών απεικονίσεων που περιγράφουν επιταχυντές σωματιδίων υψηλών ενεργειών. / The main part of the thesis begins with Chapter 3, where new research results are presented which concern the regular and chaotic dynamics of Hamiltonian systems of few degrees of freedom. Results are described on the behavior of indices distinguishing organized from chaotic motion in these systems and a comparison is made with corresponding results in the international literature. Then, new findings are reported on the theory and application of the method of the Generalized Alignment Index GALI, which is one of the most basic discoveries of the thesis in nonintegrable Hamiltonian systems of 2 and 3 degrees of freedom. Chapter 5 deals with the presentation of original research results in Hamiltonian systems of many degrees of freedom. Here new methods are introduced for the study of regions of regular and chaotic behavior of multi degree of freedom systems with the primary aim of understanding the behavior of these systems in the thermodynamic limit to give an answer to the crucial question of whether the laws of Statistical mechanics hold in the case of multi dimensional Hamiltonian systems. The author studies how chaotic regions increase in size around unstable Simple Periodic Orbits (SPOs) in phase space, beyond a critical value of the energy, while the transition from limited to widespread chaos is indicated by the fact that in regions of different unstable SPOs the corresponding Lyapunov spectra converge to the same exponential – like function. Computing then the sum of the positive Lyapunov exponents, which corresponds to the so called Kolmogorov – Sinai entropy, it is shown that the systems that are studied in this thesis the KS entropy increases linearly as a function of the number of degrees of freedom N, thus confirming that it is an extensive quantity of Statistical Mechanics. Finally, the new method of the Linear Dependence Index (LDI) is introduced for distinguishing between regular and chaotic orbits and its advantages are described when compared with the methods of Chapters 3 and 4. It is worth mentioning also that many of the results of this thesis can be applied to the study of the dynamics of symplectic mappings, for which Mr. Antonopoulos developed a new method which combines his techniques with those of Evolutionary Algorithms, for determining the dynamical aperture radius for the stability of symplectic maps which describe the dynamics of high energy particle accelerators.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την κλασική δυναμική ατόμου υδρογόνου σε γενικευμένο δυναμικό Van der Waals. Το πρόβλημα ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των μη γραμμικών Χαμιλτώνιων δυναμικών συστημάτων. Σκοπός της μελέτης είναι η ανάλυση των ιδιομορφιών της κανονικής και χαοτικής κίνησης του συστήματος στο μιγαδικό πεδίο του χρόνου και η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την ολοκληρωσιμότητα και επιλυσιμότητά του. Εκείνο που θέλουμε να κατανοήσουμε, επίσης, είναι τον ρόλο που παίζει η εμφάνιση ιδιομορφιών σε κάποια σημεία του χώρου των φάσεων και κατά πόσο μπορούν αυτές να επηρεάσουν συνολικά τις ιδιότητες των λύσεων. Για πρώτη φορά, επίσης, στην διπλωματική αυτή εργασία εφαρμόζεται σε ένα Χαμιλτώνιο δυναμικό σύστημα μία νέα αριθμητική μέθοδος διάκρισης μεταξύ κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς σε διαφορετικές περιοχές του χώρου φάσεων, η μέθοδος των Μικρότερων Δεικτών Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Indices method ή SALI). Η μέθοδος αυτή έχει χρησιμοποιηθεί κατά το πρόσφατο παρελθόν σε απεικονίσεις δύο, τεσσάρων και έξι διαστάσεων με πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Χαρακτηριστικά της είναι η αποτελεσματικότητα και η δυνατότητα εξαγωγής χρήσιμων συμπερασμάτων ως προς την κανονική και χαοτική φύση των τροχιών ενός δυναμικού συστήματος με μεγαλύτερη ταχύτητα και αξιοπιστία από την μέθοδο των χαρακτηριστικών εκθετών Lyapunov καθώς και άλλων νεότερων μεθόδων στην σύγχρονη βιβλιογραφία. Εδώ θα παρουσιασθεί η μέθοδος αυτή με ορισμένες βελτιώσεις ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οποιασδήποτε διάστασης ελέγχοντας συστηματικά ένα όσο πυκνό πλέγμα αρχικών συνθηκών του χώρου φάσεων επιθυμούμε, αντιστοιχώντας σε κάθε μία από αυτές ένα χρώμα. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί και σε ένα διαφορετικό εύρος τάξεων του SALI δημιουργώντας έτσι μία συνολική εικόνα στο χώρο φάσεων που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε τη φύση της τροχιάς κάθε συγκεκριμένης αρχικής συνθήκης. Σχηματίζεται με αυτόν τον τρόπο το "μωσαϊκό" του χώρου φάσεων και αποκαλύπτονται περιοχές κανονικής κίνησης, χαοτικής κίνησης καθώς και νησίδες ή περιοχές στις οποίες δεν αντιστοιχεί καθόλου κίνηση. / In this master thesis we study the classical dynamics of hydrogen atoms in a generalized Van der Waals potential. The problem belongs to the class of non linear Hamiltonian systems. Our aim is the singularity analysis of the ordered and chaotic motion of the system in the complex plain of time and the extraction of valuable conclusions concerning its integrability and solvability. What we want to understand, also, is the role of the emergence of singularities in some points of the phase space of the aforementioned system and how the singularities can affect globally the properties of the solutions. For the first time, in this master thesis, we introduce and apply in a Hamiltonian system a new numerical method for the fast and efficient discrimination between ordered and chaotic motion in different parts of phase space, namely the method of the Smaller Alignment Index (SALI). The method has been introduced and applied recently in mappings of two, four and six dimensions with very satisfactory results. Its main characteristics are the effectiveness and the ability of extracting valuable conclusions about the ordered and chaotic nature of trajectories of a dynamical system faster than the traditional method of Lyapunov exponents as well as of other indices in the bibliography. We will introduce SALI with appropriate modifications that help using it in non linear systems of differential equations of arbitrary dimensions checking systematically a dense grid of initial conditions and corresponding in every orbit a different color. Every color corresponds to a different range of SALI values creating by that way a global picture of the phase space that allows us to know the dynamic nature of initial conditions. By that way, we construct a “mosaic” of the phase space and reveal parts of ordered motion as well as parts of chaotic motion and islands of stability.

Η τοπολογική ταξινόμηση και μελέτη διανυσματικών πεδίων αποτελεί το κύριο θέμα αυτής της διατριβής. Στο Κεφάλαιο 1 δίνονται οι απαραίτητοι ορισμοί, καθώς και τα αποτελέσματα επί της ταξινόμησης διανυσματικών πεδίων σε μονοδιάστατες και δισδιάτατες πολλαπλότητες. Στο Κεφάλαιο 2 τεχνικές της Θεωρίας Κόμβων χρησιμοποιούνται προκειμένου να μελετηθεί η τοπολογική δομή ορισμένων παράξενων ελκυστών που εμφανίζονται στη διεθνή βιβλιογραφία. Στο Κεφάλαιο 3 αναπτύσσεται μία μέθοδος η οποία επιτρέπει την ολική τοπολογική ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων σε ευκλείδειους χώρους οποιασδήποτε διάστασης. Η μέθοδος αυτή έπειτα εφαρμόζεται στην ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων του R^2 και του R^3. Στο Κεφάλαιο 4 μελετάται ένα διανυσματικό πεδίο του R^3 αμετάβλητο από την D_2 ομάδα. Δίνεται η ολική του μελέτη, για διάφορες τιμές των παραμέτρων, και το μερικό του διάγραμμα διακλάδωσης. Αποδεικνύεται η ύπαρξη χάους και συνδέεται με τις συμμετρικές ιδιότητες του συστήματος, ενώ η μελέτη ολοκληρώνεται με τη συμπεριφορά του συστήματος στο άπειρο. / The topological classification and study of vector fields is the subject of this thesis. In Chapter 1 the necessary definitions are given, along with the known results on the classification of vector fields on 1-dimensional and 2-dimensional manifolds. In Chapter 2 methods of Knot Theory are used for the clarification of the topological study of some strange attractors found in the bibliography. In Chapter 3 a technique is developed, which can be used to classify globally vector fields defined on Euclidean spaces of any dimension. This technique is then used to classify some vector fields of R^2 and R^3. In the final Chapter 4 a vector field of R^3 is studied which is invariant under the D_2 symmetry group. We present its global phase portrait, for various parameter values, and its partial bifurcation diagram. The existence of chaos is proven and its connection to the symmetry properties of the attractor is discussed. We end its study presenting its behavior at infinity.