Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την κλασική δυναμική ατόμου υδρογόνου σε γενικευμένο δυναμικό Van der Waals. Το πρόβλημα ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των μη γραμμικών Χαμιλτώνιων δυναμικών συστημάτων. Σκοπός της μελέτης είναι η ανάλυση των ιδιομορφιών της κανονικής και χαοτικής κίνησης του συστήματος στο μιγαδικό πεδίο του χρόνου και η εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με την ολοκληρωσιμότητα και επιλυσιμότητά του. Εκείνο που θέλουμε να κατανοήσουμε, επίσης, είναι τον ρόλο που παίζει η εμφάνιση ιδιομορφιών σε κάποια σημεία του χώρου των φάσεων και κατά πόσο μπορούν αυτές να επηρεάσουν συνολικά τις ιδιότητες των λύσεων. Για πρώτη φορά, επίσης, στην διπλωματική αυτή εργασία εφαρμόζεται σε ένα Χαμιλτώνιο δυναμικό σύστημα μία νέα αριθμητική μέθοδος διάκρισης μεταξύ κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς σε διαφορετικές περιοχές του χώρου φάσεων, η μέθοδος των Μικρότερων Δεικτών Ευθυγράμμισης (Smaller Alignment Indices method ή SALI). Η μέθοδος αυτή έχει χρησιμοποιηθεί κατά το πρόσφατο παρελθόν σε απεικονίσεις δύο, τεσσάρων και έξι διαστάσεων με πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσματα. Χαρακτηριστικά της είναι η αποτελεσματικότητα και η δυνατότητα εξαγωγής χρήσιμων συμπερασμάτων ως προς την κανονική και χαοτική φύση των τροχιών ενός δυναμικού συστήματος με μεγαλύτερη ταχύτητα και αξιοπιστία από την μέθοδο των χαρακτηριστικών εκθετών Lyapunov καθώς και άλλων νεότερων μεθόδων στην σύγχρονη βιβλιογραφία. Εδώ θα παρουσιασθεί η μέθοδος αυτή με ορισμένες βελτιώσεις ώστε να μπορεί να εφαρμοσθεί σε συστήματα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οποιασδήποτε διάστασης ελέγχοντας συστηματικά ένα όσο πυκνό πλέγμα αρχικών συνθηκών του χώρου φάσεων επιθυμούμε, αντιστοιχώντας σε κάθε μία από αυτές ένα χρώμα. Κάθε χρώμα αντιστοιχεί και σε ένα διαφορετικό εύρος τάξεων του SALI δημιουργώντας έτσι μία συνολική εικόνα στο χώρο φάσεων που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε τη φύση της τροχιάς κάθε συγκεκριμένης αρχικής συνθήκης. Σχηματίζεται με αυτόν τον τρόπο το "μωσαϊκό" του χώρου φάσεων και αποκαλύπτονται περιοχές κανονικής κίνησης, χαοτικής κίνησης καθώς και νησίδες ή περιοχές στις οποίες δεν αντιστοιχεί καθόλου κίνηση. / In this master thesis we study the classical dynamics of hydrogen atoms in a generalized Van der Waals potential. The problem belongs to the class of non linear Hamiltonian systems. Our aim is the singularity analysis of the ordered and chaotic motion of the system in the complex plain of time and the extraction of valuable conclusions concerning its integrability and solvability. What we want to understand, also, is the role of the emergence of singularities in some points of the phase space of the aforementioned system and how the singularities can affect globally the properties of the solutions. For the first time, in this master thesis, we introduce and apply in a Hamiltonian system a new numerical method for the fast and efficient discrimination between ordered and chaotic motion in different parts of phase space, namely the method of the Smaller Alignment Index (SALI). The method has been introduced and applied recently in mappings of two, four and six dimensions with very satisfactory results. Its main characteristics are the effectiveness and the ability of extracting valuable conclusions about the ordered and chaotic nature of trajectories of a dynamical system faster than the traditional method of Lyapunov exponents as well as of other indices in the bibliography. We will introduce SALI with appropriate modifications that help using it in non linear systems of differential equations of arbitrary dimensions checking systematically a dense grid of initial conditions and corresponding in every orbit a different color. Every color corresponds to a different range of SALI values creating by that way a global picture of the phase space that allows us to know the dynamic nature of initial conditions. By that way, we construct a “mosaic” of the phase space and reveal parts of ordered motion as well as parts of chaotic motion and islands of stability.