Το κύριο μέρος της διατριβής αρχίζει στο Κεφάλαιο 4 όπου παρουσιάζονται πρωτότυπα ερευνητικά αποτελέσματα της διατριβής που αφορούν στην κανονική και χαοτική δυναμική Χαμιλτώνιων συστημάτων λίγων βαθμών ελευθερίας. Περιγράφονται αποτελέσματα πάνω στη συμπεριφορά δεικτών διάκρισης οργανωμένης και χαοτικής δυναμικής στα συστήματα αυτά και γίνεται σύγκριση με τα αντίστοιχα της διεθνούς βιβλιογραφίας. Τέλος, αναφέρονται αποτελέσματα από τη θεωρία και την εφαρμογή της μεθόδου του Γενικευμένου Δείκτη Ευθυγράμμισης GALI, που αποτελεί ένα από τα πιο βασικά νέα στοιχεία της διατριβής, σε μη ολοκληρώσιμα Χαμιλτώνια συστήματα δύο και τριών βαθμών ελευθερίας. Το Κεφάλαιο 5 ασχολείται με την παρουσίαση πρωτότυπων ερευνητικών αποτελεσμάτων σε Χαμιλτώνια δυναμικά συστήματα πολλών βαθμών ελευθερίας. Εδώ, εισάγονται νέες μέθοδοι για την μελέτη των περιοχών κανονικής και χαοτικής συμπεριφοράς συστημάτων πολλών βαθμών ελευθερίας με σκοπό να κατανοηθεί η συμπεριφορά των συστημάτων αυτών στο θερμοδυναμικό όριο και να δοθεί μια απάντηση στο καίριο ερώτημα αν οι νόμοι της Στατιστικής Μηχανικής ισχύουν στην περίπτωση των πολυδιάστατων Χαμιλτώνιων συστημάτων που εξετάζονται εδώ. Ελέγχεται πως αυξάνουν οι χαοτικές περιοχές γύρω από ασταθείς Απλές Περιοδικές Λύσεις (ΑΠΛ) στον χώρο φάσεων, μετά από μία κρίσιμη τιμή της ολικής ενέργειας, η δε μετάβαση από περιορισμένο σε εκτεταμένο χάος, προκύπτει από το ότι συχνά σε περιοχές διαφορετικών ασταθών ΑΠΛ συγκλίνουν τα αντίστοιχα φάσματα Lyapunov στην ίδια εκθετική συνάρτηση. Υπολογίζοντας κατόπιν το άθροισμα των θετικών εκθετών Lyapunov, που αντιστοιχεί στην εντροπία Kolmogorov - Sinai και διαπιστώνεται ότι για τα συστήματα που εξετάζονται στη διατριβή αυτή, η εντροπία KS αυξάνει γραμμικά, συναρτήσει των βαθμών ελευθερίας N, επιβεβαιώνοντας έτσι ότι είναι εκτεταμένη ποσότητα της Στατιστικής Μηχανικής. Τέλος εισάγεται η νέα μέθοδος του Δείκτη Γραμμικής Εξάρτησης (LDI) για τον διαχωρισμό χαοτικών και οργανωμένων τροχιών και αναφέρονται τα συγκριτικά της πλεονεκτήματα σε σχέση με τις μεθόδους των Κεφαλαίων 3 και 4. Αξίζει επίσης να αναφερθεί ότι πολλά αποτελέσματα της διατριβής μπορούν να εφαρμοσθούν για τη μελέτη της δυναμικής συμπλεκτικών απεικονίσεων, για τις οποίες ο κ .Αντωνόπουλος ανέπτυξε μια νέα μέθοδο που συνδυάζει τη χρήση δικών του μεθόδων και των λεγόμενων Διαφοροεξελικτικών Αλγορίθμων, για την εύρεση της δυναμικής ακτίνας ευστάθειας συμπλεκτικών απεικονίσεων που περιγράφουν επιταχυντές σωματιδίων υψηλών ενεργειών. / The main part of the thesis begins with Chapter 3, where new research results are presented which concern the regular and chaotic dynamics of Hamiltonian systems of few degrees of freedom. Results are described on the behavior of indices distinguishing organized from chaotic motion in these systems and a comparison is made with corresponding results in the international literature. Then, new findings are reported on the theory and application of the method of the Generalized Alignment Index GALI, which is one of the most basic discoveries of the thesis in nonintegrable Hamiltonian systems of 2 and 3 degrees of freedom. Chapter 5 deals with the presentation of original research results in Hamiltonian systems of many degrees of freedom. Here new methods are introduced for the study of regions of regular and chaotic behavior of multi degree of freedom systems with the primary aim of understanding the behavior of these systems in the thermodynamic limit to give an answer to the crucial question of whether the laws of Statistical mechanics hold in the case of multi dimensional Hamiltonian systems. The author studies how chaotic regions increase in size around unstable Simple Periodic Orbits (SPOs) in phase space, beyond a critical value of the energy, while the transition from limited to widespread chaos is indicated by the fact that in regions of different unstable SPOs the corresponding Lyapunov spectra converge to the same exponential – like function. Computing then the sum of the positive Lyapunov exponents, which corresponds to the so called Kolmogorov – Sinai entropy, it is shown that the systems that are studied in this thesis the KS entropy increases linearly as a function of the number of degrees of freedom N, thus confirming that it is an extensive quantity of Statistical Mechanics. Finally, the new method of the Linear Dependence Index (LDI) is introduced for distinguishing between regular and chaotic orbits and its advantages are described when compared with the methods of Chapters 3 and 4. It is worth mentioning also that many of the results of this thesis can be applied to the study of the dynamics of symplectic mappings, for which Mr. Antonopoulos developed a new method which combines his techniques with those of Evolutionary Algorithms, for determining the dynamical aperture radius for the stability of symplectic maps which describe the dynamics of high energy particle accelerators.

Τα φυσικά ανάλογα έχουν αποδειχθεί, στο παρελθόν, ιδιαίτερα υποσχόμενα για την κατανόηση της συμπεριφοράς των σύνθετων προσαρμοστικών συστημάτων, συμπεριλαμβανομένων της μακροοικονομίας, των βιολογικών συστημάτων και των κοινωνικών δικτύων, καθώς πολλά από τα σημερινά τεχνικά ερωτήματα μπορούν να μετατραπούν σε ένα πρόβλημα κατανεμημένου οικονομικού ελέγχου. Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η κατασκευή κι αξιοποίηση ενός τέτοιου ανάλογου με τη θερμοδυναμική, ατομική και στατιστική φυσική για τη μελέτη της συμπεριφοράς των απελευθερωμένων αγορών ηλεκτρικής ενέργειας. Αρχικά, επιχειρείται η συστημική ανάλυση όλων των συντελεστών, παραγόντων και λειτουργιών μίας αγοράς ηλεκτρισμού, με εκτενή αναφορά στην ελληνική πραγματικότητα, και, στη συνέχεια, αυτή μοντελοποιείται μαθηματικά, μέσω της οικονομικής ανάλυσης των αγορών και της προσέγγισης εκείνων των οικονομικών μοντέλων αγορών που ανταποκρίνονται στα δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας. Έπειτα, πραγματοποιείται μία εισαγωγή στην εφαρμοσμένη, κατά τον ίδιο τρόπο, στατιστική μηχανική, με τη συνοπτική περιγραφή αντίστοιχων προσεγγίσεων σε γνωστά μοντέλα του χρήματος, του χρέους και της ενεργειακής κατανάλωσης, ενώ τελικά κατασκευάζεται το ζητούμενο μοντέλο που διέπεται από τους κανόνες της στατιστικής μηχανικής, τους περιορισμούς και τις ιδιότητες της ελεύθερης αγοράς ηλεκτρισμού. / Physical analogs have previously proved to be quite promising for understanding the behavior of complex adaptive systems, including macroeconomics, biological systems and social networks, since many of today’s challenging technical questions and problems can be reduced to a distributed economic control problem. The purpose of this thesis is the derivation and development of such an analog to thermal, atomic and statistical physics, in order to study the behavior of free power markets. At first, a systemic approach of all agents, factors and functions of an electric power market is being attempted, with an extended reference to the greek power system and market, and, later, markets are being mathematically modeled, through the economic analysis of markets in general and the approach in those models which can be or have been adopted for electic power transactions. Then, an introduction to respectively applied statistical mechanics is being made, along with a summarized description of previous analogs invented for analyzing the models of money, debt and energy consumption, and, finally, the required model, ruled by the laws of statistical physics and the constraints and properties of free electric power markets, is being developed.