I denne rapporten sammenligner vi tre varianter av MarkovChain Monte Carlo (MCMC) - simulering av Isingmodellen. Vi sammenlignerenkeltnode-oppdatering, naiv blokkoppdatering og rekursiv blokkoppdatering.Vi begynner med å gi en generell introduksjon til markovfelt og Isingmodellen.Deretter viser vi det teoretiske fundamentet som MCMC-metoder hviler på. Etterdet gir vi en teoretisk introduksjon til enkeltnode-oppdatering. Så gir vi en innføringi naiv blokkoppdatering som er den tradisjonelle metoden å utføre blokkoppdateringpå. Deretter gir vi en tilsvarende innføring i en nylig foreslått metodefor å gjennomføre blokkoppdatering, nemlig rekursiv blokkoppdatering. Blokkoppdateringer en metode som har vist seg nyttig med hensyn på miksing når visimulerer. Med det menes at blokkoppdatering har vist seg nyttig i forhold til åutforske utfallsrommet til fordelingen vi er interessert i med færre iterasjoner ennenkeltnode-oppdatering. Problemet med naiv blokkoppdatering er imidlertid atvi raskt får en høy beregningsmengde ved at hver iterasjon tar veldig lang tid. Viprøver også ut rekursiv blokkoppdatering. Denne tar sikte på å redusere beregningsmengdenfor hver iterasjon når vi utfører blokkoppdatering på et markovfelt.Vi viser så simuleringsalgoritmer og resultater. Vi har simulert Isingmodellenmed enkeltnode-oppdatering, naiv blokkoppdatering og rekursiv blokkoppdatering.Det vi sammenligner er antall iterasjoner før markovfeltet konvergerer ogspesielt beregningstiden pr iterasjon. Vi viser at beregningsmengden pr iterasjonøker med 91000 ganger med naiv blokkoppdatering dersom vi går fra en 3 × 3blokk til en 5 × 5 blokk. Tilsvarende tall for rekursiv blokkoppdatering er enøkning på 83 ganger fra en 3 × 3 blokk til en 5 × 5 blokk.Vi sammenligner også tiden det tar før Isingmodellen konvergerer. Når vibenytter naiv blokkoppdatering finner vi at Isingmodellen bruker 15 sekunderpå å konvergere med en 3 × 3 blokk, 910 sekunder på å konvergere med en4×4 blokk og 182000 sekunder med en 5×5 blokk. Tilsvarende tall for rekursivblokkoppdatering er 3.74 sekunder for en 3 × 3 blokk, 72 sekunder for en 4 × 4blokk og 141.2 sekunder for en 5×5 blokk. Når vi benytter enkeltnode-oppdateringbruker feltet 6.6 sekunder på å konvergere. / ntnudaim20061385

<p>I denne oppgaven vil vi definere og vise eksistens av haarmål på kompakte kvantegrupper, se på hvordan vi ved hjelp av haarmålet kan konstruere en høyreregulær representasjon. Vi vil så gjøre dette ganske eksplisitt for kvante-SU(2).</p>

<p>Det er benyttet regresjonsanalyse for å analysere innsamlet data. For å unngå eller begrense effektene av multikolinearitet er ridgeregresjon tatt i bruk. Fordi målingene er korrelerte med hverandre er generaliserte minstekvadraters metode benyttet. Det er forsøkt å besvare problemstillingen i tre situasjoner. Den første skal være representativ for forhold lignende de teststasjonen er utsatt for. Den andre og tredje skal representere situasjoner som er henholdsvis svakt og sterkt eksponert for råtevekst.</p>

<p>StatoilHydro is the operator of the Åsgard oil and gas field outside of Trøndelag, Norway, where large compressors for injection, recompression and export of natural gas are installed. The facility transports and stores up to 36 millions $Sm^3$ of gas every day. If the compressors are not optimally operated, large values are lost. This paper describes how to use linear mixed models to model the condition of the compressors. The focus has been on the 1- and 2- stage recompression compressors. Reference data from Dresser-Rand have been used to make the model. Head and flow data are the modelled, and the explanatory variables used are molweight, rotational speed and an efficiency indicator. The paper also shows how cross validation is used to give an indication of how future datapoints will fit the model. A graphical user interface has been developed to do estimation and plotting with various models. Different models are tested and compared by likelihood methods. For a relatively simple model using three explanatory variables reasonable predictions are obtained. Results are not so good for very high rotational speeds and high molweights.</p>

<p>Den grafiske analyseringen av tonivåforsøk har lenge begrenset seg til Lenth's metode, normalplott og halvnormalplott. Disse plotta baserer seg på at de estimerte kontrastene enten representerer aktive effekter eller støy. For design som ikke tilhører 2^(k-p) familien, dvs. de ikke-geometriske designa, er ikke dette lenger oppfylt. I denne oppgaven viser vi hvordan en ved hjelp av scatterplott og dendogram av absoluttverdien til hovedeffekter og tofaktorsamspill, sammen med aliasstrukturen til designa og ortogonalisering, kan konstruere plott som gjør det lettere å finne aktive effekter. Designa som blir undersøkt er 12 forsøks Plackett and Burman design og to design med 16 forsøk. Nøkkelord: Plackett and Burman, Ortogonalisering, 16 forsøks design, Tonivåforsøk</p>

<p>I denne rapporten beskriver vi en statistisk modell som fanger opp teksturer i et bilde og overfører disse til et annet bilde. Vi modellerer bilder som markovfelt, og beskriver filtre som vi bruker til å fange opp forskjellen mellom et observert og et syntetisk bilde ved hjelp av histogrammer. Denne forskjellen benytter vi til å oppdatere en sannsynlighetsfordeling for det syntetiske bildet ved hjelp av metoden for sannsynlighetsmaksimering. Deretter oppdaterer vi det syntetiske bildet ved å simulere fra den oppdaterte sannsynlighetsfordelingen ved hjelp av Metropolis-Hastings algoritme. Vi implementerer denne modellen på algoritmeform, og evaluerer algoritmen i flere situasjoner. Vi undersøker først om algoritmen kan gjenskape en tydelig struktur. Her virker algoritmen å bestemme en fornuftig sannsynlighetsfordeling, men mikser for dårlig til at vi kan skape nye realisasjoner ved å simulere fra denne. Videre forsøker vi å gjenskape forskjellige AR(2)-prosesser. Her klarer algoritmen å gjenskape realisasjoner med samme langsiktige trender som i de observerte prosessene, men klarer ikke å fange opp mer lokale teksturegenskaper. Vi opplever det samme når vi tester algoritmen på kunstig genererte geologiske realisasjoner, enkelte langsiktige teksturegenskaper fanges opp, men ikke lokale i like stor grad.</p>

<p>Vi har i denne masteroppgaven sett nærmere på Gröbner-baser og signaturskjemaet Unbalanced Oil and Vinegar. Vi har sett nærmere på Gröbner-basenes definisjoner og sett hvordan Gröbner-baser kan genereres ved Buchbergers algoritme. Videre har vi sett hvordan Gröbner-baser hjelper for å gi resten i divisjonsalgoritmen i den multivariable polynomringen unikhet og indirekte dermed løse idealmedlemskapsproblemet. Videre undersøkte vi mulighetene for å bruke Gröbner-baser til å lage et offentlig nøkkel-kryptosystem. Foreløpig er det ingen som har greid å lage et slikt kryptosystem som har stått imot visse angrep. Den neste delen av oppgaven tok for seg signaturskjemaet Unbalanced Oil and Vinegar. Vi har presentert teorien bak UOV og sett nærmere på et enkelt eksempel. I tillegg har vi undersøkt tre angrep på UOV, der det ene var basert på Gröbner-baser. Det viser seg at UOV virker resistent mot disse angrepene gitt at vi tar visse forholdsregler med parametrene. For angrepet basert på Gröbner-baser må systemet være av en viss størrelse for at sikkerheten skal ivaretas. Avslutningsvis har vi sett på forbedrede algoritmer for å beregne Gröbner-baser. Den første algoritmen vi så på var $F_4$ -algoritmen som tok i bruk lineæralgebra, mens den andre, $F_5$-algoritmen, tok utgangspunkt i å kutte ut unødvendige beregninger. Det viser seg at både $F_4$- og $F_5$-algoritmen kraftig forbedrer beregningstiden for å finne en Gröbner-basis.</p>

<p>I denne masteroppgaven ser vi nærmere på Gröbner-baser og kryptosystemet Hidden Field Equations. Vi begynner med å se på flere algebraiske begreper knyttet til Gröbner-baser, og hvordan Gröbner-baser kan beregnes vha. Buchbergers algoritme. I den siste delen av første kapittel ser vi hvordan Gröbner-baser kan brukes til å løse polynomiske ligningssystemer. Videre ser vi på kryptosystemet Hidden Field Equations. Vi begynner med den matematiske teorien som ligger bak HFE-systemet, for deretter å gi en beskrivelse av selve krypteringen. For å øke forståelsen av kryptosystemet, ser vi på et enkelt eksempel. Flere angrep på HFE har blitt forsøkt, og disse kan grovt sett deles inn i to klasser. Den ene typen angrep utnytter bestemte egenskaper i det konkrete kryptosystemet, mens den andre typen består av generelle algoritmer for å løse multivariate ligningssystemer. I denne oppgaven fokuserer vi på den siste typen, nærmere bestemt algoritmer som beregner en Gröbner-basis for et gitt ligningssystem. I kapittel 3 gjennomgår vi et Gröbner-basisangrep på HFE. I den siste delen av oppgaven ser vi på koblingen mellom Gröbner-baser og lineær algebra. Vi ser deretter på forbedringer av Buchbergers originale algoritme. Vi studerer F4-algoritmen som tar i bruk lineær algebra, og en videreutvikling av F4, kalt F5. F5 tar utgangspunkt i å kutte ut unødvendige beregninger ved å bruke det såkalte F5-kriteriet. Et tilsvarende kriterium, formulert av Gebauer og Möller, blir også gjennomgått.</p>

<p>PI by FFT har blitt implementert og sammenlignet med tre andre numeriske løsere på to 2D-modeller av partikkelakselleratorer. Løsningen med differenseskjema krever en transformasjon til den tilhørende Fokker-Planck-ligningen, som er vist i seksjon 3. Det blir også vist hvordan multiplikativ støy kan transformeres til additiv støy, og modeller i finans med mer generelle støykilder blir brukt til opsjonsprising. Kildekoden krever installasjon av det C++-baserte ROOT-rammeverket fra CERN.</p>

<p>We give an short introduction to the Camassa-Holm equation and its travelling wave solutions. Many well-known equations in mathematical physics describe geodesic flows on appropriate Lie groups. The choice of group and metric defines the Euler equation. We show that by choosing the group of diffeomorphisms on the circle and the Sobolev H^1-metric one gets the Camassa-Holm equation. The equation is shown to have a bi-Hamiltonian structure, and thus infinitely many conserved quantities. We introduce a new class of methods that can be applied to the Euler equation. We solve the Camassa-Holm equation by freezing some of the coefficients in the Euler equation and applying a Lie group integrator. In some situations the method is found to outperform existing schemes. The available numerical methods is reviewed and modified. We compare long term structure preservation for both smooth and non-smooth initial conditions for each method. Of special interest is the ability to handle wave collisions.</p>