In this paper we investigate some partial orders used in representation theory of algebras. Let $K$ be a commutative ring, $Lambda$ a finitely generated $K$-algebra and $d$ a natural number. We then study partial orders on the set of isomorphism classes of $Lambda$-modules of length $d$. The orders degeneration, virtual degeneration and hom-order are discussed. The main purpose of the paper is to study the relation $leq_n$ constructed by considering the ranks of $ntimes n$-matrices over $Lambda$ as $K$-endomorphisms on $M^n$ for a $Lambda$-module $M$. We write $Mleq_n N$ when for any $ntimes n$-matrix the rank with respect to $M$ is greater than or equal to the rank with respect to $N$. We study these relations for various algebras and determine when $leq_n$ is a partial order.

We present a complete solution to the 4 subspace problem in the generality of an algebraically closed eld. We do this by means of Auslander-Reiten theory and give the Auslander-Reiten quiver of the extended $D_4$ Dynkin diagram. We also give a geometric interpretation when two congurations of four lines through the origin in the plane are equivalent.

This master's thesis explores the area of combinatorics concerned with counting mathematical objects with regards to symmetry. Two main theorems in this field are Burnside's Lemma and P'{o}lya's Enumeration Theoremfootnote{P'{o}lya's Enumeration Theorem is also known as Redfield--P'{o}lya's Theorem.}. Both theorems yield a formula that will count mathematical objects with regard to a group of symmetries. Burnside's Lemma utilizes the concept of orbits to count mathematical objects with regard to symmetry. As a result of the Burnside Lemma's reliance on orbits, implementation of the lemma can be computationally heavy. In comparison, P'{o}lya's Enumeration Theorem's use of the cycle index of a group eases the computational burden. In addition, P'{o}lya's Enumeration Theorem allows for the introduction of weights allowing the reader to tackle more complicated problems. Building from basic definitions taken from abstract algebra a presentation of the theory leading up to P'{o}lya's Enumeration Theorem is given, complete with proofs. Examples are given throughout to illustrate these concepts. Applications of this theory are present in the enumeration of graphs and chemical compounds.

Using the LLL-algorithm to find small roots of polynomial equations using lattice basis reduction.

In this paper we present the first efficient point counting algorithm due to Schoof, before giving a significant improvement due to Elkies. In the final section I give Satoh's algorithm which is even faster and has paved the way for the field of $p$-adic point counting.

Sammendrag I kapittel 1 gjøres klart hvilke forkunnskaper som er nødvendige for å kunne forstå og ha utbytte av å lese denne oppgaven. Det henvises også til litteratur som kan brukes som oppslagsverk hvis noen begreper under lesningen skulle være ukjente. I kapittel 2 klargjøres sentrale begreper som fikspunkt, kontraksjon og kompletthet. Dernest presenteres Banachs fikspunktteorem med bevis. Kapitlet peker også mot ulike anvendelser av teoremet. Kapittel 3 handler i sin helhet om den velkjente Newtons metode. I sin enkelthet demonstrerer den hvordan vi kan finne tilnærmede løsninger ved iterasjoner. Arbeid med denne metoden er derfor nyttig for forståelse av Banachs fikspunktteorem og anvendelser av teoremet i mer abstrakte sammenhenger. I kapittel 4 viser vi hvordan vi kan finne en tilnærmet løsning av en partiell differensialligning ved hjelp Jacobi-iterasjon. For å demonstrere metoden tar vi utgangspunkt i et velkjent varmeledningsproblem. Vi bruker Banachs fikspunktteorem for å vise at metoden kan brukes i vårt tilfelle. Dette leder oss inn i flere disipliner av matematikken, og vi får derved demonstrert ulike teknikker for å løse denne type problemer. I kapittel 5 dreier det seg om differensialligninger og integralligninger. Som vi skal se har Picards entydighets- og eksistensteorem nær tilknytning til Banachs fikspunktteorem. Vi vil få demonstrert hvordan metoden kan brukes til å finne tilnærmede løsninger og i noen tilfeller eksakte løsninger av ordinære differensialligninger. Vi gir også et enkelt eksempel på bruk av Banachs fikspunktteorem i forhold til en spesiell type integralligning, Fredholm-ligninger. I kapittel 6 bruker vi Banachs fikspunktteorem til å bevise det inverse funksjonsteoremet. I kapittel 7 er siktemålet å sette The Scottish Café inn i en kulturhistorisk sammenheng. Vi begynner med å skissere et historisk bakteppe hvor vi søker å gi en viss oversikt over Polens historie. Behandlingen av jøder i Polen fram til 1940 blir et hovedtema. Dernest beskriver vi historien til The Scottish Café. Vi gir også en vurdering av hvilke faktorer som hadde betydning for utviklingen av miljøet. Noe av hovedkonklusjonen er at utviklinv vi gen av de sterke matematikkmiljøene i Polen i mellomkrigstiden langt på vei kan sees på som en del av nasjonsbyggingen i Polen. Utviklingen av det spesielle og særegne miljøet i The Scottish Café kan derimot sees som en reaksjon på antisemittismen i det polske samfunnet. I kapittel 8 finner vi noen refleksjoner over det vi har arbeidet med.

Vi innfører klassen av kvasikonforme avbildninger i det komplekse planet, og viser en rekke fundamentale egenskaper ved disse. Herunder den målbare avbildningssatsen. Heretter anvendes disse resultatene til å vise klassifikasjonssetningen for fikserte fatoukomponenter i sin optimale form. Det vil si, vi viser riktigheten av Fatous formodning om vandrende komponenter, og eksistens av siegeldisker og hermanringer. Fokus i bevisførelsen er på anvendelser av kvasikonforme avbildninger.

Oppgaven handler om fouriertransformasjon av generaliserte funksjoner, med spesiell vekt på fouriertransformasjon av hyperfunksjoner. Transformasjonen på hyperfunksjoner er deretter sammenlignet med Carlemans fouriertransform, som er en av de tidlige generaliseringene av den klassiske fouriertransformen. Det er vist at begge transformene er symmetriske, det vil si at invers fouriertransform er også definert på samme rom. Videre vises det at begge transformene generaliserer både den klassiske fouriertransformen og Schwartz' fouriertransform av distribusjoner med kompakt support.

Vi har i denne masteroppgaven sett på Koszul-algebraer. Vi har definert Koszul-algebraer som graderte algebraer hvor de simple modulene har en lineær gradert projektiv oppløsning, og vi har bevist forskjellige karakteriseringer av Koszul-algebraer. Vi har bevist at alle Koszul-algebraer er kvadratiske algebraer, og at Yoneda-algebraen til en Koszul-algebra selv er en Koszul-algebra. Vi har sett at alle monomielle kvadratiske algebraer er Koszul-algebraer, og at en algebra som har en kvadratisk Gröbnerbasis er en Koszul-algebra. Tilslutt har vi sett at algebraer på formen kQ/(f), hvor f er kvadratisk, vil være Koszul-algebraer. Vi har for to klasser av kvadratiske algebraer talt hvor mange av algebraene som var Koszul-algebraer. Det ene klassen av algebraer besto av bare Koszul-algebraer, mens for den andre klassen av algebraer så vi at ca 25% algebraene ikke var Koszul-algebraer.

Masteroppgaven er innen algebra, nærmere bestemt Koszul-teori for algebraer. Koszul-algebraer, ble først definert av Priddy, har en sentral rolle innen algebra, geometri og topologi. Projektive moduler er viktige for å finne invarianter av moduler og ringer, både for kommutative og ikke-kommutative ringer. Over Koszul-algebraer er det en stor klasse av moduler som har projektive oppløsninger med en fin lineær struktur. I tillegg er det kjent at alle Koszul-algebraer er kvadratiske algebraer, men det er ikke kjent en metode for å avgjøre når en kvadratisk algebra er Koszul eller ikke. Denne masteroppgaven vil gi en innføring i teorien for Koszul-algebraer, og spesielt undersøke kvadratiske algebraer over endelige kropper. Over endelige kropper så finnes det bare endelig mange kvadratiske algebraer. For konkrete eksempler så ønsker en å finne hvor mange av de kvadratiske algebraer som er Koszul og i tillegg undersøke isomorfi-klassene av disse.