Abst

Abs

Ce travail a consisté essentiellement à l'élaboration d'un nouveau solveur des équations de Maxwell dans le domaine temporel et pour des maillages non structurés, ainsi qu'au développement de logiciels bidimensionnel et tridimensionnel. Cette méthode est issue d'une technique de volumes finis largement utilisés en mécaniques des fluides et développée au CERMICS et à l'INRIA Sophia-Antipolis. L'avantage principal de la méthode proposée est la construction assez immédiate et à faible coût en dimension trois d'espace de schémas explicites décentrés du troisième ordre à la fois en temps et en espace; les maillages considérés sont de type éléments finis non structurés. Nous présentons dans un premier temps les équations de Maxwell sous forme conservative, le caractère hyperbolique du système de Maxwell, ainsi que la méthode numérique utilisée. La seconde partie est plus particulièrment axée sur des calculs de surface équivalente radar. De nombreux cas tests numériques de validation en deux et trois dimensions y figurent. Un solveur de Rieman exact adapté aux milieux hétérogènes et aux fortes variations d'indices de matériaux a également été développpé et la parallélisation de l'algorithme a été réalisé à la fois sur des architectures SIMD et MIMD. Enfin, un couplage des équations de Vlasov et Maxwell pour la modélisation du transport de particules chargées dans les champs électromagnétiques a également été réalisé.

L'objectif général de cette thèse est la construction et l'évaluation d'algorithmes par décomposition de domaine pour la résolution des systèmes d'équations d'Euler et de Navier-Stockes (en régime laminaire) régissant l'écoulement d'un fluide compressible, le domaine d'application principal étant la dynamique des gaz. Dans la réalisation de cet objectif, notre démarche a été double: d'une part, nous avons cherché à appliquer les algorithmes en question dans des situations concrètes, à des fins de comparaison avec des méthodes plus largement utilisés pour la résolution des applications qui nous inéressent ici; d'autre part, nous avons étudié des solutions nouvelles, considérées comme prometteuses, nous limitant dans ce cas à des résultats préliminaires obtenus dans un cadre applicatif simplifié. Dans le premier cas, notre souci a été de proposer des solutions compétitives (en terme de temps de calcul) avec des méthodes éxistantes dans le domaine. Ainsi, nous avons évalué en détails des méthodes par décomposition de domaine basées sur des stratégies de résolution approchée des problèmes locaux. En effet, les méthodes de résolution couramment adoptées pour les systèmes linéaires issus de la discrétisation des systèmes d'équations d'Euler ou de Navier-Stockes sont très souvet de nature itératives (méthodes de relaxation de Jacobi ou de Gauss-Seidel, méthode de Krylov préconditionnées, méthodes multigrilles); les systèmes linéaires concernés sont rarement résolus de façon précise et, dans ce contexte, il est clair que l'utilisation de méthodes directes (factorisation LU) pour la résolution des problèmes locaux conduit à des méthodes de décomposition de domaine globalement trop coûteuse en temps de calcul et donc, peu ou pas compétitives vis-à-vis des méthodes éxisantes.

Cette thèse traite de la modélisation de la propagation d'ondes dans des milieux comportant des filsminces i.e. dont l'épaisseur est bien plus petite que la longueur d'onde. En appliquant laméthode des développements raccordés, nous dérivons un développement de la solution de l'équation de Helmholtz en 2D autour d'un petit obstacle avec condition de Dirichlet sur le bord et proposons un modèle approché dans lequel intervient une condition de Dirichlet moyennée. Par ailleurs nous proposons et analysons deux méthodes numériques non standard pour en calculer la solution avec précision : l'une est adaptée de la méthode de la fonction singulière et l'autre est une version scalaire de la méthode de Holland. Nous démontrons la consistance de ces méthodes. Nous effectuons ensuite le même travail en 3D pour le problème de Helmholtz avec condition de Dirichlet sur le bord d'un objet filiforme dont les pointes sont arrondies ellipsoïdalement. Nous dérivons également unmodèle approché dont l'étude mène à une justification théorique de l'équation de Pocklington dans sa version scalaire.

-

Cette thèse est consacrée à l'étude de la couverture à temps discret des options européennes. On a étudié la convergence du risque résiduel et sa vitesse de convergence sous la probabilité risque neutre ou la probabilité risque initiale. Pour cela, une condition générale est donnée, vérifiée par beaucoup d'actifs contigents dont Call et Put, sous laquelle on a la vitesse de convergence du risque quadratique. On a étudié également la couverture dans le cadre multi-dimensionnel, où les résultats sont un peu moins généraux, mais suffisants pour la version multi-dimensionnelle du modèle Black-Scholes.<br /><br />On a comparé deux sortes de couvertures approchées, la couverture basée sur la formule de couverture exacte et la couverture qui minimise le risque quadratique. Le résultat montre qu'elles sont asymptotiquement équivalentes.

.

Cette thèse développe plusieurs contributions pour le traitement du signal et des images ainsi que pour la vision par ordinateur. La première partie inclut un nouvel algorithme de débruitage des sons et un algorithme de super-résolution pour l'agrandissement des images. Ces algorithmes sont basés sur de nouvelles représentations parcimonieuses par blocs. Une procédure de seuillage par bloc temps-fréquence est introduite pour le débruitage audio, qui permet de réduire le bruit sans introduire d'artefacts, avec des résultats perceptuels et numériques nettement supérieurs à l'état de l'art. Cette première partie introduit aussi un nouveau cadre mathématique et algorithmique pour des problèmes inverses, avec une régularisation non-linéaire sur des dictionnaires de blocs géométriques dans une représentation parcimonieuse. Une approche générale pour la super-résolution d'images est introduite et des résultats numériques améliorant l'état de l'art sont obtenus. La deuxième partie de la thèse introduit un algorithme (ASIFT) de mise en correspondance d'images, qui est invariant relativement à des transformations affines. Il est démontré que cet algorithme satisfait les contraintes d'invariance et qu'il peut effectuer des correspondances entre des objets observés sous des angles arbitraires. Sa complexité numérique est du même ordre que les algorithmes les plus efficaces, avec une robustesse bien supérieure grâce à son invariance affine. La troisième partie de la thèse introduit une implémentation biologiquement plausible de groupements visuels. Inspiré par les mécanismes de synchronisation neuronale en groupement perceptuel, un algorithme général basé sur des oscillateurs neuronaux est proposé pour effectuer des groupements visuels. Cet algorithme permet d'obtenir des résultats prometteurs sur plusieurs problèmes, dont le groupement de points, l'intégration de contours, et la segmentation d'images.

Le présent document donne un aperçu des sujets sur lesquels j'ai travaillé pendant un peu plus de trente ans à l'Ecole des Mines, dans les domaines de la morphologie mathématique et de la géostatistique. Issus tous deux de la nécessité d'examiner des jeux de données à des échelles différentes, ces deux domaines ont ensuite évolué dans des directions assez différentes, l'un vers l'analyse d'image l'autre vers les statistiques spatiales. Mon séjour en morphologie mathématique de 1972 à 1984 fut pour moi l'occasion de participer à l'essor d'une discipline nouvelle, dans laquelle tout était ouvert. J'espère que l'application du chapitre 1 rend compte de cet état d'esprit. En 1985, mon passage en géostatistique m'a ouvert de nouveaux horizons. Initiée en Afrique du Sud par les travaux précurseurs de H. Sichel et D. Krige, cette discipline a été complètement reformalisée par G. Matheron. De vocation au départ minière, elle s'est progressivement enrichie au contact d'applications nouvelles (pétrole, environnement, génie forestier, météo, halieutique, épidémiologie, science des matériaux...), faisant à leur tour surgir des problématiques nouvelles. Les chapitres 3 et 4 témoignent de cette évolution avec la construction de modèles stochastiques spatiaux et la conception d'algorithmes de simulation conditionnelle. A la charnière des deux domaines gure la stéréologie. Elle s'avère incontournable dans la mesure où les données morphologiques ou géostatistiques sont souvent disponibles dans un espace de dimension inférieure à l'espace de travail (lames minces ou sections polies pour des images microscopiques, forages dans un réservoir pétrolier...). Quelques travaux de stéréologie sont présentés au chapitre 2. Finalement une liste de quelques problèmes sur lesquels il conviendrait de faire porter nos efforts fait l'objet du dernier chapitre.