Consideraremos o problema elípitco $-\\Delta u + \\alpha\\chi_Du = \\lambda u$ em $\\Omega$, onde $\\Omega$ é um domínio de R^n com fronteira regular, e $D\\subset \\Omega$ é um subconjunto fechado de medida de Lebesgue fixada. A motivação para este problema vem da Mecânica, onde esta equação é encontrada no estudo de vibrações de uma membrana composta. Seja $\\lambda_1(D)$ o primeiro autovalor do problema, como função do conjunto D. Nesse trabalho mostraremos que $\\lambda_1$ é um autovalor simples, e estudaremos o problema de minimizar $\\lambda_1$ ao variarmos D no conjunto de todos os subconjuntos de medida fixada de $\\Omega$. Mais especificamente, determinaremos fórmulas para a variação primeira e segunda de $\\lambda_1$. / We will consider the elliptic problem $-\\Delta u + \\alpha\\chi_Du = \\lambda u in $\\Omega$, where $\\Omega$ is a domain in R^n with regular boundary, and $D \\subset\\Omega$ is a closed subset with prescribed Lebesgue measure. The motivation for this problem comes from Mechanics, where this equation models the vibrations of a composite membrane. Let $\\lambda_1(D)$ be the first eigenvalue of the problem, which is seen as a function of the set D. In this work, we will show that $\\lambda_1$ is a simple eigenvalue, and we will study the problem of minimizing $\\lambda_1(D)$ when D varies in the family of all closed subsets of $\\Omega$ with a given Lebesgue measure. More precisely, we will determine formulas for the first and the second variation of $\\lambda_1$.

Consideraremos o problema elípitco $-\\Delta u + \\alpha\\chi_Du = \\lambda u$ em $\\Omega$, onde $\\Omega$ é um domínio de R^n com fronteira regular, e $D\\subset \\Omega$ é um subconjunto fechado de medida de Lebesgue fixada. A motivação para este problema vem da Mecânica, onde esta equação é encontrada no estudo de vibrações de uma membrana composta. Seja $\\lambda_1(D)$ o primeiro autovalor do problema, como função do conjunto D. Nesse trabalho mostraremos que $\\lambda_1$ é um autovalor simples, e estudaremos o problema de minimizar $\\lambda_1$ ao variarmos D no conjunto de todos os subconjuntos de medida fixada de $\\Omega$. Mais especificamente, determinaremos fórmulas para a variação primeira e segunda de $\\lambda_1$. / We will consider the elliptic problem $-\\Delta u + \\alpha\\chi_Du = \\lambda u in $\\Omega$, where $\\Omega$ is a domain in R^n with regular boundary, and $D \\subset\\Omega$ is a closed subset with prescribed Lebesgue measure. The motivation for this problem comes from Mechanics, where this equation models the vibrations of a composite membrane. Let $\\lambda_1(D)$ be the first eigenvalue of the problem, which is seen as a function of the set D. In this work, we will show that $\\lambda_1$ is a simple eigenvalue, and we will study the problem of minimizing $\\lambda_1(D)$ when D varies in the family of all closed subsets of $\\Omega$ with a given Lebesgue measure. More precisely, we will determine formulas for the first and the second variation of $\\lambda_1$.