El volumen que aquí presentamos esta organizado en 6 capítulos. En el primero se describen resultados conocidos que facilitar´an la lectura de la tesis, el mismo no tiene pretenciones de originalidad. El Capítulo II está organizado en siete secciones. Comenzamos señalando las motivaciones para el estudio de operadores simétricos en las álgebras de De Morgan pseudocomplementadas modales, a las que denominamos S-álgebras. Posteriormente, determinamos las álgebras generadoras de esta variedad y mostramos que es semisimple. A continuación, estudiamos las álgebras finitas y finitamente generadas lo que nos permitió afirmar que es una variedad localmente finita. También determinamos la estructura de las S-álgebras libres con n, (n < !) generadores libres y exhibimos el número de elementos de la misma en función del número de generadores. Completamos el capítulo determinando las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de epimorfismos entre S-álgebras finitas. Para ello, debimos realizar un estudio minucioso del espectro primo de las S-álgebras, en particular, probamos que el mismo se puede descomponer como una suma cardinal especial. A partir de estos resultados contabilizamos el número de epimorfimos que es posible definir entre álgebras finitas y mostramos dicho número en casos particulares como las mpM-álgebras, las álgebras de Lukasiewicz-Moisil de orden 3 y las álgebras de Boole. Finalizamos el capítulo describiendo el retículo de las subvariedades de la variedad de las S-álgebras. En el Capítulo III, introducimos y estudiamos las mpM-´algebras enriquecidas con un automorfismo de periodo k, donde k 2 IN, k 2 a las que llamamos Ck-álgebras. Los resultados de este capítulo son la generalización natural de los obtenidos en el capítulo anterior para de las S-álgebras, que son el caso k = 2. Comenzamos presentando las propiedades m´as importantes de esta nueva estructura. Posteriormente, establecemos una correspondencia entre conguencias y c-filtros, (i.e.: ciertos filtros especiales del álgebra) lo que permite determinar la familia de ultrafiltros asociada a cada c-filtro maxinal. Por otra parte, determinamos las condiciones necesarias y suficientes para que una congruencia sea maximal, lo que fue posible considerando una nueva operaci´on binaria, la implicación cíclica, y caracterizando a las congruencias por medio de los sistemas deductivos asociados a está implicación. Además, las propiedades que verifica esta implicación nos permitió mostrar que la variedad de las Ck-álgebras es semisimple. Por otra parte, estudiando el espectro primo de una Ck-álgebra y utilizando técnicas diferentes al caso k = 2, ya que la estructura de las Ck-álgebras es mucho más complejo que de las S-álgebras, determinamos las álgebras generadoras de la variedad. También, mostramos que la variedad es finitamente generada y localmente finita. Por último, determinamos el cardinal de la Ck-álgebra libre con un conjunto de n (n < !) generadores libres en funci´on de los parámetros k y n y verificamos este resultado para los casos k = 1 y k = 2 mostrando que ellos coninciden con los ya obtenidos en [61] y en el Capítulo II de esta tesis, respectivamente. En el Capítulo IV, definimos las mpM-álgebras monádicas (o M-álgebras). A cada álgebra de esta nueva clase ecuacional, la tratamos como un par formado por una mpM- álgebra y un cuantificador existencial. En primer lugar, exhibimos propiedades y mostramos la relación existente entre estas álgebras y otras estructuras conocidas. Además, a partir de una familia especial de sub´algebras de una mpM-álgebra determinamos como obtener todos los cuantificadores que la transforman en unaM-álgebra. A continuación, iniciamos un estudio topológico de las mismas, asociando a cada M-álgebra un espacio compacto, Hausdorff y totalmente disconexo en el orden, enriquecido con una relación de equivalencia, al estilo de las dualidades de Halmos-Priestley. Esta primera representación nos permitió realizar un estudio exhaustivo de las congruencias. En particular, mostramos que existe un isomorfismo entre el retículo de ciertos subconjuntos abiertos, cerrados e involutivos del espacio asociado a una M-álgebra y el retículo de las M−congruencias principales de la misma. Además, probamos que las congruencias principales y booleanas coinciden y en el caso finito determinamos su cardinal. Luego, mostramos que las congruencias principales quedan también determinadas por ciertos filtros especiales del álgebra, completando el estudio de las mismas. Finalmente, terminamos el capíıtulo señalando que, a diferencia de lo que ocurre en otras clases de álgebras, aquí, no siempre, es posible definir la estructura monádica partir de la k-cíclica. En el Capítulo V, continuamos el estudio de las M-álgebras y presentamos una segunda representación topológica la que nos permitió determinar las álgebras generadoras (finitas o infinitas) de la variedad. Primeramente, profundizamos el estudio del espectro primo de lasM-álgebras, lo que nos permitió obtener una nueva representación topológica para estas álgebras considerando la categoría de los sm-espacios y las sm-funciones. Dicha dualidad cuenta con la ventaja de brindar más información que la primera, sobre el efecto de la relación de equivalencia en el espacio. Por otro lado, probamos que las condiciones que se le piden a los q-espacios (ver [9]) resultan adecuadas para que el espacio cociente sea un espacio de Priestley con la topología de identificación y que la proyección canónica sea una función continua que preserva el orden. Además, mostramos que este resultado se tralada a las espacios de De Morgan monádicos ([62, p.84]) y a los sm-espacios, lo que es fundamental para el estudio subsiguiente. Por otra parte, utilizamos conceptos de topología general tales como convergencia y acomulación de redes (suceciones de Moore- Smith) y el teorema de extensión de funciones continuas para espacios T3, entre otros, para determinar las M-álgebras generadoras de cardinalidad arbitraria. Finalmente, teniendo en cuenta algunos de los resultados precedentes, analizamos la relación entre las álgebras de De Morgan monádicas ([62]) y las álgebras tetravalentes modales monádicas ([74]). En particular, probamos que toda álgebra tetravalente modal equipada con un cuantificador especial es álgebras de De Morgan monádicas una simple. Luego, estamos en condiciones de decir que el retículo de las subvariedades de álgebras de De Morgan monádicas es mucho más complejo que el retículo de las subvariedades de los Q-retículos distributivos acotados introducidos por Cignoli en [9]. Finalmente, en el Capítulo VI introducimos las MV -álgebras con dos cuantificadores que conmutan las cuales, como ya dijimos, son una generalización natural de las álgebras cilíndricas de dimensión dos libre de elementos diagonales. El tramtamiento de estas álgebras esta dado en términos de implicación y negación. Este hecho nos permite simplificar los resultados establecidos por Di Nola y Grigolia [18] en cuanto a la caracterización de los cuantificadores por medio de subálgebras relativamente completas especiales. Además, probamos que esta nueva variedad tiene la propiedad de extensión de congruencias y que es a congruencias distributivas. Por otra parte, desarollamos una dualidad topológica para estas álgebras y como aplicación de la misma, caracterizamos a las congruencias por medio de ciertos subconjuntos cerrados del espacio asociado a un álgebra. Además, estudiamos la variedad generada por cadenas de longitud n + 1 (n < !)y, entre otras resultados, probamos que se trata de una subvariedad semisimple y caracterizamos sus miembros subdirectamente irreducibles. Finalmente, a partir de un álgebra funcional especial determinamos un conjunto importante de las álgebras simples y exhibimos la totalidad de ellas en el caso finito. / This volume is organized in six chapters. In Chapter I all the results presented are well-known, but they were included either to facilitate the reading or to fix the notations needed throughout the remainder chapters and it has no pretensions of originality. Chapter II is organized in seven sections. We start pointing out the motivations for the study of symmetric operators in modal pseudocomplemented De Morgan algebras, which we called S-algebras. Subsequently, we determine the generating algebras of this variety and we show that it is semisimple. Furthermore, we study the finite and the finitely generated S-algebras which allows us to assert that this variety is locally finite. We also determine the structure of the free S-algebras with n (n < !) free generators and we exhibit a formula to calculate the cardinal number of these algebras in terms of the number of its free generators. On the other hand, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of epimorphisms between finite S-algebras. To do this, we make a thorough study of the prime spectrum of the S-algebras. In particular, we prove that it can be decomposed as a special cardinal sum. From these results we compute the number of epimorphims which can be defined between finite algebras. In addition, we show that number in the particular cases of mpM-algebras, Lukasiewicz- Moisil algebras of order 3 and Boolean algebras. We conclude the chapter describing the lattice of subvarieties of the variety of the S–algebras. In Chapter III, we introduce and study the mpM-algebras enriched with an automorphism of period k, where k 2 IN, k 2. We called them Ck-algebras. The results of this chapter are a natural generalization of those obtained in the previous chapter for S- algebras, because they are Ck-algebras when k = 2. First, we present the most important properties of this new structure. Then, we establish a correspondence between the family of congruences and the family of c-filters (ie: certain special filters of the algebra) which allows us to determine a family of ultrafilters associated with each maxinal c-filter. Moreover, we determine necessary and sufficient conditions for a congruence to be a maximal one. This result follows by considering a new binary operation called cyclical implication and characterizing the congruences by means of the deductive systems associated with this implication. In addition, the properties verified by this implication allow us to show that the variety of Ck-algebras is semisimple. On the other hand, we determine the algebras which generate this variety by applying different techniques of the ones used when k = 2 because the structure of Ck-algebras is much more complex than the S-algebras. Besides, we prove that the variety of Ck-algebras is finitely generated and locally finite. Finally, we obtain the cardinal number of the free Ck-algebra with a set of n (n < !) free generators in terms of the parameters k and n and we also verify this result for the case k = 1 and k = 2, showing that they coincide with those already obtained in [61] and in Chapter II of this thesis, respectively. Chapter IV is devoted to monadic mpM-algebras (or M-algebras). Each algebra of this new variety is considered as a pair consisting of an mpM-algebra and an existential quantifier. First, we obtain some properties and show the relationship between these algebras and others well-known structures. Moreover, from a special family of subalgebras of an mpM-algebra we determine how to get all the quantifiers that transform it into an M-algebra. Next, we started a topological study of this variety associating to each M- algebra a compact, Hausdorff and totally order-disconnected topological space enriched with an equivalence relation, such as the Halmos-Priestley’s dualities. This first duality allowed us to do an extensive study of the congruences. In particular, we show that there is an isomorphism between the lattice of certain open, closed and involutive subsets of the associated space of an M-algebra and the lattice of the principal M-congruences of it. Furthermore, we prove that the principal and Boolean congruences coincide and we calculate the number of them in the case of finite algebras. Besides, we show that the principal congruences are also determined by certain special filters of the algebra. Thus the study of the congruences is completed. Finally, we ended the chapter by noting that, unlike what happens in other classes of algebras, here it is not always possible to define the monadic structure from the k-cycle one. In Chapter V, we continue the study of the M-algebras and we present a second topological representation which allowed us to determine the generating algebras (finite or infinite) of this variety. First, we go in depth in the study of the prime spectrum of the M-algebras, in order to obtain a new topological representation for these algebras considering the category of the sm-spaces and the sm-functions. This duality has the advantage of providing more information than the first on the effect of the equivalence relation in the space. On the other hand, we prove that the conditions that verify the q-spaces (see [9]) are suitable for the quotient space to be a Priestley space with the identification topology, and for the canonical projection to be a continuous function that preserves the order. Moreover, we show that this result is transferred to the monadic De Morgan spaces ([62, p.84]) and to the sm-spaces, which is fundamental for subsequent study. Furthermore, we use among others, general topological concepts as the convergence and accumulation for nets (Moore-Smith sequences) and the extension theorem for the continuous functions in T3-spaces, in order to determine the M-algebras of an arbitrary cardinality which generates this variety. Finally, taking into account some of the previous results, we analyzed the relationship between monadic De Morgan algebras ([62]) and monadic tetravalent modal algebras ([74]). In particular, we prove that all tetravalent modal algebra with a special quantifier is a simple monadic De Morgan algebra. Hence, we can assert that the lattice of the subvarieties of monadic De Morgan algebras is much more complex than the lattice of the subvarieties of Q-distributive lattices introduced by Cignoli in [9]. Finally, in Chapter VI we introduce the MV -algebras with two quantifiers which commute. These algebras are a natural generalization of cylindric algebras of dimension two free of diagonal elements. The study of them is done in terms of implication and negation. This fact allows us to simplify the results established by Di Nola and Grigolia ([18]) with respect to the characterization of quantifiers by means of special relatively complete subalgebras. Besides, we prove that this new variety has the congruence extension property and distributive congruences. Furthermore, we develop a topological duality for these algebras which allows us to characterize the congruences by means of certain closed subsets of the space associated with them. In addition, we study the variety generated by chains of length n + 1 (n < !) and, among other results, we prove that it is a semisimple subvariety and we characterize their subdirectely irreducible members. Finally, from a special functional algebra we determine an important set of simple algebras and we show all of them in the finite case.

Esta tesis está dividida en dos partes. La primera parte está dedicada al estudio de la variedad MMV de las MV-álgebras monádicas y de sus subreductos implicativos. En primer lugar, demostramos que MMV está generada por sus miembros finitos, caracterizamos los miembros indescomponibles por medio del álgebra de Boole monádica de sus elementos complementados y describimos el fragmento del reticulado de subvariedades que se encuentra contenido en V([0; 1]k), para cada k entero positivo, dando una axiomatización para dichas subvariedades. Estudiamos, además, las subvariedades simples que no están contenidas en V([0; 1]k) para ningún k. Nuestro segundo objetivo es extender el funtor �� de Mundici a la categoría de las MV-álgebras monádicas. En tal sentido, definimos el concepto de l-grupo monádico y establecemos una equivalencia natural entre la categoría de los l-grupos monádicos y la categoría de las MV-álgebras monádicas. También estudiamos las congruencias de un l-grupo monádico y las caracterizamos por medio de ciertos l-ideales que llamamos l-ideales monádicos. Probamos que el reticulado de l-ideales monádicos de un l-grupo monádico G es isomorfo al reticulado de l-ideales de EG. Demostramos que todo l-grupo monádico es producto subdirecto de una familia de l-grupos monádicos {Gi : iE I} donde EGi es una cadena para todo i E I. Por último, damos algunas aplicaciones de la equivalencia obtenida. Dedicamos un capítulo al estudio de la clase de los {O, -, A,1}-subreductos de lasMV-álgebras monádicas, esto es, la clase de los subreductos hoop monádicos de las MV-álgebras monádicas. Demostramos que esta clase forma una variedad, e introducimos una axiomática para estos subreductos hoop monádicos. Caracterizamos a los miembros subdirectamente irreducibles de la variedad y determinamos las subvariedades de ancho k.En el último capítulo de esta primera parte, estudiamos la clase de los subreductos implicativos monádicos de las MV-álgebras monádicas, esto es, los{O, -,A,1}-subreductos de las MV-álgebras monádicas. Demostramos que esta clase forma una variedad, e introdu-cimos una axiomática para la misma. Caracterizamos sus miembros subdirectamente irreducibles, describimos el reticulado de subvariedades y damos una base ecuacional para cada una de las subvariedades propias.La segunda parte de esta tesis está dedicada a obtener representaciones topológicas de ciertas álgebras de implicación. En primer lu-gar, obtenemos una representación topológica para las álge-bras de implicación monádicas, extendiendo la representación topológica de las álgebras de implicación. Toda álgebra de implicación monádica es representada como una unión de una familia única de filtros monádicos, dentro de una adecuada álgebra de Boole monádica. Introducimos la noción de espacio implicativo monádico, y probamos que existe una equivalencia dual entre la categoría de las álgebras de implicación monádi-cas y la categoría de los espacios implicativos monádicos. También obtenemos una representación topológica para las álgebras -implicativas de Lukasiewicz trivalentes. Describimos a toda álgebra -implicativa de Lukasiewicz trivalente como la unión de una familia única de filtros implicativos de una cierta álgebra de Lukasiewicz trivalente. Introducimos la noción de espacio topológico implicativo 3-valuado, y probamos que existe una equivalencia dual entre la categoría de los mismos y las álgebras -implicativas de Lukasiewicz trivalentes. Como aplicación describimos el espacio implicativo 3-valuado del álgebra -implicativa de Lukasiewicz trivalente libre. / This thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the variety MMV of monadic MV-algebras and its implicative subreducts. First, we show that MMV is generated by its finite members and we characterize the indecomposable members using the monadic Boolean algebra of their complemented elements. We describe the fragment of the lattice of subvarieties that is con-tained in V([0,1]k), for each positive integer k, and we give an axiomatization of these subvarieties. We also study simple subvarieties that are not contained in V([0, 1]k) for any k.Our second objective is to extend Mundici`s functor �� to the category of monadic MV-algebras. More pre-cisely, we define monadic l-groups and we establish a natural equivalence between the category of monadic MV-al-gebras and the category of monadic l-groups with strong unit. We give some applications. We study the lattice of congruences of a monadic l-group G and we prove that this lattice is isomorphic to the lattice of monadic l-ideals and also to the lattice of l-ideals of 9G. We prove that every monadic l-group is a subdirect product of a family of monadic l-groups {Gi: i E I}such that every EGi is a chain. We devote a chapter to the study of the class of {O,-A,1}-subreducts of monadic MV-algebras. We prove that this class is an equational class and we introduce a set of equations that describe this variety. We characterize the subdirectly irreducible members and the lattice of con-gruences of every algebra. We describe the subvarieties of width k. In the last chapter of this part, we study the class of {-,A,1}-subreducts of monadic MV-algebras. We introduce the equations that characterize this class and we prove that this class is a variety. We characterize the subdirect irreducibles members and the lattice of con-gruences of every algebra. We describe completely the lattice of subvarieties and we give a equational basis for every proper subvariety. The second part of this thesis is devoted to getting topological representations for certain implication algebras. First, we extend the topological representation for implication algebras to a topological representation for monadic implication algebras. Every monadic implication algebra is represented as a union of a unique family of monadic filters of a suitable monadic Boolean algebra. Inspired by this representation, we introduce the notion of a monadic implication space, and we prove a dual equivalence between the category of monadic implication algebras and the category of monadic implication spaces. We also obtain a topological represen-tation for three-valued Lukasiewicz -implication alge-bras. Every Lukasiewicz -implication algebras is repre-sented as a union of a unique family of implication filters of a suitable three-valued Lukasiewicz algebras. Inspired in this representation, we introduce the notion of topological three-valued implication space, and we prove a dual equivalence. As an application, we describe the space of free three-valued Lukasiewicz -implication algebras.

En 1955, las álgebras de Boole monádicas fueron introducidas por P. Halmos ([23]), como un modelo algebraico para el cálculo de predicados monádicos de la lógica clásica. Estas álgebras han sido ampliamente estudiadas por varios autores ([1], [24]) y en la actualidad se siguen realizando investigaciones en esta dirección ([4], [12], [37]). Por otra parte, Gr. C. Moisil introduce las álgebras de Boole cíclicas en [32], que han sido estudiadas también por A. Monteiro ([28], [29]), y A. V. Figallo ([15]). En esta tesis, investigamos la clase de las Tkm-álgebras, esto es, álgebras de Boole monádicas con un automorfismo monádico de período k, que generalizan a las álgebras de Boole monádicas simétricas ([1]) y están relacionadas de un modo especial, con la clase de las Df2-álgebras. Al trabajo lo hemos organizado en cuatro capítulos. El Capítulo 1 consta de cuatro secciones y casi todos los resultados indicados en ellas son conocidos. En la Sección 1, damos las definiciones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. En las Secciones 2, 3 y 4, hacemos una breve exposición de definiciones y propiedades de las álgebras de Boole monádicas, Df2-álgebras, y Tk-álgebras, respectivamente. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos y propiedades que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el Capítulo 2, comenzamos el estudio de las Tkm-álgebras. En la Sección 1, damos las definiciones básicas, determinamos las estructuras de Tkm-álgebras que se pueden definir sobre el álgebra de Boole con n átomos para n = 1, ..., 4. Destacamos tres subálgebras en una Tkm-álgebra B y mostramos algunas de sus propiedades, las que nos permiten luego caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles y simples de esta variedad. En la Sección 2, determinamos la relación entre cuantificadores existenciales y subálgebras especiales del álgebra de Boole subyacente de una Tkm-álgebra, a partir de la cual obtenemos otra caracterización de estas álgebras. En la Sección 3, logramos una nueva descripción de las Tkm-álgebras finitas, por medio de ciertas particiones asociadas al conjunto de sus átomos. Luego, en la sección siguiente exploramos, en el caso finito, la relación entre la clase BTkm y la clase Df2 de las álgebras cilíndricas libres de elementos diagonales de dimensión dos. En las Secciones 5 y 6, estudiamos una clase especial de filtros, los Tkm-filtros, los cuales nos permiten caracterizar las Tkm-congruencias. Además, determinamos la relación entre esta clase de filtros y la de los Tk-filtros, los -filtros y los filtros que se pueden definir en una Tkm-álgebra B. A partir de estas relaciones caracterizamos, en el capítulo siguiente, las álgebras subdirectamente irreducibles y simples. Finalmente, en la Sección 7 realizamos un breve estudio de los Tkm-homomorfismos. La mayoría de los resultados obtenidos en este capítulo se publicaron en [16], mientras que otros se presentaron y discutieron previamente en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina en 2007. En el Capítulo 3, con el propósito de obtener una mayor información sobre la variedad de las Tkm-álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias e indicamos dos descripciones de las mismas, una por medio de los Tkm-filtros y la otra por una operación binaria definida sobre el álgebra. Esto nos permitió caracterizar las álgebras subdirectamente irreducibles y simples, y determinar algunas propiedades especiales de las Tkm-congruencias. Además, probamos que las Tkm-álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple y residualmente finita. En las dos últimas secciones, aplicando los resultados de las secciones previas, obtenemos el término discriminador ternario para esta variedad y mostramos con ello que es discriminadora. Como consecuencia deducimos algunas propiedades de las Tkm-congruencias y, en particular, establecemos una descripción ecuacional de las congruencias principales. Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en este capítulo se publicaron en [16]. El Capítulo 4 consta de cuatro secciones. En la primera, hemos incluido una breve exposición de la dualidad de P. Halmos para las álgebras de Boole monádicas. En la segunda sección, nos dedicamos a determinar una dualidad topológica para las Tkm-álgebras la que nos permitió, caracterizar al retículo de las congruencias. Finalmente, a partir de la dualidad topológica para la variedad BTkm, hemos establecido para una Tkm-álgebra B, una biyección entre las familias de las Tkm-subálgebras de B y de ciertas relaciones de equivalencia definidas en el conjunto de filtros primos de B. La mayor parte de los resultados obtenidos en las tres primeras secciones de este capítulo se presentaron previamente en el XIII Congreso Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur. / In 1955, P. Halmos introduced monadic Boolean algebras as an algebraic counterpart of the one-variable fragment of the classical predicate logic ([23]). These algebras have been widely studied by various authors ([1], [24]) and there are still investigations in this direction ([4], [12], [37]). On the other hand, Gr. C. Moisil introduces cyclic Boolean algebras in [32], which have been studied by A. Monteiro ([28], [29]), and A. V. Figallo ([15]). In this thesis, we investigate the class of the Tkm-algebras, this is, monadic Boolean algebras endowed with a monadic automorphism of period k. These algebras constitute a generalization of monadic symmetric Boolean algebras ([1]) and, in a special way, they are related with the class of Df2-algebras. We have organized this volume in four chapters. Chapter 1 consists of four sections and almost all results reported in them are well-known. In Section 1, we give the basic definitions and we review the most important results of universal algebra. In Sections 2, 3 and 4, we do a brief exposition of definitions and properties of monadic Boolean algebras, Df2-algebras and Tk-algebras, respectively. We have included them either to facilitate the reading as to fix the concepts and properties that we will use in later chapters. In Chapter 2, we start the study of Tkm-algebras. In Section 1, we give basic definitions, we determine the structures of Tkm-algebras that can be defined on the Boole algebra with $n$ atoms for n=1,...,4. We distinguish three subalgebras in a Tkm-algebra B and we show some of its properties, which allow us later to characterize the subdirectly irreducible and simple members of this variety. In the second section, we determine the relationship between existential quantifiers and special subalgebras of the underlying Boolean algebra of a Tkm-algebra, from which we obtain another characterization of these algebras. In Section 3, we give a new description of finite Tkm-algebras by means of certain partitions of the set of their atoms. Then, in the next section, we explore, in the finite case, the relationship between the class BTkm and the class Df2 of diagonal-free two-dimensional cylindric algebras. In Sections 5 and 6, we study a special class of filters, the Tkm-filters, which allow us to characterize the Tkm-congruences. Also, we determine relationships between classes of Tkm-filters, Tk-filters, -filters and filters that can be defined in a Tkm-algebra B. From these relationships, we characterize, in the next chapter, sub-directly irreducible and simple algebras. Finally, in Section 7 we carry out a brief study of the Tkm-homomorphisms. Most of the results obtained in this chapter were published in [16], while others were previously presented and discussed in Annual Meeting of the Unión Matemática Argentina in 2007. In Chapter 3, in order to obtain further information on the variety of Tkm-algebras, we make a detailed study of the congruences and indicate two descriptions of them, one by means of the Tkm-filters and the other by a binary operation defined on the algebra. This allowed us to characterize subdirectly irreducible and simple algebras, and determine some special properties of the Tkm-congruences. Furthermore, we prove that Tkm-algebras constitute a semisimple, locally finite and residually finite variety. In Sections 6 and 7, by applying the results of the previous sections, we obtain the ternary discriminator term for this variety and we show with it that this variety is discriminator. As a consequence, we deduce some properties of the Tkm-congruences and, in particular, we establish an equational description of the principal congruences. It is worth mentioning that several of the topics investigated in this chapter were published in [16]. Chapter 4 consists of four sections. In the first one, we have included a brief exposition of P. Halmos' duality for monadic Boolean algebras. In the second section, we devote to determine a topology duality for the Tkm-álgebras which allowed us to characterize the lattice of congruences. Finally, bearing in mind the above duality for the variety BTkm, we have established for a Tkm-algebra B, a bijection between the families of the Tkm-subalgebras of B and of certain equivalence relations defined in the set of prime filters of B. Most of the results obtained in the first three sections of this chapter were previously presented at the XIII Congress Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur.