We present a framework for modeling multibody systems based on the method of natural coordinates and Lagrange's equation of the first kind, resulting in a system of Differential-Algebraic Equations (DAEs). The C++ package DAETS (DAEs by Taylor Series), a robust high-index DAE solver, is utilized to solve the models. The simulation process is straightforward, with no need to derive equations of motion directly. Instead, the user supplies a Lagrangian, kinematic constraints, and if applicable, a dissipation function and external forces. A corresponding system of DAEs is formed by computing the required derivatives via automatic differentiation. DAETS primarily uses Cartesian coordinates as variables, eliminating angles and the associated trigonometric functions, which results in simplified models. Furthermore, DAETS provides direct access to the position/velocity data of any desired points or vectors as output, facilitating post-processing tasks, such as visualization. The main focus of this thesis is on establishing the viability of our framework through case studies. We simulate seven multibody systems and compare our results with those of reference models developed in the Simulink environment of MATLAB. A detailed account of the modeling process is given for each system, demonstrating the ease and intuitiveness of our approach. We also provide, from both DAETS and Simulink, the time history plots of several position coordinates to allow for direct comparison. Finally, we compute two types of errors over time. Our findings show that the results of DAETS match those of the reference models under different error tolerances for the studied systems, indicating that our framework is capable of simulating a wide variety of mechanisms with a superb degree of accuracy. / Thesis / Master of Science (MSc)

Chaque année, plus de 5 millions de personne à travers le monde deviennent hémiplégiques suite à un accident vasculaire cérébral. Ce soudain déficit neurologique conduit bien souvent à une perte partielle ou totale de la station debout et/ou à la perte de la capacité de déambulation. Dans l’optique de proposer de nouvelles solutions d’assistance situées entre le fauteuil roulant et le déambulateur, cette thèse s’inscrit dans le cadre du projet ANR TECSAN VHIPOD « véhicule individuel de transport en station debout auto-équilibrée pour personnes handicapées avec aide à la verticalisation ». Dans ce contexte, ces travaux de recherche apportent des éléments de réponse à deux problématiques fondamentales du projet : l’assistance au passage assis-debout (PAD) des personnes hémiplégiques et le déplacement à l’aide d’un véhicule auto-équilibré à deux roues. Ces problématiques sont abordées du point de vue de la robotique avec comme question centrale : peut-on utiliser l’approche Takagi-Sugeno (TS) pour la synthèse d’une commande ? Dans un premier temps, la problématique de mobilité des personnes handicapées a été traitée sur la base d’une solution de type gyropode. Des lois de commande basées sur les approches TS standard et descripteur ont été proposées afin d’étudier la stabilisation des gyropodes dans des situations particulières telles que le déplacement sur un terrain en pente ou le franchissement de petites marches. Les résultats obtenus ont non seulement permis d’aboutir à un concept potentiellement capable de franchir des obstacles, mais ils ont également permis de souligner la principale difficulté liée à l’applicabilité de l’approche TS en raison du conservatisme des conditions LMIs (inégalités matricielles linéaires). Dans un second temps, un banc d’assistance au PAD à architecture parallèle a été conçu. Ce type de manipulateur constitué de multiples boucles cinématiques présente un modèle dynamique très complexe (habituellement donné sous forme d’équations différentielles ordinaires). L’application de lois de commande basées sur l’approche TS est souvent vouée à l’échec compte tenu du grand nombre de non-linéarités dans le modèle. Afin de remédier à ce problème, une nouvelle approche de modélisation a été proposée. À partir d’un jeu de coordonnées bien particulier, le principe des puissances virtuelles est utilisé pour générer un modèle dynamique sous forme d’équations algébro-différentielles (DAEs). Cette approche permet d’aboutir à un modèle quasi-LPV où les seuls paramètres variants représentent les multiplicateurs de Lagrange issus de la modélisation DAE. Les résultats obtenus ont été validés en simulation sur un robot parallèle à 2 degrés de liberté (ddl) puis sur un robot parallèle à 3 ddl développé pour l’assistance au PAD. / Every year more than 5 million people worldwide become hemiplegic as a direct consequence of stroke. This neurological deficiency, often leads to a partial or a total loss of standing up abilities and /or ambulation skills. In order to propose new supporting solutions lying between the wheelchair and the walker, this thesis comes within the ANR TECSAN project named VHIPOD “self-balanced transporter for disabled persons with sit-to-stand function”. In this context, this research provides some answers for two key issues of the project : the sit-to-stand assistance (STS) of hemiplegic people and their mobility through a two wheeled self-balanced solution. These issues are addressed from a robotic point of view while focusing on a key question : are we able to extend the use of Takagi-Sugeno approach (TS) to the control of complex systems ? Firstly, the issue of mobility of disabled persons was treated on the basis of a self-balanced solution. Control laws based on the standard and descriptor TS approaches have been proposed for the stabilization of gyropod in particular situations such as moving along a slope or crossing small steps. The results have led to the design a two-wheeled transporter which is potentially able to deal with the steps. On the other hand, these results have also highlighted the main challenge related to the use of TS approach such as the conservatisms of the LMIs constraints (Linear Matrix Inequalities). In a second time, a test bench for the STS assistance based on parallel kinematic manipulator (PKM) was designed. This kind of manipulator characterized by several closed kinematic chains often presents a complex dynamical model (given as a set of ordinary differential equations, ODEs). The application of control laws based on the TS approach is often doomed to failure given the large number of non-linear terms in the model. To overcome this problem, a new modeling approach was proposed. From a particular set of coordinates, the principle of virtual power was used to generate a dynamical model based on the differential algebraic equations (DAEs). This approach leads to a quasi-LPV model where the only varying parameters are the Lagrange multipliers derived from the constraint equations of the DAE model. The results were validated on simulation through a 2-DOF (degrees of freedom) parallel robot (Biglide) and a 3-DOF manipulator (Triglide) designed for the STS assistance.