This is Part B. / <p> Another approach is adopted for deriving the moments equations in spherical geometry using a spherical harmonics expansion of the neutron transport equation over a variable range of the direction cosine. Because of complications and uncertainties in establishing boundary conditions for the equations, only the zero'th order equations are solved, in an idealized situation, in order that a feel for equations and boundary conditions may be obtained.</p> <p> The equations are compared to equations given in a paper 'Directionally Discontinuous Harmonic Solutions of the Neutron Transport Equation in Spherical Geometry', by A. A. Harms and E. A. Attia. Analytical solutions for the zero'th order equations are given for equations developed there and to the equations developed in this paper. Numerical values are presented to give an idea of what accuracies might be expected. It is hoped that similar techniques can be used to solve the higher order equations analytically, and that appropriate boundary conditions can be found.</p> / Thesis / Master of Engineering (MEngr)

La ecuación del transporte neutrónico describe la población de neutrones y las reacciones nucleares dentro de un reactor nuclear. Primero, introducimos esta ecuación y las aproximaciones de la misma. Entonces, estudiamos la ecuación de la difusión neutrónica, la aproximación al transporte más utilizada. Para el caso estacionario, esta aproximación da lugar a un problema diferencial de valores propios. Para resolver la ecuación de la difusión se ha desarrollado un método de elementos finitos h-p. Para mejorar la eficiencia del método se ha implementado un precondicionador del tipo Restricted Additive Schwarz. Una vez hemos obtenido la distribución neutrónica en estado estacionario, usamos esta solución como condición inicial para integrar la ecuación de la difusión. Para probar el comportamiento del método propuesto, hemos simulado numéricamente ejecciones accidentales de barras de control. Sin embargo, cuando una celda tiene parcialmente introducida una barra de control aparece un comportamiento no físico, el efecto rod cusping. Para mitigar este efecto proponemos un esquema de malla móvil, es decir, la malla sigue el movimiento de las barras de control. Los resultados muestran que el efecto rod cusping disminuye con el esquema expuesto. Después, desarrollamos la aproximación de armónicos esféricos simplificados, SPN, para simular el comportamiento del núcleo del reactor el problema en estado estacionario. Esta aproximación extiende los armónicos esféricos en geometrías unidimensionales, PN, a geometrías multidimensionales usando fuertes aproximaciones. Las ecuaciones SPN mejoran la teoría de la difusión pero no convergen cuando N tiende a infinito. Probamos las ventajas y limitaciones de esta aproximación en diversos reactores. Finalmente, estudiamos la homogenización espacial en el contexto de los elementos finitos. La homogenización consiste en cambiar subdominios heterogéneos por homogéneos, de forma que el problema homogeneizado da eficientemente resultados promedios. La Teoría Generalizada de la Equivalencia para la homogenización propone factores de discontinuidad. Así pues, se ha introducido un método de elementos finitos de Galerkin discontinuo donde la condición de discontinuidad se impone de forma débil usando términos de penalización. También, hemos investigado el uso de factores de discontinuidad para la corrección de errores de homogenización cuando se usan la ecuaciones SPN. / The neutron transport equation describes the neutron population and the nuclear reactions inside a nuclear reactor core. First, this equation is introduced and its assumptions are stated. Then, the stationary neutron diffusion equation which is the most useful approximation of this equation, is studied. This approximation leads to a differential eigenvalue problem. To solve the neutron diffusion equation, a h-p finite element method is investigated. To improve the efficiency of the method a Restricted Additive Schwarz preconditioner is implemented. Once the solution for the steady state neutron distribution is obtained, it is used as initial condition for the time integration of the neutron diffusion equation. To test the behaviour of the method, rod ejection accidents are numerically simulated. However, a non-physical behaviour appears when a cell is partially rodded: this is, the rod cusping effect, which is solved by using a moving mesh scheme. In other words, the mesh follows the movement of the control rod. Numerical results show that the rod cusping effect is corrected with this scheme. After that, the simplified spherical harmonics approximation, SPN, is developed to solve the steady state problem. This approximation extends the spherical harmonics approximation, PN, in one dimensional geometries to multidimensional geometries with strong assumptions. It improves the diffusion theory results but does not converge as N tends to infinity. The advantages and limitations of this approximation are tested on several one-, two- and three-dimensional reactors. Finally, the spatial homogenization in the context of the finite element method is studied. Homogenization consists in replacing heterogeneous subdomains by homogeneous ones, in such a way that the homogenized problem provides fast and accurate average results. Discontinuous solutions were proposed in the Generalized Equivalence Theory. Here, a discontinuous Galerkin finite element method where the jump condition for the neutron flux is imposed in a weak sense using interior penalty terms is introduced. Also, the use of discontinuity factors for the correction of the homogenization error when using the SPN equations is investigated. / L'equació del transport neutrònic descriu la població de neutrons i les reaccions nuclears dins del nucli d'un reactor nuclear. Primer, introduïm aquesta equació i les seues principals aproximacions. Aleshores, estudiem l'equació de la difusió neutrònica, l'aproximació al transport neutrònic més utilitzada. Aquesta equació genera un problema diferencial de valors propis. Per a resoldre l'equació de la difusió s'ha desenvolupat un mètode d'elements finits h-p. Per millorar l'eficiencia del mètode s'ha implementat un precondicionador del tipus Restricted Additive Schwarz. Una vegada hem obtingut la distribució neutrònica en estat estacionari, usem aquesta solució com a condició inicial per integrar l'equació de la difusió depenent del temps. Amb la voluntat de provar el comportament del mètode proposat, hem simulat numèricament expusions accidentals de barres de control. Però, quan un node té parcialment introduïda una barra de control apareix un comportament no físic, l'efecte rod cusping. Per mitigar aquest efecte proposem un esquema de malla mòbil, és a dir, la malla segueix el moviment de les barres de control. Els resultats numèrics mostren que l'efecte rod cusping disminueix amb l'esquema exposat. Després, desenvolupem l'aproximació d'harmònics esfèrics simplificats, SPN, per a resoldre el problema en estat estacionari. Aquesta equació estén l'aproximació d'harmònics esfèrics en geometries unidimensionals, PN, a geometries multidimensionals usant fortes aproximacions. Les equacions SPN milloren la teoria de la difusió però no convergeixen quan N tendeix a infinit. Provem els avantatges i limitacions d'aquesta aproximació en diversos reactors. Finalment, estudiem l'homogeneïtzació espacial en el context dels elements finits. L'homogeneïtzació consisteix en canviar subdominis heterogenis per homogenis, de forma que el problema homogeneïtzat dóna eficientment resultats mitjos. La Teoria Generalitzada de l'Equivalència per a l'homogeneïtzació proposa factors de discontinuïtat. Així, s'ha introduït un mètode d'elements finits de Galerkin discontinu on la condició de discontinuïtat per al flux neutrònic s'imposa de forma dèbil usant termes de penalització. També, hem investigat l'ús de factors de discontinuïtat per a la correcció dels errors d'homogeneïtzació quan usen les equacions SPN. / Vidal Ferràndiz, A. (2018). Development of a finite element method for neutron transport equation approximations [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/98522 / TESIS

El principal objetivo de esta tesis es el desarrollo de un Método Modal para resolver dos ecuaciones: la Ecuación de la Difusión de Neutrones y la de las Ordenadas Discretas del Transporte de Neutrones. Además, este método está basado en el Método de Volúmenes Finitos para discretizar las variables espaciales. La solución de estas ecuaciones proporciona el flujo de neutrones, que está relacionado con la potencia que se produce en los reactores nucleares, por lo que es un factor fundamental para los Análisis de Seguridad Nuclear. Por una parte, la utilización del Método Modal está justificada para realizar análisis de inestabilidades en reactores. Por otra parte, el uso del Método de Volúmenes Finitos está justificado por la utilización de este método para resolver las ecuaciones termohidráulicas, que están fuertemente acopladas con la generación de energía en el combustible nuclear. En primer lugar, esta tesis incluye la definición de estas ecuaciones y los principales métodos utilizados para resolverlas. Además, se introducen los principales esquemas y características del Método de Volúmenes Finitos. También se describen los principales métodos numéricos para el Método Modal, que incluye tanto la solución de problemas de autovalores como la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias dependientes del tiempo. A continuación, se desarrollan varios algoritmos del Método de Volúmenes Finitos para el Estado Estacionario de la Ecuación de la Difusión de Neutrones. Se consigue desarrollar una formulación multigrupo, que permite resolver el problema de autovalores para cualquier número de grupos de energía, incluyendo términos de upscattering y de fisión en varios grupos de energía. Además, se desarrollan los algoritmos para realizar la computación en paralelo. La solución anterior es la condición inicial para resolver la Ecuación de Difusión de Neutrones dependiente del tiempo. En esta tesis se utiliza un Método Modal, que transforma el Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias en uno de mucho menor tamaño, que se resuelve con el Método de la Matriz Exponencial. Además, se ha desarrollado un método rápido para estimar el flujo adjunto a partir del directo, ya que se necesita en el Método Modal. Por otra parte, se ha desarrollado un algoritmo que resuelve el problema de autovalores de la Ecuación del Transporte de Neutrones. Este algoritmo es para la formulación de Ordenadas Discretas y el Método de Volúmenes Finitos. En concreto, se han aplicado dos tipos de cuadraturas para las Ordenadas Discretas y dos esquemas de interpolación para el Método de Volúmenes Finitos. Finalmente, se han aplicado estos métodos a diferentes tipos de reactores nucleares, incluyendo reactores comerciales. Se han evaluado los valores de la constante de multiplicación y de la potencia, ya que son las variables fundamentales en los Análisis de Seguridad Nuclear. Además, se ha realizado un análisis de sensibilidad de diferentes parámetros como la malla y métodos numéricos. En conclusión, se obtienen excelentes resultados, tanto en precisión como en coste computacional. / The main objective of this thesis is the development of a Modal Method to solve two equations: the Neutron Diffusion Equation and the Discrete Ordinates Neutron Transport Equation. Moreover, this method uses the Finite Volume Method to discretize the spatial variables. The solution of these equations gives the neutron flux, which is related to the power produced in nuclear reactors; thus, the neutron flux is a paramount variable in Nuclear Safety Analyses. On the one hand, the use of Modal Methods is justified because one uses them to perform instability analyses in nuclear reactors. On the other hand, it is worth using the Finite Volume Method because one uses it to solve thermalhydraulic equations, which are strongly coupled with the energy generation in the nuclear fuel. First, this thesis defines the equations mentioned above and the main methods to solve these equations. Furthermore, the thesis describes the major schemes and features of the Finite Volume Method. In addition, the author also introduces the major methods used in the Modal Method, which include the methods used to solve the eigenvalue problem, as well as those used to solve the time dependent Ordinary Differential Equations. Next, the author develops several algorithms of the Finite Volume Method applied to the Steady State Neutron Diffusion Equation. In addition, the thesis includes an improvement of the multigroup formulation, which solves problems involving upscattering and fission terms in several energy groups. Moreover, the author optimizes the algorithms to do calculations with parallel computing. The previous solution is used as initial condition to solve the time dependent Neutron Diffusion Equation. The author uses a Modal Method to do so, which transforms the Ordinary Differential Equations System into a smaller system that is solved by using the Exponential Matrix Method. Furthermore, the author developed a computationally efficient method to estimate the adjoint flux from the forward one, because the Modal Method uses the adjoint flux. Additionally, the thesis also presents an algorithm to solve the eigenvalue problem of the Neutron Transport Equation. This algorithm uses the Discrete Ordinates formulation and the Finite Volume Method. In particular, the author uses two types of quadratures for the Discrete Ordinates and two interpolation schemes for the Finite Volume Method. Finally, the author tested the developed methods in different types of nuclear reactors, including commercial ones. The author checks the accuracy of the values of the crucial variables in Nuclear Safety Analyses, which are the multiplication factor and the power distribution. Furthermore, the thesis includes a sensitivity analysis of several parameters, such as the mesh and numerical methods. In conclusion, excellent results are reported in both accuracy and computational cost. / El principal objectiu d'esta tesi és el desenvolupament d'un Mètode Modal per a resoldre dos equacions: l'Equació de Difusió de Neutrons i la de les Ordenades Discretes del Transport de Neutrons. A més a més, este mètode està basat en el Mètode de Volums Finits per a discretitzar les variables espacials. La solució d'estes equacions proporcionen el flux de neutrons, que està relacionat amb la potència que es produïx en els reactors nuclears; per tant, el flux de neutrons és un factor fonamental en els Anàlisis de Seguretat Nuclear. Per una banda, la utilització del Mètode Modal està justificada per a realitzar anàlisis d'inestabilitats en reactors. Per altra banda, l'ús del Mètode de Volums Finits està justificat per l'ús d'este mètode per a resoldre les equacions termohidràuliques, que estan fortament acoblades amb la generació d'energia en el combustible nuclear. En primer lloc, esta tesi inclou la definició d'estes equacions i els principals mètodes utilitzats per a resoldre-les. A més d'això, s'introduïxen els principals esquemes i característiques del Mètode de Volums Finits. Endemés, es descriuen els principals mètodes numèrics per al Mètode Modal, que inclou tant la solució del problema d'autovalors com la solució d'Equacions Diferencials Ordinàries dependents del temps. A continuació, es desenvolupa diversos algoritmes del Mètode de Volums Finits per a l'Estat Estacionari de l'Equació de Difusió de Neutrons. Es conseguix desenvolupar una formulació multigrup, que permetre resoldre el problema d'autovalors per a qualsevol nombre de grups d'energia, incloent termes d' upscattering i de fissió en diversos grups d'energia. A més a més, es desenvolupen els algoritmes per a realitzar la computació en paral·lel. La solució anterior és la condició inicial per a resoldre l'Equació de Difusió de Neutrons dependent del temps. En esta tesi s'utilitza un Mètode Modal, que transforma el Sistema d'Equacions Diferencials Ordinàries en un problema de menor tamany, que es resol amb el Mètode de la Matriu Exponencial. Endemés, s'ha desenvolupat un mètode ràpid per a estimar el flux adjunt a partir del directe, perquè es necessita en el Mètode Modal. Per altra banda, s'ha desenvolupat un algoritme que resol el problema d'autovalors de l'Equació de Transport de Neutrons. Este algoritme és per a la formulació d'Ordenades Discretes i el Mètode de Volums Finits. En concret, s'han aplicat dos tipos de quadratures per a les Ordenades Discretes i dos esquemes d'interpolació per al Mètode de Volums Finits. Finalment, s'han aplicat estos mètodes a diversos tipos de reactors nuclears, incloent reactors comercials. S'han avaluat els valor de la constat de multiplicació i de la potència, perquè són variables fonamentals en els Anàlisis de Seguretat Nuclear. Endemés, s'ha realitzat un anàlisi de sensibilitat de diversos paràmetres com la malla i mètodes numèrics. En conclusió, es conseguix obtenir excel·lents resultats, tant en precisió com en cost computacional. / Bernal García, Á. (2018). Development of a 3D Modal Neutron Code with the Finite Volume Method for the Diffusion and Discrete Ordinates Transport Equations. Application to Nuclear Safety Analyses [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/112422 / TESIS

[ES] Uno de los objetivos más importantes en el análisis de la seguridad en el campo de la ingeniería nuclear es el cálculo, rápido y preciso, de la evolución de la potencia dentro del núcleo del reactor. La distribución de los neutrones se puede describir a través de la ecuación de transporte de Boltzmann. La solución de esta ecuación no puede obtenerse de manera sencilla para reactores realistas, y es por ello que se tienen que considerar aproximaciones numéricas. En primer lugar, esta tesis se centra en obtener la solución para varios problemas estáticos asociados con la ecuación de difusión neutrónica: los modos lambda, los modos gamma y los modos alpha. Para la discretización espacial se ha utilizado un método de elementos finitos de alto orden. Diversas características de cada problema espectral se analizan y se comparan en diferentes reactores. Después, se investigan varios métodos de cálculo para problemas de autovalores y estrategias para calcular los problemas algebraicos obtenidos a partir de la discretización espacial. La mayoría de los trabajos destinados a la resolución de la ecuación de difusión neutrónica están diseñados para la aproximación de dos grupos de energía, sin considerar dispersión de neutrones del grupo térmico al grupo rápido. La principal ventaja de la metodología que se propone es que no depende de la geometría del reactor, del tipo de problema de autovalores ni del número de grupos de energía del problema. Tras esto, se obtiene la solución de las ecuaciones estacionarias de armónicos esféricos. La implementación de estas ecuaciones tiene dos principales diferencias respecto a la ecuación de difusión neutrónica. Primero, la discretización espacial se realiza a nivel de pin. Por tanto, se estudian diferentes tipos de mallas. Segundo, el número de grupos de energía es, generalmente, mayor que dos. De este modo, se desarrollan estrategias a bloques para optimizar el cálculo de los problemas algebraicos asociados. Finalmente, se implementa un método modal actualizado para integrar la ecuación de difusión neutrónica dependiente del tiempo. Se presentan y comparan los métodos modales basados en desarrollos en función de los diferentes modos espaciales para varios tipos de transitorios. Además, también se desarrolla un control de paso de tiempo adaptativo, que evita la actualización de los modos de una manera fija y adapta el paso de tiempo en función de varias estimaciones del error. / [CAT] Un dels objectius més importants per a l'anàlisi de la seguretat en el camp de l'enginyeria nuclear és el càlcul, ràpid i precís, de l'evolució de la potència dins del nucli d'un reactor. La distribució dels neutrons pot modelar-se mitjançant l'equació del transport de Boltzmann. La solució d'aquesta equació per a un reactor realístic no pot obtenir's de manera senzilla. És per això que han de considerar-se aproximacions numèriques. En primer lloc, la tesi se centra en l'obtenció de la solució per a diversos problemes estàtics associats amb l'equació de difusió neutrònica: els modes lambda, els modes gamma i els modes alpha. Per a la discretització espacial s'ha utilitzat un mètode d'elements finits d'alt ordre. Algunes de les característiques dels problemes espectrals s'analitzaran i es compararan per a diferents reactors. Tanmateix, diversos solucionadors de problemes d'autovalors i estratègies es desenvolupen per a calcular els problemes obtinguts de la discretització espacial. La majoria dels treballs per a resoldre l'equació de difusió neutrònica estan dissenyats per a l'aproximació de dos grups d'energia i sense considerar dispersió de neutrons del grup tèrmic al grup ràpid. El principal avantatge de la metodologia exposada és que no depèn de la geometria del reactor, del tipus de problema d'autovalors ni del nombre de grups d'energia del problema. Seguidament, s'obté la solució de les equacions estacionàries d'harmònics esfèrics. La implementació d'aquestes equacions té dues principals diferències respecte a l'equació de difusió. Primer, la discretització espacial es realitza a nivell de pin a partir de l'estudi de diferents malles. Segon, el nombre de grups d'energia és, generalment, major que dos. D'aquesta forma, es desenvolupen estratègies a blocs per a optimitzar el càlcul dels problemes algebraics associats. Finalment, s'implementa un mètode modal amb actualitzacions dels modes per a integrar l'equació de difusió neutrònica dependent del temps. Es presenten i es comparen els mètodes modals basats en l'expansió dels diferents modes espacials per a diversos tipus de transitoris. A més a més, un control de pas de temps adaptatiu es desenvolupa, evitant l'actualització dels modes d'una manera fixa i adaptant el pas de temps en funció de vàries estimacions de l'error. / [EN] One of the most important targets in nuclear safety analyses is the fast and accurate computation of the power evolution inside of the reactor core. The distribution of neutrons can be described by the neutron transport Boltzmann equation. The solution of this equation for realistic nuclear reactors is not straightforward, and therefore, numerical approximations must be considered. First, the thesis is focused on the attainment of the solution for several steady-state problems associated with neutron diffusion problem: the $\lambda$-modes, the $\gamma$-modes and the $\alpha$-modes problems. A high order finite element method is used for the spatial discretization. Several characteristics of each type of spectral problem are compared and analyzed on different reactors. Thereafter, several eigenvalue solvers and strategies are investigated to compute efficiently the algebraic eigenvalue problems obtained from the discretization. Most works devoted to solve the neutron diffusion equation are made for the approximation of two energy groups and without considering up-scattering. The main property of the proposed methodologies is that they depend on neither the reactor geometry, the type of eigenvalue problem nor the number of energy groups. After that, the solution of the steady-state simplified spherical harmonics equations is obtained. The implementation of these equations has two main differences with respect to the neutron diffusion. First, the spatial discretization is made at level of pin. Thus, different meshes are studied. Second, the number of energy groups is commonly bigger than two. Therefore, block strategies are developed to optimize the computation of the algebraic eigenvalue problems associated. Finally, an updated modal method is implemented to integrate the time-dependent neutron diffusion equation. Modal methods based on the expansion of the different spatial modes are presented and compared in several types of transients. Moreover, an adaptive time-step control is developed that avoids setting the time-step with a fixed value and it is adapted according to several error estimations. / Carreño Sánchez, AM. (2020). Integration methods for the time dependent neutron diffusion equation and other approximations of the neutron transport equation [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/144771 / TESIS

L'objectif de ce travail de thèse est le développement d'une approximation polynomiale axiale dans un solveur basé sur la Méthode des Caractéristiques. Le contexte, est celui de la solution stationnaire de l'équation de transport des neutrons pour des systèmes critiques, et l'implémentation pratique a été réalisée dans le solveur "Two/three Dimensional Transport" (TDT), faisant partie du projet APOLLO3®. Un solveur MOC pour des géométries en trois dimensions a été implémenté dans ce code pendant un projet de thèse antécédent, se basant sur une approximation constante par morceaux du flux et des sources des neutrons. Les développements présentés dans la suite représentent la continuation naturelle de ce travail. Les solveurs MOC en trois dimensions sont capables de produire des résultats précis pour des géométries complexes. Bien que précis, le coût computationnel associé à ce type de solveur est très important. Une représentation polynomiale en direction axiale du flux angulaire des neutrons a été utilisée pour réduire ce coût computationnel.Le travail réalisé pendant cette thèse peut être considéré comme divisé en trois parties: transport, accélération et autres. La première partie est constituée par l'implémentation de l'approximation polynomiale choisie dans les équations de transmission et de bilan typiques de la Méthode des Caractéristiques. Cette partie a aussi été caractérisée par le calcul d'une série de coefficients numériques qui se sont révélés nécessaires afin d'obtenir un algorithme stable. Pendant la deuxième partie, on a modifié et implémenté la solution des équations de la méthode d'accélération DPN. Cette méthode était déjà utilisée pour l'accélération et des itérations internes et externes dans TDT pour les solveurs deux et trois dimensionnels avec l'approximation des flux plat, quand ce travail a commencé. L'introduction d'une approximation polynomiale a demandé plusieurs développements numériques regardant la méthode d'accélération. Dans la dernière partie de ce travail on a recherché des solutions pour un mélange de différents problèmes liés aux premières deux parties. En premier lieux, on a eu à faire avec des instabilités numériques associées à une discrétisation spatiale ou angulaire pas suffisamment précise, soit pour la partie transport que pour la partie d'accélération. Ensuite, on a essayé d'utiliser différentes méthodes pour réduire l'empreinte mémoire des coefficients d'accélération. L'approche qu'on a finalement choisie se base sur une régression non-linéaire au sens des moindres carrés de la dépendance en fonction des sections efficaces typique de ces coefficients. L'approche standard consiste dans le stockage d'une série de coefficients pour chaque groupe d'énergie. La méthode de régression permet de remplacer cette information avec une série de coefficients calculés pendant la régression qui sont utilisés pour reconstruire les matrices d'accélération au cours des itérations. Cette procédure ajoute un certain coût computationnel à la méthode, mais nous pensons que la réduction de la mémoire rende ce surcoût acceptable.En conclusion, le travail réalisé a été concentré sur l'application d'une simple approximation polynomiale avec l'objectif de réduire le coût computationnel et l'empreinte mémoire associées à un solveur basée sur la Méthodes des Caractéristiques qui est utilisé pour calculer le flux neutroniques pour des géométries à trois dimensions extrudées. Même si cela ne constitue pas une amélioration radicale des performances, l'approximation d'ordre supérieur qu'on a introduit permet une réduction en termes de mémoire et de temps de calcul d'un facteur compris entre 2 et 5, selon le cas. Nous pensons que ces résultats constitueront une base fertile pour des futures améliorations. / The purpose of this PhD is the implementation of an axial polynomial approximation in a three-dimensional Method Of Characteristics (MOC) based solver. The context of the work is the solution of the steady state Neutron Transport Equation for critical systems, and the practical implementation has been realized in the Two/three Dimensional Transport (TDT) solver, as a part of the APOLLO3® project. A three-dimensional MOC solver for 3D extruded geometries has been implemented in this code during a previous PhD project, relying on a piecewise constant approximation for the neutrons fluxes and sources. The developments presented in the following represent the natural continuation of this work. Three-dimensional neutron transport MOC solvers are able to produce accurate results for complex geometries. However accurate, the computational cost associated to this kind of solvers is very important. An axial polynomial representation of the neutron angular fluxes has been used to lighten this computational burden.The work realized during this PhD can be considered divided in three major parts: transport, acceleration and others. The first part is constituted by the implementation of the chosen polynomial approximation in the transmission and balance equations typical of the Method Of Characteristics. This part was also characterized by the computation of a set of numerical coefficients which revealed to be necessary in order to obtain a stable algorithm. During the second part, we modified and implemented the solution of the equations of the DPN synthetic acceleration. This method was already used for the acceleration of both inners and outers iteration in TDT for the two and three dimensional solvers at the beginning of this work. The introduction of a polynomial approximation required several equations manipulations and associated numerical developments. In the last part of this work we have looked for the solutions of a mixture of different issues associated to the first two parts. Firstly, we had to deal with some numerical instabilities associated to a poor numerical spatial or angular discretization, both for the transport and for the acceleration methods. Secondly, we tried different methods to reduce the memory footprint of the acceleration coefficients. The approach that we have eventually chosen relies on a non-linear least square fitting of the cross sections dependence of such coefficients. The default approach consists in storing one set of coefficients per each energy group. The fit method allows replacing this information with a set of coefficients computed during the regression procedure that are used to re-construct the acceleration matrices on-the-fly. This procedure of course adds some computational cost to the method, but we believe that the reduction in terms of memory makes it worth it.In conclusion, the work realized has focused on applying a simple polynomial approximation in order to reduce the computational cost and memory footprint associated to a Method Of Characteristics solver used to compute the neutron fluxes in three dimensional extruded geometries. Even if this does not a constitute a radical improvement, the high order approximation that we have introduced allows a reduction in terms of memory and computational times of a factor between 2 and 5, depending on the case. We think that these results will constitute a fertile base for further improvements.

Nesta dissertação, são apresentados os seguintes modelos matemáticos de transporte de nêutrons: a equação linearizada de Boltzmann e a equação da difusão de nêutrons monoenergéticos em meios não-multiplicativos. Com o objetivo de determinar o período fluxo escalar de nêutrons, é descrito um método espectronodal que gera soluções numéricas para o problema de difusão em geometria planar de fonte fixa, que são livres de erros de truncamento espacial, e que conjugado com uma técnica de reconstrução espacial intranodal gera o perfil detalhado da solução. A fim de obter o valor aproximado do fluxo angular de nêutrons em um determinado ponto do domínio e em uma determinada direção de migração, descreve-se também um método de reconstrução angular baseado na solução analítica da equação unidimensional de transporte de nêutrons monoenergéticos com espalhamento linearmente anisotrópico com aproximação sintética de difusão nos termos de fonte por espalhamento. O código computacional desenvolvido nesta dissertação foi implementado na plataforma livre Scilab, e para ilustrar a eficiência do código criado,resultados numéricos obtidos para três problemas-modelos são apresentados / We describe a method to determine the neutron scalar flux in a slab using monoenergetic diffusion model. To achieve this goal we used three ingredients in the computational code that we developed on the Scilab platform: (i) a spectral nodal method that generates numerical solution for the one-speed slab-geometry fixed-source difusion problem with no spatial truncation errors; (ii) a spatial reconstruction scheme to yield detailed proile of the coarse-mesh solution; and (iii) an angular reconstruction scheme to yield approximately the neutron angular flux profile within the slab. The angular reconstruction scheme is based on the analytical solution of the neutron transport equation in slab geometry with linearly anisotropic scattering and diffusion approximation for the scattering source terms. Numerical results are given to illustrate the efficiency of the offered code

Nesta dissertação, são apresentados os seguintes modelos matemáticos de transporte de nêutrons: a equação linearizada de Boltzmann e a equação da difusão de nêutrons monoenergéticos em meios não-multiplicativos. Com o objetivo de determinar o período fluxo escalar de nêutrons, é descrito um método espectronodal que gera soluções numéricas para o problema de difusão em geometria planar de fonte fixa, que são livres de erros de truncamento espacial, e que conjugado com uma técnica de reconstrução espacial intranodal gera o perfil detalhado da solução. A fim de obter o valor aproximado do fluxo angular de nêutrons em um determinado ponto do domínio e em uma determinada direção de migração, descreve-se também um método de reconstrução angular baseado na solução analítica da equação unidimensional de transporte de nêutrons monoenergéticos com espalhamento linearmente anisotrópico com aproximação sintética de difusão nos termos de fonte por espalhamento. O código computacional desenvolvido nesta dissertação foi implementado na plataforma livre Scilab, e para ilustrar a eficiência do código criado,resultados numéricos obtidos para três problemas-modelos são apresentados / We describe a method to determine the neutron scalar flux in a slab using monoenergetic diffusion model. To achieve this goal we used three ingredients in the computational code that we developed on the Scilab platform: (i) a spectral nodal method that generates numerical solution for the one-speed slab-geometry fixed-source difusion problem with no spatial truncation errors; (ii) a spatial reconstruction scheme to yield detailed proile of the coarse-mesh solution; and (iii) an angular reconstruction scheme to yield approximately the neutron angular flux profile within the slab. The angular reconstruction scheme is based on the analytical solution of the neutron transport equation in slab geometry with linearly anisotropic scattering and diffusion approximation for the scattering source terms. Numerical results are given to illustrate the efficiency of the offered code

[ES] La forma más exacta de conocer el desplazamiento de los neutrones a través de un medio material se consigue resolviendo la Ecuación del Transporte Neutrónico. Tres diferentes aproximaciones de esta ecuación se han investigado en esta tesis: Ecuación del transporte neutrónico resuelta por el método de Ordenadas Discretas, Ecuación de la Difusión y Ecuación de Armónicos Esféricos Simplificados. Para resolver estás ecuaciones se estudian diferentes esquemas del Método de Diferencias Finitas. La solución a estas ecuaciones describe la población de neutrones y las reacciones ocasionadas dentro de un reactor nuclear. A su vez, estas variables están relacionadas con el flujo y la potencia, parámetros fundamentales para el Análisis de Seguridad Nuclear. La tesis introduce la definición de las ecuaciones mencionadas y en particular se detallan para el estado estacionario. Se plantea el Método Modal como solución a los problemas de autovalores definidos por dichas ecuaciones. Primero se desarrollan varios algoritmos para la resolución del estado estacionario de la Ecuación del Transporte de Neutrones con el Método de Ordenadas Discretas para la discretización angular y el Método de Diferencias Finitas para la discretización espacial. Se ha implementado una formulación capaz de resolver el problema de autovalores para cualquier número de grupos energéticos con upscattering y anisotropía. Varias cuadraturas utilizadas por este método en su resolución angular han sido estudiadas e implementadas para cualquier orden de aproximación de Ordenadas Discretas. Además, otra formulación se desarrolla para la solución del problema fuente de la ecuación del transporte neutrónico. A continuación, se lleva a cabo un algoritmo que permite resolver la Ecuación de la Difusión de Neutrones con dos variantes del método de diferencias Finitas, una centrada en celda y otra en vértice o nodo. Se utiliza también el Método Modal calculando cualquier número de autovalores para varios grupos de energía y con upscattering. También se implementan los dos esquemas del Método de Diferencias Finitas anteriormente mencionados en el desarrollo de diferentes algoritmos para resolver las Ecuaciones de Armónicos Esféricos Simplificados. Además, se ha realizado un análisis de diferentes aproximaciones de las condiciones de contorno. Finalmente, se han realizado cálculos de la constante de multiplicación, los modos subcríticos, el flujo neutrónico y la potencia para diferentes tipos de reactores nucleares. Estas variables resultan esenciales en Análisis de Seguridad Nuclear. Además, se han realizado diferentes estudios de sensibilidad de parámetros como tamaño de malla, orden utilizado en cuadraturas o tipo de cuadraturas. / [CA] La forma més exacta de conèixer el desplaçament dels neutrons a través d'un mitjà material s'aconsegueix resolent l'Equació del Transport Neutrònic. Tres diferents aproximacions d'esta equació s'han investigat en aquesta tesi: Equació del Transport Neutrònic resolta pel mètode d'Ordenades Discretes, Equació de la Difusió i Equació d'Ármonics Esfèrics Simplificats. Per a resoldre estes equacions s'estudien diferents esquemes del Mètode de Diferències Finites. La solució a estes equacions descriu la població de neutrons i les reaccions ocasionades dins d'un reactor nuclear. Al seu torn, estes variables estan relacionades amb el flux i la potència, paràmetres fonamentals per a l'Anàlisi de Seguretat Nuclear. La tesi introduïx la definició de les equacions mencionades i en particular es detallen per a l'estat estacionari. Es planteja el Mètode Modal com a solució als problemes d'autovalors definits per les dites equacions. Primer es desenvolupen diversos algoritmes per a la resolució de l'estat estacionari de l'Equació del Transport de Neutrons amb el Mètode d'Ordenades Discretes per a la discretiztació angular i el Mètode de Diferències Finites per a la discretització espacial. S'ha implementat una formulació capaç de resoldre el problema d'autovalors per a qualsevol nombre de grups energètics amb upscattering i anisotropia. Diverses quadratures utilitzades per este mètode en la seua resolució angular han sigut estudiades i implementades per a qualsevol orde d'aproximació d'Ordenades Discretes. A més, una altra formulació es desenvolupa per a la solució del problema font de l'Equació del Transport Neutrònic. A continuació, es du a terme un algoritme que permet resoldre l'Equació de la Difusió de Neutrons amb dos variants del mètode de Diferències Finites, una centrada en cel·la i una altra en vèrtex o node. S'utilitza també el Mètode Modal calculant qualsevol nombre d'autovalors per a diversos grups d'energia i amb upscattering. També s'implementen els dos esquemes del Mètode de Diferències Finites anteriorment mencionats en el desenvolupament de diferents algoritmes per a resoldre les Equacions d'Harmònics Esfèrics Simplificats. A més, s'ha realitzat una anàlisi de diferents aproximacions de les condicions de contorn. Finalment, s'han realitzat càlculs de la constant de multiplicació, els modes subcrítics, el flux neutrònic i la potència per a diferents tipus de reactors nuclears. Estes variables resulten essencials en Anàlisi de Seguretat Nuclear. A més, s'han realitzat diferents estudis de sensibilitat de paràmetres com la grandària de malla, orde utilitzat en quadratures o tipus de quadratures. / [EN] The most accurate way to know the movement of the neutrons through matter is achieved by solving the Neutron Transport Equation. Three different approaches to solve this equation have been investigated in this thesis: Discrete Ordinates Neutron Transport Equation, Neutron Diffusion Equation and Simplified Spherical Harmonics Equations. In order to solve the equations, different schemes of the Finite Differences Method were studied. The solution of these equations describes the population of neutrons and the occurred reactions inside a nuclear system. These variables are related with the flux and power, fundamental parameters for the Nuclear Safety Analysis. The thesis introduces the definition of the mentioned equations. In particular, they are detailed for the steady state case. The Modal Method is proposed as a solution to the eigenvalue problems determined by the equations. First, several algorithms for the solution of the steady state of the Neutron Transport Equation with the Discrete Ordinates Method for the angular discretization and Finite Difference Method for spatial discretization are developed. A formulation able to solve eigenvalue problems for any number of energy groups, with scattering and anisotropy has been developed. Several quadratures used by this method for the angular discretization have been studied and implemented for any order of approach of the discrete ordinates. Furthermore, an adapted formulation has been developed as a solution of the source problem for the Neutron Transport Equation. Next, an algorithm is carried out that allows to solve the Neutron Diffusion Equation with two variants of the Finite Difference Method, one with cell centered scheme and another edge entered. The Modal method is also used for calculating any number of eigenvalues for several energy groups and upscattering. Both Finite Difference schemes mentioned before are also implemented to solve the Simplified Spherical Harmonics Equations. Moreover, an analysis of different approaches of the boundary conditions is performed. Finally, calculations of the multiplication factor, subcritical modes, neutron flux and the power for different nuclear reactors were carried out. These variables result essential in Nuclear Safety Analysis. In addition, several sensitivity studies of parameters like mesh size, quadrature order or quadrature type were performed. / Me gustaría dar las gracias al Ministerio de Economía, Industria y Competitividad y a la Agencia Estatal de Investigación de España por la concesión de mi contrato predoctoral de formación de personal investigador con referencia BES-2016-076782. La ayuda económica proporcionada por este contrato fue esencial para el desarrollo de esta tesis, así como para el financiamiento de una estancia. / Morato Rafet, S. (2020). Contributions to solve the Multi-group Neutron Transport equation with different Angular Approaches [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/159271 / TESIS

Les schémas de calcul déterministes permettent une modélisation à moindre coût du comportement de la population de neutrons en réacteur, mais sont traditionnellement construits sur des approximations (décomposition réseau/cœur, homogénéisation spatiale et énergétique…). La thèse revient sur une partie de ces sources d’erreur, de façon à rapprocher la méthode déterministe d’un schéma de référence. L’objectif est de profiter des architectures informatiques modernes (HPC) pour résoudre le problème neutronique à l’échelle du cœur 3D, tout en préservant l’opérateur de transport et une partie des hétérogénéités de la géométrie. Ce travail est réalisé au sein du solveur cœur Sn Minaret de la plateforme de calcul Apollo3® pour des réacteurs à neutrons rapides.Une méthode de décomposition de domaine en espace, est retenue. L'idée consiste à décomposer un problème de grande dimension en sous-problèmes "indépendants" de taille réduite. La convergence vers la solution globale est assurée par échange de flux angulaires entre sous-domaines au cours d'un processus itératif. En favorisant un recours massif au parallélisme, les méthodes de décomposition de domaine contribuent à lever les contraintes en mémoire et temps de calcul. La mise en place d'un parallélisme hybride, couplant les technologies MPI et OpenMP, est en particulier propice au passage sur supercalculateur. Une méthode d'accélération de type Coarse Mesh Rebalance  est ajoutée pour pallier à la pénalité de convergence constatée sur la méthode de décomposition de domaine. Le potentiel du nouveau schéma est finalement mis en évidence sur un coeur CFV 3D, construit en préservant l'hétérogénéité des assemblages absorbants. / Deterministic calculation schemes are devised to numerically solve the neutron transport equation in nuclear reactors. Dealing with core-sized problems is very challenging for computers, so much that the dedicated core codes have no choice but to allow simplifying assumptions (assembly- then core-scale steps…). The PhD work aims to correct some of these ‘standard’ approximations, in order to get closer of reference calculations: thanks to important increases in calculation capacities (HPC), nowadays one can solve 3D core-sized problems, using both high mesh refinement and the transport operator. Developments were performed inside the Sn core solver Minaret, from the new CEA neutronics platform Apollo3® for fast neutrons reactors of the CFV-kind.This work focuses on a Domain Decomposition Method in space. The fundamental idea involves splitting a core-sized problem into smaller and 'independent' subproblems. Angular flux is exchanged between adjacent subdomains. In doing so, all combined subproblems converge to the global solution at the outcome of an iterative process. Domain decomposition is well-suited to massive parallelism, allowing much more ambitious computations in terms of both memory requirements and calculation time. An hybrid MPI/OpenMP parallelism is chosen to match the supercomputers architecture. A Coarse Mesh Rebalance accelration technique is added to balance the convergence penalty observed using Domain Decomposition. The potential of the new calculation scheme is demonstrated on a 3D core of the CFV-kind, using an heterogeneous description of the absorbent rods.

Ce travail de thèse est consacré à la mise en œuvre d’une méthode de décomposition de domaine appliquée à l’équation du transport. L’objectif de ce travail est l’accès à des solutions déterministes haute-fidélité permettant de correctement traiter les hétérogénéités des réacteurs nucléaires, pour des problèmes dont la taille varie d’un motif d’assemblage en 3 dimensions jusqu’à celle d’un grand cœur complet en 3D. L’algorithme novateur développé au cours de la thèse vise à optimiser l’utilisation du parallélisme et celle de la mémoire. La démarche adoptée a aussi pour but la diminution de l’influence de l’implémentation parallèle sur les performances. Ces objectifs répondent aux besoins du projet APOLLO3, développé au CEA et soutenu par EDF et AREVA, qui se doit d’être un code portable (pas d’optimisation sur une architecture particulière) permettant de réaliser des modélisations haute-fidélité (best estimate) avec des ressources allant des machines de bureau aux calculateurs disponibles dans les laboratoires d’études. L’algorithme que nous proposons est un algorithme de Jacobi Parallèle par Bloc Multigroupe. Chaque sous domaine est un problème multigroupe à sources fixes ayant des sources volumiques (fission) et surfaciques (données par les flux d’interface entre les sous domaines). Le problème multigroupe est résolu dans chaque sous domaine et une seule communication des flux d’interface est requise par itération de puissance. Le rayon spectral de l’algorithme de résolution est rendu comparable à celui de l’algorithme de résolution classique grâce à une méthode d’accélération non linéaire par la diffusion bien connue nommée Coarse Mesh Finite Difference. De cette manière une scalabilité idéale est atteignable lors de la parallélisation. L’organisation de la mémoire, tirant parti du parallélisme à mémoire partagée, permet d’optimiser les ressources en évitant les copies de données redondantes entre les sous domaines. Les architectures de calcul à mémoire distribuée sont rendues accessibles par un parallélisme hybride qui combine le parallélisme à mémoire partagée et à mémoire distribuée. Pour des problèmes de grande taille, ces architectures permettent d’accéder à un plus grand nombre de processeurs et à la quantité de mémoire nécessaire aux modélisations haute-fidélité. Ainsi, nous avons réalisé plusieurs exercices de modélisation afin de démontrer le potentiel de la réalisation : calcul de cœur et de motifs d’assemblages en 2D et 3D prenant en compte les contraintes de discrétisation spatiales et énergétiques attendues. / This thesis is devoted to the implementation of a domain decomposition method applied to the neutron transport equation. The objective of this work is to access high-fidelity deterministic solutions to properly handle heterogeneities located in nuclear reactor cores, for problems’ size ranging from colorsets of assemblies to large reactor cores configurations in 2D and 3D. The innovative algorithm developed during the thesis intends to optimize the use of parallelism and memory. The approach also aims to minimize the influence of the parallel implementation on the performances. These goals match the needs of APOLLO3 project, developed at CEA and supported by EDF and AREVA, which must be a portable code (no optimization on a specific architecture) in order to achieve best estimate modeling with resources ranging from personal computer to compute cluster available for engineers analyses. The proposed algorithm is a Parallel Multigroup-Block Jacobi one. Each subdomain is considered as a multi-group fixed-source problem with volume-sources (fission) and surface-sources (interface flux between the subdomains). The multi-group problem is solved in each subdomain and a single communication of the interface flux is required at each power iteration. The spectral radius of the resolution algorithm is made similar to the one of a classical resolution algorithm with a nonlinear diffusion acceleration method: the well-known Coarse Mesh Finite Difference. In this way an ideal scalability is achievable when the calculation is parallelized. The memory organization, taking advantage of shared memory parallelism, optimizes the resources by avoiding redundant copies of the data shared between the subdomains. Distributed memory architectures are made available by a hybrid parallel method that combines both paradigms of shared memory parallelism and distributed memory parallelism. For large problems, these architectures provide a greater number of processors and the amount of memory required for high-fidelity modeling. Thus, we have completed several modeling exercises to demonstrate the potential of the method: 2D full core calculation of a large pressurized water reactor and 3D colorsets of assemblies taking into account the constraints of space and energy discretization expected for high-fidelity modeling.