Many problems in geometric measure theory are centered around finding conditions and structures on a set to guarantee that its distance set must be large. Two notions of structure that are of importance in this work are Hausdorff dimension and thickness. Recent progress has been made on generalizing the notion of thickness so part of this work also generalizes previous results using this new upgraded version of thickness. We also show why a famous conjecture about distance sets does not hold on the real line and thus, why this conjecture needs to happen in higher dimensions. Furthermore, we give explicit distance set and thickness calculations for a special class of self-similar sets. / Master of Science / Part of the study of geometric measure theory is centered around creating interesting structures to place on a set and determining what sort of threshold on that structure allows you to guarantee that some interesting geometric property exists for that set. An example of this is determining when you can guarantee that a set contains many unique distances between elements in that set. This work presents various types of structures that help to investigate the problem of when you can guarantee that a set has the previously mentioned geometric property.

On veut comprendre les implications dynamiques de l'absence de décompositions dominées. Une décomposition dominée est une forme affaiblie d'hyperbolicité où l'espace tangent d'une variété est la somme directe de sous-fibrés invariants, rangés du plus contracté au plus dilaté par la dynamique. On commence par répondre à une ancienne question de Hirsch, Pugh et Shub, en démontrant l'existence de métriques adaptées pour les décompositions dominées. <br /><br />Sur les surfaces, Mañé a démontré une dichotomie $C^1$-générique entre hyperbolicité et phénomènes de Newhouse (une infinité de puits/sources). Pour cela, il a prouvé que lorsque les décompositions dominées le long d'une orbite périodique sont trop faibles, une $C^1$-pertubation crée un puits ou une source. <br /><br />On généralise ce dernier énoncé à toute dimension en se ramenant à l'étude de cocycles linéaires, grâce à un lemme de Franks. Abdenur, Bonatti et Crovisier en ont déduit des dichotomies $C^1$-génériques en toute dimension entre phénomènes de Newhouse et décompositions dominées sur les ensembles non-errants. <br /><br />Les deux derniers chapitres sont consacrés à la création de tangences homoclines en l'absence de décomposition dominée stable/instable, dans le prolongement de travaux de Wen. Enfin, dans le dernier chapitre, on montre que si la classe homocline d'une selle $P$ n'a pas de décomposition dominée de même indice que $P$, une perturbation crée une tangence associée à $P$.

Cette thèse est consacrée à l’étude du phénomène de Newhouse et des bifurcations en dynamique holomorphe à plusieurs variables. Elle comporte trois Théorèmes principaux. Le premier de ces trois résultats est un Gap Lemma complexe. En dynamique réelle, le Gap Lemma de Newhouse donne un critère sur le produit des épaisseurs de deux ensembles de Cantor dynamiques pour prouver que leur intersection est non vide. On en donne une généralisation partielle au cas des ensembles de Cantor dynamiques dans C. Plus précisément, on introduit une notion d’épaisseur pour un ensemble de Cantor dynamique planaire et on fournit un critère sur le produit de deux épaisseurs afin d’obtenir une intersection entre deux ensembles de Cantor dynamiques. On montre également que l’épaisseur est une quantité qui varie continûment, ce qui permet d’obtenir des intersections persistantes d’ensembles de Cantor dynamiques. Le second Théorème de cette thèse démontre l’existence du phénomène de Newhouse dans l’espace des automorphismes polynomiaux de degré d pour n’importe quel degré d ≥ 2 dans C^{3}. Au contraire de la situation dans C^{2}, le degré est ici connu et optimal. Le point clef de la preuve est l’introduction dans le domaine complexe d’un outil issu de la dynamique réelle : le blender de Bonatti et Diaz. On formalise le concept de blender complexe et on donne un automorphisme polynomial de C^{3} de degré 2 possédant un blender. Puis, on l’utilise afin de construire successivement des tangences persistantes et des sous-ensembles résiduels d’automorphismes ayant une infinité de puits. Enfin, le dernier résultat porte sur les bifurcations d’endomorphismes holomorphes de P^{2}(C) très particuliers, appelés exemples de Lattès, semi-conjugués à une application affine sur un tore. Dujardin a conjecturé que ces derniers étaient accumulés par des ouverts de bifurcations. On montre que tout exemple de Lattès de degré suffisamment élevé est accumulé par de telles bifurcations robustes. Ceci implique en particulier que tout exemple de Lattès possède un itéré dans l’adhérence de l’intérieur du lieu de bifurcation. La démonstration est basée sur l’obtention d’intersections persistantes entre l’ensemble postcritique et un ensemble hyperbolique répulsif contenu dans l’ensemble de Julia. La preuve est divisée en deux parties : on donne tout d’abord un toy-model qui permet d’obtenir des intersections persistantes entre l’ensemble limite d’un certain type d’IFS, appelé IFS correcteur, et une courbe. Ensuite, dans un second temps, on perturbe l’exemple de Lattès pour créer simultanément un IFS correcteur dans l’ensemble de Julia et une courbe bien orientée dans l’ensemble postcritique / In this PhD thesis, we study Newhouse’s phenomenon and bifurcations in the context of dynamics in several complex variables. We prove three main Theorems. The first one is a complex Gap Lemma. In real dynamics, Newhouse’s Gap Lemma gives a criterion on the product of the thicknesses of two dynamical Cantor sets K and L to show that K ∩ L is not empty. We show a partial generalization of this result for dynamical Cantor sets in C. A relevant notion of thickness in this case is defined and we give some criterion on the product of two thicknesses to show that two dynamical Cantor sets in C must intersect. We also show that the thickness varies continuously, which generates persistent intersections of dynamical Cantor sets. In the second Theorem, we show that there exists a polynomial automorphism f of C^{3} of degree 2 such that for every automorphism g sufficiently close to f, g admits a tangency between the stable and unstable laminations of some hyperbolic set. As a consequence, for each d ≥ 2, there exists an open set of polynomial automorphisms of degree at most d in which the automorphisms having infinitely many sinks are dense. In contrary to the case of C^{2}, the degree is known. To prove these results, we give a complex analogous to the notion of blender introduced by Bonatti and Diaz. In particular, we use a blender to produce robust tangencies. In the third and last result, we study the phenomenon of robust bifurcations in the space of holomorphic maps of P^{2}(C). We prove that any Lattès example of sufficiently high degree belongs to the closure of the interior of the bifurcation locus. This gives a partial answer to a conjecture of Dujardin. In particular, every Lattès map has an iterate with this property. To show this, we design a method creating robust intersections between the limit set of a particular type of iterated functions system in C^{2} with a well-oriented complex curve. Then we show that any Lattès map of sufficiently high degree can be perturbed so that the perturbed map exhibits this geometry