Cette thèse à pour objet l'étude théorique et numérique de solutions dans les équations aux dérivées partielles non linéaires de la physique, en particulier en dynamique des fluides. La présence de discontinuités dans les solutions de ces équations complique la compréhension mathématique des phénomènes mis enjeu et leur traitement numérique, notamment en vue de simulations informatiques . Nous étudions ces équations par une méthode de régularisation dans un espace fonctionnel approprié. Lorsque des schémas numériques construits par des méthodes différentes conduisent à des résultats identiques, ceci jusque dans leurs moindres détails, il semble alors naturel de s'interroger dans quelle mesure ces suites de solutions numériques constituent une approximation d'une solution des équations étudiées. Nous construisons des suites de solutions approchées à partir d'un schéma numérique original,stable et suffisamment simple pour démontrer que ses suites constituent une méthode asymptotique de Maslov au sens des distributions en dimension trois d'espèce. La technique de régularisation employée consiste à étendre les variables réelles du problème ne des variables complexes, ce qui nous permet de construire des familles de solutions particulières que l'on ramène au cas réel en faisant tendre un petit paramètre vers O. Les solutions physiques recherchées apparaissent alors comme valeurs au bord de fonction holomorphes. Nous illustrons les résultats obtenus par des applications en cosmologie dans les cadres Newtoniens et relativistes pour des systèmes sans pression, puis avec pression et auto-gravitation, ainsi que pour le système des gaz parfaits. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of singular solutions appearing in nonlinear partial differential complicates the mathematical understanding of the phenomena under concem as well as their numerical treatment, in particular in view of computation. These equations are studied by a regularization method in an appropriate functional space. When completely different numerical methods give the same results up to the smallest details one can reasonably expect that these numerical results suggest the existence of a mathematical solution of theses equations. We construct sequences of approximate solutions from an original numerical scheme, which is stable and simple enough to prove that these sequences constitute a Maslov asymptotic method in three space dimension. The regularization technique in use consits in extending the real variables of the problem into complex ones, which perrnits to construct families of particular equations that we bring back to the real case by letting a small paramater tend to zero. The expected physical solutions appear as boundary values of holomorphie functions . Illustrations are given by applications to cosmology in the Newtorian and re1ativistic settings for pressure1ess fluid dynamics, then in presence of self-gravitation and pressure as weil as for the systemof ideal gases

L'ajustement géostrophique, processus de relaxation d'une perturbation vers un état en équilibre géostrophique, bien connu dans un fluide infini est modifié en présence de guides d'ondes. Les guides d'ondes dans l'atmosphère et l'océan sont omniprésents: les topographies (sous-marine / montagnes), les côtes, les fronts de densité. Ce travail de thèse a étudié les modifications au scénario d'ajustement géostrophique nonlinéaire en présence de quatre guide d'ondes: le guide d'onde côtier, le guide d'onde topographique, le guide d'onde frontal aux moyennes latitudes, et le guide d'onde frontal à l'équateur. Nous avons utilisé le modèle de l'eau peu profonde en rotation et une méthode numérique aux volumes finis adaptée pour traiter les topographies et les incropping/outcropping des fronts. Dans tous les cas, l'émission d'ondes piégées a lieu et l'évolution nonlinéaire des ondes piégées diffère selon le caractère dispersif ou non de ces ondes. Les ondes non dispersives comme l'onde de Kelvin côtière, en évoluant nonlinéairement vont déferler et ainsi contribuer au mélange à petite échelle. Les ondes dispersives telles que les ondes de Rossby topographiques ou les ondes se propageant sur un guide d'onde frontal vont pouvoir former des reconnections des lignes de courant, modifiant ainsi les propriétés de transport de l'écoulement. Nous montrons que la séparation dynamique entre mouvements lent/équilibré et rapide/non-équilibré connu dans le fluide libre est toujours effective en présence de ces guides d'ondes.