Muitos problemas de otimização em grafos, em especial problemas métricos, são mais fáceis de resolver em árvores. Portanto, uma estratégia para obter um bom algoritmo para certos problemas é obter uma árvore que aproxime o grafo, e utilizar uma solução do problema nessa árvore como uma solução aproximada para o problema no grafo original. Neste trabalho é estudada a técnica de Fakcharoenphol, Rao e Talwar, que mostraram como aproximar uma métrica finita arbitrária com n pontos por uma métrica numa árvore com distorção esperada O(lg n) -- o ótimo assintótico. Essa estratégia resulta em algoritmos de aproximação com boas razões de aproximação, e em algoritmos com bom fator de competitividade para diversos problemas de otimização online e distribuídos. É apresentada especificamente a aplicação da técnica ao problema do emparelhamento mínimo bipartido online, que ilustra como a aproximação de métricas auxilia na resolução de um problema e os cuidados que devem ser tomados nessa aplicação. / Many optimization problems on graphs, especially metric problems, are easier to solve on trees. Therefore, a strategy for obtaining a good algorithm for certain problems is to obtain a tree that approximates the graph, and use a solution of the problem on the tree as an approximate solution for the problem on the original graph. We study the work of Fakcharoenphol, Rao e Talwar, who showed how to approximate an arbitrary finite metric on n points by a tree metric with expected distortion O(lg n), which is asymptotically optimum. This strategy leads to algorithms with good approximation factors, and to competitive algorithms for various optimization problems, some of them online and distributed. Here, we present the application of that technique to the problem of finding a minimum online matching on a bipartite metric graph. This problem illustrates how metric approximation aids in solving a problem, and the care that must be taken when doing such an application.

Muitos problemas de otimização em grafos, em especial problemas métricos, são mais fáceis de resolver em árvores. Portanto, uma estratégia para obter um bom algoritmo para certos problemas é obter uma árvore que aproxime o grafo, e utilizar uma solução do problema nessa árvore como uma solução aproximada para o problema no grafo original. Neste trabalho é estudada a técnica de Fakcharoenphol, Rao e Talwar, que mostraram como aproximar uma métrica finita arbitrária com n pontos por uma métrica numa árvore com distorção esperada O(lg n) -- o ótimo assintótico. Essa estratégia resulta em algoritmos de aproximação com boas razões de aproximação, e em algoritmos com bom fator de competitividade para diversos problemas de otimização online e distribuídos. É apresentada especificamente a aplicação da técnica ao problema do emparelhamento mínimo bipartido online, que ilustra como a aproximação de métricas auxilia na resolução de um problema e os cuidados que devem ser tomados nessa aplicação. / Many optimization problems on graphs, especially metric problems, are easier to solve on trees. Therefore, a strategy for obtaining a good algorithm for certain problems is to obtain a tree that approximates the graph, and use a solution of the problem on the tree as an approximate solution for the problem on the original graph. We study the work of Fakcharoenphol, Rao e Talwar, who showed how to approximate an arbitrary finite metric on n points by a tree metric with expected distortion O(lg n), which is asymptotically optimum. This strategy leads to algorithms with good approximation factors, and to competitive algorithms for various optimization problems, some of them online and distributed. Here, we present the application of that technique to the problem of finding a minimum online matching on a bipartite metric graph. This problem illustrates how metric approximation aids in solving a problem, and the care that must be taken when doing such an application.