Diss. (sammanfattning) Uppsala : Univ., 2005. / Härtill 4 uppsatser.

In the context of moment maps and diffeomorphisms of Kähler manifolds, Donaldson introduced a fully nonlinear Monge-Ampère type equation. Among the conjectures he made about this equation is that the existence of solutions is equivalent to a positivity condition on the initial data. Weinkove later affirmed Donaldson's conjecture using a gradient flow for the equation in the space of Kähler potentials of the initial data. The topic of this thesis is the case when the initial data is merely semipositive and the domain is a closed Kähler surface. Regularity techniques for degenerate Monge-Ampère equations, specifically those coming from pluripotential theory, are used to prove the existence of a bounded, unique, weak solution. With the aid of a Nakai criterion, due to Lamari and Buchdahl, it is shown that this solution is smooth away from some curves of negative self-intersection.

In this thesis we focus on Dirichlet's problem for the complex Monge-Ampère equation. That is, for a given non-negative Radon measure µ we are interested in the conditions under which there exists a plurisubharmonic function u such that (ddcu)n=µ, where (ddc)n is the complex Monge-Ampère operator. If this function u exists, then can it be chosen with given boundary values? Is this solution uniquely determined within a given class of functions?

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes en dynamique holomorphe discrete et continue à l'aide de la Théorie du Pluripotentiel. Le premier problème présenté concerne la description des paires d'endomorphismes holomorphes permutables du plan projectif complexe qui ne partagent pas une itérée. Nous nous intéressons au cas où les degrés des deux applications coïncident après un certain nombre d'itérations. Nous montrons que telles applications sont des exemples de Lattès ou bien des relèvements des exemples de Lattès unidimensionnels. Combiné avec un théorème de T.-C. Dinh et N. Sibony ce résultat complète la classification des paires permutables en dimension deux. Ensuite, nous nous intéressons à la dynamique des laminations par variétés complexes. Nous montrons que, dans une variété kählérienne compacte, le carré de la classe de cohomologie d'un cycle feuilleté dirigé par une lamination transversalement Lipschitz est toujours zéro. Parmi les conséquences nous montrons que l'espace projectif complexe $\pr^{n}$ n'admet pas de cycle feuilleté transversalement Lipschitz de dimension $q \leq \frac{n}{2}$. Cela généralise un résultat de J.E. Forn\ae ss et N. Sibony. Dans la dernière partie nous étudions les mesures de Monge-Ampère à potentiel höldérien. Nous montrons que ces mesures satisfont un analogue d'un théorème de H. Skoda concernant l'intégrabilité exponentielle d'une fonction plurisousharmonique en termes de ses nombres de Lelong. Ce résultat peut être vu comme une très forte compacité pour les fonctions plurisousharmoniques qui sont eux-mêmes un outil fondamental en dynamique holomorphe. / This thesis is devoted to the study of some problems in discrete and continuous holomorphic dynamics with the tools of Pluripotential Theory. The first problem we consider involves the description of commuting pairs of holomorphic endomorphisms of the complex projective plane that do not share an iterate. We consider the case when their degrees coincide after some number of iterations. We show that these maps are either Lattès maps or lifts of one-dimensional Lattès maps. Together with a theorem of T.-C. Dinh and N. Sibony this result completes the classification of commuting pairs in dimension two. Later on, we turn our attention to the dynamics of laminations by complex manifolds. We show that, on a compact Kähler manifold, the square of the cohomology class of a foliated cycle directed by a transversally Lipschitz lamination is always zero. As a corollary we show that the complex projective space $\pr^n$ do not carry any transversally Lipschitz foliated cycle of dimension $q \leq \frac{n}{2}$, generalizing a result by J.E. Forn\ae ss and N. Sibony. In the last part we study Monge-Ampère measures with Hölder continuous potential. We show that these measures satisfy an analogue of a theorem of H. Skoda concerning the exponential integrability of plurisubharmonic functions in terms of its Lelong numbers. This result can be viewed as a strong compactness property of plurisubharmonic functions, a class of functions of fundamental importance in holomorphic dynamics.