Braunschweig, Techn. Universiẗat, Diss., 2000.

Les polyominos sur les réseaux carré et hexagonal ayant des propriétés de convexité ont été largement étudiés, et leurs classes de symétrie ont été dénombrées (par leurs séries génératrices selon divers paramètres: l'aire, le périmètre, la largeur, la hauteur, etc.). Les polyominos pouvant être considérés comme des objets dans l'espace, on les dénombre à translations, à rotations et à réflexions près. Un résultat classique de la théorie des groupes, le lemme de Burnside nous aidera à ce niveau. On s'intéresse donc au dénombrement des classes de polyominos convexes ayant des propriétés de symétries. Dans ce mémoire on s'intéresse aux polyominos sur le réseau triangulaire. Quelques travaux ont été faits sur ce réseau, notamment sur les polyominos parallélogrammes, les polyominos dirigés et les animaux. Ce mémoire porte entre autres sur le dénombrement des classes de symétrie des polyominos F-convexes (convexité forte) sur le réseau triangulaire. On présente aussi quelques résultats concernant les polyominos HV-convexes (l'équivalent des polyominos EG-convexes sur le réseau hexagonal, soit une convexité selon un axe horizontal et un axe vertical). Les formes de convexité vont êtres définies dans l'introduction. On introduira aussi une classe particulière de polyominos, soit les polyominos filiformes. Le premier chapitre porte sur le dénombrement des polyominos triangulaires F-convexes. On utilisera pour cela les méthodes de Fouad Hassani et de Mireille Bousquet-Mélou, qui ont fait leurs preuves sur le réseau hexagonal. On obtient ainsi des formes closes remarquables pour leurs séries génératrices selon plusieurs paramètres, dont la largeur, l'aire et le périmètre. Le deuxième chapitre porte sur les polyominos HV-convexes, dont on donne les équations fonctionnelles. Le troisième chapitre dénombre des polyominos convexes triangulaires particuliers, comme les polyominos partages, les polyominos tas et les polyominos parallélogrammes. Le quatrième chapitre dénombre les classes de symétries des polyominos F-convexes, soit leurs orbites. On fait aussi un rappel de quelques résultats de la théorie des groupes et de leur action, notamment sur les groupes diédraux D6 des isométries de l'hexagone et D2, sous-groupe de D4 des isométries du carré. En se basant sur la dualité des graphes plans, on présente dans le cinquième chapitre une bijection entre les polyominos C-convexes du réseau hexagonal et des structures "polyominomiales" sur le réseau triangulaire. Ces structures généralisent les polyominos triangulaires en admettant des parties filiformes tout en satisfaisant les conditions de C-convexité. De plus, nous donnons des formules simples de passage pour ce qui est des paramètres largeur, aire et périmètre selon cette bijection. On en déduit, par restriction, une bijection entre les polyominos F-convexes des réseaux hexagonal et triangulaire. Notons que tous les calculs sur les séries génératrices ont été faits sur le logiciel Maple. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polyomino(s), Polyomino(s) convexe(s), Réseau triangulaire, Dénombrement.

We prove two new results about 0-1-fillings of skew diagrams avoiding long increasing and decreasing chains. In the first half of the thesis, we show that for a large class of skew diagrams, there is a bijection between sparse fillings avoiding an increasing chain of fixed length and sparse fillings avoiding a decreas- ing chain of the same length. In the second half, we extend a known inequality between the number of sparse 0-1-fillings of skew diagrams avoiding an increasing chain of length 2 and a decreasing chain of length 2 to all 0-1-fillings. 1

The thesis represents a collection of solved problems concerned with covering planar shapes (mostly rectangles with integer sides) by tiles known as polyominoes (e.g., domi- noes, trominoes, tetrominoes, etc.). In most cases, the goal is to find a tiling or to prove that no such tiling exists. In more difficult problems, the task is to deduce conditions for the rectangle to be tileable by specified polyominoes. The last chapter is devoted to calcu- lating the number of all possible tilings of the specified rectangle.

Ce travail se consacre principalement à l'étude d'équations sur les mots ainsi qu'à leur application en géométrie discrète. Comme le rappelle Freeman en 1961, tout chemin dans le plan discret, que l'on peut voir comme une liste de déplacements parmi {→, ↑, ←, ↓}, peut être représenté par un mot pour lequel chaque lettre représente l'un des quatre déplacements élémentaires possibles. Ce point de vue offre entre autre la possibilité de décrire plusieurs objets de la géométrie discrète, tels les polyominos par exemple, en termes d'équations sur les mots. Dans cet ouvrage, nous utilisons cette correspondance pour étudier les pavages du plan par translation dont il est bien connu qu'il en existe deux réguliers : les pavages hexagonaux et les pavages carrés. Ce résultat important fut établi par Beauquier et Nivat et a permis d'étudier les pavages du point de vue algorithmique. Une classe importante est apparue naturellement, à savoir celle des polyominos qui pavent le plan par translation de plusieurs manières. Alors qu'il existe des polyominos pavants à la manière d'un hexagone d'un nombre arbitraire de façons, il en est tout autrement pour le cas des carrés: nous présentons et résolvons la conjecture selon laquelle un polyomino pave comme un carré d'au plus deux façons, puis nous étudions plus en détail la structure de ces derniers. Puisque les contours sont codés sur un alphabet fini, la combinatoire des mots s'impose comme l'outil principal pour traiter ces problèmes de nature géométrique. ______________________________________________________________________________

Cette thèse, constituée d'une série d'articles, considère des questions issues de la géométrie discrète en les traitant du point de vue de la combinatoire des mots qui s'avère un outil puissant et approprié pour les résoudre. Nous utilisons les mots soit pour représenter un chemin dans Z2 ou Z3, soit pour coder la suite des virages d'un chemin ou le contour d'une figure discrète fermée. Parmi les thèmes abordés, on compte les pavages du plan par polyominos, la notion de complexité en facteurs palindromes et la génération de droites discrètes 3D. La première partie concerne les pavages du plan où nous étudions le nombre de pavages réguliers du plan par une tuile carrée, c'est-à-dire une tuile ayant quatre tuiles adjacentes identiques. Il s'avère que certaines tuiles carrées pavent le plan de deux façons distinctes et elles sont appelées doubles carrées. Nous démontrons d'abord qu'il y a au plus deux tels pavages réguliers par une tuile carrée. Ensuite, nous considérons deux familles particulières de tuiles doubles carrées : les tuiles de Christoffel et les tuiles de Fibonacci. Ces deux familles décrivent les plus petits exemples de tuiles doubles carrées et peuvent être définies à partir des mots de Christoffel et du mot de Fibonacci par des règles de substitution et de concaténation. Les tuiles de Fibonacci définissent aussi une fractale, obtenue par un chemin auto-évitant, dont nous avons calculé plusieurs statistiques, comme le rapport de l'aire de la fractale sur l'aire de son enveloppe convexe. Dans l'article suivant, nous démontrons que tout double carré indécomposable est invariant sous une rotation de 180 degrés. Cette propriété géométrique est équivalente au fait que le mot de contour de la tuile se factorise en un produit de palindromes. Notre preuve repose sur une méthode de génération exhaustive des tuiles doubles carrées. La deuxième partie concerne la complexité palindromique - le nombre de facteurs palindromes distincts -, un sujet propre à la combinatoire des mots. Nous y considérons quatre classes de complexité palindromique qui découlent naturellement de la notion de défaut. Nous caractérisons notamment les mots de complexité palindromique minimale sur un alphabet à deux lettres et nous démontrons que les mots infinis obtenus par codage de rotations sur deux intervalles atteignent la complexité palindromique maximale. Dans une troisième partie, nous proposons une méthode basée sur des algorithmes de fractions continues multidimensionnelles pour la génération de droite discrètes 3D 6-connexes. Les expérimentations illustrent que la complexité en facteurs des mots ainsi générés serait linéaire. Cela se compare avantageusement aux autres définitions de droites discrètes 3D 6-connexes dont la complexité en facteurs est quadratique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : combinatoire des mots, géométrie discrète, pavage, polyomino, complexité palindromique, droite discrète, algorithme de fractions continues multidimensionnelles.

Les polyominos sont souvent représentés par des mots de quatre lettres ou des mots de changements de direction décrivant leur contour. La combinatoire des mots classique y joue donc un rôle descriptif important, particulièrement dans le choix d'un représentant canonique. Les mots de Lyndon fournissent, de façon naturelle, un tel représentant. Une approche systématique pour le calcul de propriétés des polyominos, basée sur une version originale d'une discrétisation du théorème de Green classique en calcul bivarié, est élaborée. Ceci nous a naturellement amené à analyser les propriétés géométriques d'ensembles du réseau discret de rondeur maximale. Pour une taille donnée, ces ensembles minimisent le moment d'inertie par rapport à un axe passant par leur centre de gravité. Nous introduisons la notion de quasi-disque et montrons entre autres que ces ensembles minimaux sont des poIyominos fortement-convexes. Nous développons également un algorithme permettant de les engendrer systématiquement. Un autre aspect concerne des propriétés sur les contours d'ensembles discrets donnant lieu à une nouvelle démonstration d'un résultat de Daurat et Nivat sur les points dits saillants et rentrants d'un polyomino. Nous présentons également une généralisation de ce résultat aux réseaux hexagonaux et montrons que le résultat est faux pour les autres réseaux semi-réguliers. Nous poursuivons par l'introduction d'opérations de mélange spéciaux sur des mots décrivant des chemins discrets selon la suite de leurs changements de direction. Ces opérations de mélange permettent d'engendrer des courbes fractales du type courbe de dragon et d'analyser certains de leurs invariants. Finalement, une généralisation aux dimensions supérieures des algorithmes précédents basés sur le théorème de Green discret, est présentée. Plus particulièrement, nous développons une version discrète du théorème de Stokes basée sur des familles de poids sur les hypercubes de dimension k dans l'espace discret Zn, k ≤ n. Quelques applications sont également décrites. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Géométrie discrète, Combinatoire des mots, Ensembles discrets, Polyominos, Quasi-disques, Chemins polygonaux, Courbes de dragon, Théorème de Green discret, Théorème de Stokes discret, Algorithmes.

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Title: Extremal Polyominoes Author: Veronika Steffanová Department: Department of Applied Mathematics Supervisor: Doc. RNDr. Pavel Valtr, Dr. Abstract: The thesis is focused on polyominoes and other planar figures consisting of regular polygons, namely polyiamonds and polyhexes. We study the basic geometrical properties: the perimeter, the convex hull and the bounding rectangle/hexagon. We maximise and minimise these parameters and for the fixed size of the polyomino, denoted by n. We compute the extremal values of a chosen parameter and then we try to enumerate all polyominoes of the size n, which has the extremal property. Some of the problems were solved by other authors. We summarise their results. Some of the problems were solved by us, namely the maximal bounding rectan- gle/hexagon and maximal convex hull of polyiamonds. There are still sev- eral topics which remain open. We summarise the literature and offer our observations for the following scientists. Keywords: Polyomino, convex hull, extremal questions, plane 1

Polyominoes are two-dimensional objects obtained by joining edge by edge squares of same size. Originally, polyominoes appeared in mathematical recreations, but it turned out that they have applications in various fields, for example, theoretical physics and bio-informatics. Among the most popular topics in combinatorics related to polyominoes one finds enumerating polyominoes of given size, including the asymptotic growth of the numbers of polyominoes, tiling problems, and reconstruction of polyominoes. Recently Qureshi introduced a binomial ideal induced by the geometry of a given polyomino, called polyomino ideal, and its related algebra. From that moment different authors studied algebraic properties and invariants related to this ideal, such as primality, Gröbner bases, Gorensteinnes and Castelnuovo-Mumford regularity. In this thesis, we provide an overview on the results that we obtained about polyomino ideals and its related algebra. In the first part of the thesis, we discuss questions about the primality and the Gröbner bases of the polyomino ideal. In the second part of the thesis, we talk over the Castelnuovo-Mumford regularity, Hilbert series, and Gorensteinnes of the polyomino ideal and its coordinate ring.