[pt] Muitos problemas provenientes do mundo real podem ser modelados por sistemas de equações diferenciais parciais (EDP´s). No entanto, as equações resultantes da discretização produzem matrizes grandes e freqüentementes mal condicionadas. Este trabaho implementa o método de elementos finitos mistos para resolver numericamente um sistema de EDP´s oriundo de um modelo de escoamento de fluidos em meios porosos e melhora sua performance usando precondicionadores e processamento paralelo. / [en] Many problems arising from real world can be represented by systems of partial diferential equations (PDE´s). However, the resulting discrete equations produce large and frequently bad conditioned matrices. This work implements the mixed finite element method to numerically solve a system of PDE´s coming from a multiphase flow in porous media model and improve its performance by preconditioners and parallel processing.

Submitted by Automa??o e Estat?stica (sst@bczm.ufrn.br) on 2017-02-13T20:18:37Z No. of bitstreams: 1 JosimaraTatianeDaSilva_DISSERT.pdf: 1557682 bytes, checksum: fac59260c784cbb83579953ae2c457f9 (MD5) / Approved for entry into archive by Arlan Eloi Leite Silva (eloihistoriador@yahoo.com.br) on 2017-02-16T19:30:20Z (GMT) No. of bitstreams: 1 JosimaraTatianeDaSilva_DISSERT.pdf: 1557682 bytes, checksum: fac59260c784cbb83579953ae2c457f9 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-16T19:30:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JosimaraTatianeDaSilva_DISSERT.pdf: 1557682 bytes, checksum: fac59260c784cbb83579953ae2c457f9 (MD5) Previous issue date: 2016-07-19 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior (CAPES) / Este trabalho tem por objetivo investigar o comportamento de converg?ncia do m?todo GMRES (Generalized Minimal RESidual) e sua vers?o GMRES(m), sem e com precondicionador ILU(0) aplicado ? sistemas lineares n?o sim?tricos esparsos. Nosso interesse principal ? verificar se o comportamento destes algoritmos pode ser influenciado pela estrutura das matrizes consideradas, em particular, as Z-matrizes e a influ?ncia da escolha do grau de esparsidade. Entre os par?metros observados, concentramos no raio espectral dessas matrizes, tanto como a norma do res?duo relativo obtido por estes algoritmos. / This study aims to investigate the convergence behavior of the GMRES (Generalized Minimal Residual) method and its version GMRES(m), without and with preconditioner ILU(0) applied to sparse non-symmetric linear systems. Our main interest is to see if the behavior of these algorithms can be influenced by the structure of the matrices considered, in particular, the Z-matrices. Furthermore, the influence of the choice of the degree of sparsity. Among the observed parameters, we focus on the spectral radius of these matrices, as well as the relative residual norm obtained by these algorithms.

[pt] O desenvolvimento e/ou a adaptação de métodos numéricos para aplicação em análises computacionais de estabilidade de sistemas elétricos no domínio do tempo costumam despertar interesse em função das dificuldades de solução das equações diferenciais e algébricas (EDAs) que representam a rede e seus componentes. Condições de operações muito carregadas e compensadas dificultam a solução, devido, p.ex., ao mau condicionamento da matriz Jacobiana, instabilidade numérica e singularidade. Uma dessas dificuldades pode surgir durante a solução de equações não lineares, especificamente no problema linear do tipo Ax = b. Para contornar estas e outras dificuldades, a presente tese procurou contribuir no aspecto numérico do problema destacando a aplicação do método iterativo Resíduo Mínimo Generalizado - GMRES na solução do problema. Optou-se por trabalhar na qualidade do pré-condicionador construído com base na matriz Jacobiana calculada no início do processo de solução. Verificou-se que, se esta matriz estiver bem condicionada, a qualidade do pré-condicionador resultante dela é boa para o GMRES atingir a convergência em poucas iterações. Comprovou-se através de experimentos numéricos com diferentes sistemas-teste e diferentes condições de operação, que o condicionamento da matriz Jacobiana é melhorado se escalonada, normalizada e reordenada antes da construção do pré-condicionador, resultando, de fato, num pré-condicionador de boa qualidade, agindo positivamente no desempenho do GMRES e consequentemente no processo global de solução. / [en] The development and/or adaptation of numerical methods when applied to power systems stability computer simulations in time domain are of interest due to the difficulties related to the solution of the algebraic differential equations (ADEs) which represent the network and its components. The solution of networks operating under heavy load conditions and extremely compensated is difficult due to the ill-conditioning of the Jacobian matrix, numerical instability and singularity. It can happen, for instance, when solving linear problems of type Ax = b. In order to overcome this and other difficulties, this thesis aims to contribute in the numerical aspect of the problem applying the Generalized Minimal Residual method – GMRES to solve the problem. The idea is to work over the preconditioner quality constructed based on the Jacobian matrix. It is shown that, if this matrix is well conditioned, the quality of the resulting preconditioner is good enough to the GMRES reaches convergence in few iterations. It is seen through numerical experiments using different test-systems and different operating conditions as well, that the Jacobian matrix conditioning is improved if scaled, normalized and reordered before the preconditioner construction, resulting, in fact, in a high quality preconditioner, improving the GMRES performance.