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Extreme-value theory is concerned with the tail behaviour of probability distributions. In recent years, it has found many applications in areas as diverse as hydrology, actuarial science, and finance, where complex phenomena must often be modelled from a small number of observations.Extreme-value theory can be used to assess the risk of rare events either through the block maxima or peaks-over-threshold method. The choice of threshold is both influential and delicate, as a balance between the bias and variance of the estimates is required. At present, this threshold is often chosen arbitrarily, either graphically or by setting it as some high quantile of the data.Bayesian inference is an alternative to deal with this problem by treating the threshold as a parameter in the model. In addition, a Bayesian approach allows for the incorporation of internal and external observations in combination with expert opinion, thereby providing a natural probabilistic framework to evaluate risk models.This thesis presents a Bayesian inference framework for extremes. We focus on a model proposed by Behrens et al. (2004), where an analysis of extremes is performed using a mixture model that combines a parametric form for the centre and a Generalized Pareto Distribution (GPD) for the tail of the distribution. Our approach accounts for all the information available in making inference about the unknown parameters from both distributions, the threshold included. A Bayesian analysis is then performed by using expert opinions to determine the parameters for prior distributions; posterior inference is carried out through Markov Chain Monte Carlo methods. We apply this methodology to operational risk data to analyze its performance.The contributions of this thesis can be outlined as follows:-Bayesian models have been barely explored in operational risk analysis. In Chapter 3, we show how these models can be adapted to operational risk analysis using fraud data collected by different banks between 2007 and 2010. By combining prior information to the data, we can estimate the minimum capital requirement and risk measures such as the Value-at-Risk (VaR) and the Expected Shortfall (ES) for each bank.-The use of expert opinion plays a fundamental role in operational risk modelling. However, most of time this issue is not addressed properly. In Chapter 4, we consider the context of the problem and show how to construct a prior distribution based on measures that experts are familiar with, including VaR and ES. The purpose is to facilitate prior elicitation and reproduce expert judgement faithfully.-In Section 4.3, we describe techniques for the combination of expert opinions. While this issue has been addressed in other fields, it is relatively recent in our context. We examine how different expert opinions may influence the posterior distribution and how to build a prior distribution in this case. Results are presented on simulated and real data.-In Chapter 5, we propose several new mixture models with Gamma and Generalized Pareto elements. Our models improve upon previous work by Behrens et al. (2004) since the loss distribution is either continuous at a fixed quantile or it has continuous first derivative at the blend point. We also consider the cases when the scaling is arbitrary and when the density is discontinuous.-Finally, we introduce two nonparametric models. The first one is based on the fact that the GPD model can be represented as a Gamma mixture of exponential distributions, while the second uses a Dirichlet process prior on the parameters of the GPD model. / La théorie des valeurs extrêmes concerne l'étude du comportement caudal de lois de probabilité. Ces dernières années, elle a trouvé de nombreuses applications dans des domaines aussi variés que l'hydrologie, l'actuariat et la finance, où l'on doit parfois modéliser des phénomènes complexes à partir d'un petit nombre d'observations.La théorie des valeurs extrêmes permet d'évaluer le risque d'événements rares par la méthode des maxima bloc par bloc ou celle des excès au-delà d'un seuil. Le choix du seuil est à la fois influent et délicat, vu la nécessité de trouver un équilibre entre le biais et la précision des estimations. À l'heure actuelle, ce seuil est souvent choisi arbitrairement, soit à partir d'un graphique ou d'un quantile élevé des données.L'inférence bayésienne permet de contourner cette difficulté en traitant le seuil comme un paramètre du modèle. L'approche bayésienne permet en outre d'incorporer des observations internes et externes en lien avec l'opinion d'experts, fournissant ainsi un cadre probabiliste naturel pour l'évaluation des modèles de risque.Cette thèse décrit un cadre d'inférence bayésien pour les extrêmes. Ce cadre est inspiré des travaux de Behrens et coll. (2004), dans lesquels l'étude des extrêmes est réalisée au moyen d'un modèle de mélange alliant une forme paramétrique pour le cœur de la distribution et une loi de Pareto généralisée (LPG) pour sa queue. L'approche proposée exploite toute l'information disponible pour le choix des paramètres des deux lois, y compris le seuil. Une analyse bayésienne tenant compte d'avis d'experts sur les paramètres des lois a priori est ensuite effectué; l'inférence a posteriori s'appuie sur une chaîne de Markov Monte-Carlo. Nous appliquons cette approche à des données relatives aux risqué opérationnels afin d'analyser sa performance.Les principales contributions de cette thèse sont les suivantes :-On fait rarement appel aux modèles bayésiens pour l'analyse du risque opérationnel. Au chapitre 3, nous montrons comment adapter ces modèles à l'analyse du risqué opérationnel au moyen de statistiques de fraudes recueillies par des banques entre 2007 et 2010. L'intégration d'information a priori aux données nous permet d'estimer le capital minimal requis pour chaque banque, ainsi que diverses mesures de risque telles que la valeur à-risque (VaR) et le déficit prévu (DP).-Les avis d'experts jouent un rôle clef dans la modélisation du risque opérationnel. Toutefois, cette question est souvent traitée de façon incorrecte. Au chapitre 4, nous examinons le problème dans son contexte et montrons comment choisir une loi a priori à partir de mesures que les experts connaissent bien, dont la VaR et le DP. Le but est de faciliter le choix de la loi a priori et de mieux refléter l'avis des experts.-À la section 4.3, nous décrivons diverses techniques de synthèse d'opinions d'experts. Bien que ce problème ait déjà été abordé dans d'autres domaines, il est relativement nouveau dans notre contexte. Nous montrons comment élaborer une loi a priori à partir d'avis d'experts et mesurons leur influence sur la loi a posteriori. Des données réelles et simulées sont utilisées aux fins d'illustration.-Au chapitre 5, nous proposons plusieurs nouveaux modèles faisant intervenir des mélanges de lois gamma et de Pareto généralisées. Ces modèles étendent les travaux de Behrens et coll. (2004) dans la mesure où la loi des pertes peut être continue à un quantile donné ou avoir une première dérivée continue au point de jonction. Nous traitons aussi les cas o ù l'échelle est arbitraire et la densité est discontinue.-Enfin, nous présentons deux modèles non paramétriques. Le premier s'appuie sur le fait que le modèle LPG peut être représenté comme un mélange gamma de lois exponentielles; dans le second, l'information a priori sur les paramètres du modèle LPG est représentée par un processus de Dirichlet.

In this thesis, three geometric problems are studied that involve Voronoi regions in $\mathbb{R}^d$ which are generated by codimension $k$ sets, $k\in\{1,...,d\}$. Hereafter, these sets will be called \textit{generators}. The Voronoi regions they generate will be referred to as \textit{generalized Voronoi regions}. The first problem considered is that of computing the measures of (equivalently, integrals over) generalized Voronoi regions. To this end, a Markov operator is constructed that yields a sequence of measures, and converges to a measure concentrated in a fixed neighborhood of the generators. It is shown that the neighborhoods of the generators are the invariant sets of the operator, and moreover that they are attractive. Furthermore, it is proven that the mass concentrated on each invariant set yields a first order approximation of the measure of each Voronoi region. Next, the operator is discretized on a regular computational grid, and a scheme to iterate the operator numerically is derived. The scheme is shown to be convergent, and offers a first-order approximation of the true measure. A variety of numerical examples in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$ are shown for curves and curved surfaces, though the algorithm applies in any dimension. The second problem investigated is a geometric optimization problem known as the Centroidal Voronoi Tessellation (CVT). This problem is concerned with finding, for a fixed number of codimension $d$ generators (i.e., points), the configuration that minimizes the squared distance from any point in the domain to the closest generator. As this problem is formulated in terms of codimension $d$ generators , in the current work, this formulation is now generalized to the case of codimension $k$ generators, $k \in \{1,...,d-1\}$. Energy derivatives are calculated for the codimension $k$ case, and an algebraic approximation of the energy is proposed whose minimizers have a geometric Lloyd-type characterization. The implementation of a generalized quasi-Newton method is discussed. Results for the optimization are shown in a variety of cases in $\mathbb{R}^2$, which serve to highlight the strengths and limitations of the quasi-Newton method. Finally, the energy landscape associated with the non-convex CVT optimization problem is considered. A study of the CVT energy landscape for circular generators in $\mathbb{R}^2$ is presented for varying numbers of generators with possibly heterogeneous radii. This demonstrates the difference in energies between the local minimizers of the CVT energy. The arrangement of the lowest energy configurations are presented. / Cette thèse porte sur trois problèmes géométriques impliquants les régions de Voronoï dans $\mathbb{R}^d$ associées à des ensembles de codimension $k$, $k\in\{1,...,d\}$. Nous appellerons désormais ces ensembles les \textit{germes}, tandis que les régions de Voronoï qui leur sont associées seront designées par le terme \textit{régions généralisées de Voronoï}. Le premier problème dont nous traitons est le calcul des mesures (ce qui revient à évaluer des intégrales sur) des régions généralisées de Voronoï. À cette fin, un opérateur de Markov générant une séquence de mesures est construit, et converge vers une mesure concentrée en un voisinage fixe des germes.Il est demontré que les voisinages des germes sont des ensembles invariants de l'opérateur, et qu'ils sont attractifs. De plus, il est prouvé que la masse concentrée sur chaque ensemble invariant constitue une approximation au premier ordre de la mesure de chaque région de Voronoï. Par la suite, l'opérateur est discrétisé sur une grille, et un schéma qui itère numériquement l'opérateur est obtenu. Il est démontré que le schéma qui résulte est convergent, et donne une approximation au premier ordre de la mesure exacte. Un certain nombre d'exemples numériques ayant pour germes des courbes et des surfaces courbées sont présentés dans $\mathbb{R}^2$ et dans $\mathbb{R}^3$, bien que l'algorithme s'applique à un nombre arbitraire de dimensions. Le deuxième problème dont il est question est un problème d'optimisation géométrique connu sous le nom de Tesselation Centroïde de Voronoï (TCV). Le but de ce problème est de trouver, étant donné un nombre fixe de germes de codimension $d$ (c-à-d des points), la configuration qui minimise le carré de la distance entre n'importe quel point du domaine et le germe le plus proche. La formulation TCV que nous proposons est étendue au cas de germes de codimension $k$, $k \in \{1,...,d-1\}$. Les dérivées énergétiques sont calculées pour le cas où les germes ont codimension $k$, et une approximation algébrique de l'énergie dont les minimaux ont une caractérisation géométrique dite du type de Lloyd est proposée. L'implémentation d'une méthode généralisée quasi-Newton est discutée. Les résultats de l'optimisation sont présentés pour divers cas dans $\mathbb{R}^2$, afin d'illustrer les avantages et inconvénients de méthod quasi-Newton. Finalement, la configuration énergétique associée au problème d'optimisation TCV non-convexe est considérée. Une étude de la configuration énergétique TCV pour des germes circulaires dans $\mathbb{R}^2$ est présentée pour un nombre irréguliers de germes, avec des rayons possiblement hétérogènes. Ceci illustre les différences d'énergie entre les mimimaux locaux de l'énergie TCV. Les arrangements correspondants aux configurations énergétiques les plus basses sont présentées.

We consider the one dimensional discrete Schrödinger operator h = h_0 + V on the full line and half line, where h_0 is the discrete Laplacian and V is a real-valued potential. We explain the Spectral theorem for the operator and give explicit formulas of the Green's function and spectral measures in case of the Laplacian. We explore the rank one potentials and compute their scattering operator. We also explore periodic potentials on the full line. We introduce random Schrödinger operators, and reproduce the proof of the celebrated theorem of Pastur that the spectrum is almost surely the same set. To illustrate ergodic families of random operators, we study the Anderson model in one dimension. / L'objet de la thèse est l'opérateur de Schrödinger discret h = h_0 + V en une dimension, sur la ligne et la demi-ligne, où h_0 est le Laplacien discret et V est un potential à valeurs réelles. Nous expliquons le théorème spectral pour cet opérateur et donnons des formules explicites dans le cas du Laplacien. Nous explorons les perturbations du premier ordre. Nous explorons aussi les potentiels périodiques sur la ligne. Après avoir introduit les opérateurs de Schrödinger aléatoirs, nous reproduisons le célèbre théorème de Pastur établissant l'existence d'un spectre identique presque partout. Afin d'illustrer les familles d'opérateurs de Schrödinger aléatoirs ergodiques, nous étudions le modèle d'Anderson.